2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系含答案

2 任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系
1.任意角三角函数的定义 设角 α 终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为 r,则 sin α=________,cos α =________,tan α=________. 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k·2π)=______,cos(α+k·2π)=________,tan(α+k·2π)=________,其中 k∈Z. 4.三角函数的定义域 正弦函数 y=sin x 的定义域是______;余弦函数 y=cos x 的定义域是______;正切函数 y=tan x 的定义域是_______________________________. 5.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:____________________. π (2)商数关系:____________(α≠kπ+ ,k∈Z). 2 6.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1 的变形公式: sin2α=________;cos2α=________; (sin α+cos α)2=____________________; (sin α-cos α)2=________________; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=______; sin α· cos α=______________________=________________________. sin α (2) tan α= 的变形公式:sin α=________________;cos α=______________. cos α 知识梳理 y x y 1. r r x 3.相等 sin α cos α 4.R R

tan α

π {x|x∈R 且 x≠kπ+ ,k∈Z} 2 sin α 5.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α= cos α 6.(1)1-cos2α 1-sin2α 1+2sin αcos α 1-2sin αcos α 2 1-?sin α-cos α?2 2 (2)cos αtan α sin α tan α ?sin α+cos α?2-1 2

一、选择题 1.sin 780° 等于( ) 3 3 A. B.- 2 2

1 C. 2
1

1 D.- 2

y 2.点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为( ) x 3 3 A. 3 B.- 3 C. D.- 3 3 3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 4.若 α 是第一象限角,则 sin α+cos α 的值与 1 的大小关系是( A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 5.若 sin α+sin2α=1,则 cos2α+cos4α 等于( ) A.0 B.1 C .2 D.3 4 6.若 sin α= ,且 α 是第二象限角,则 tan α 的值等于( ) 5 4 3 3 4 A.- B. C.± D .± 3 4 4 3 二、填空题 7.若角 α 的终边过点 P(5,-12),则 sin α+cos α=______. 1 8.在[0,2π]上满足 sin x≥ 的 x 的取值范围为________. 2 2 9.已知 tan θ=2,则 sin θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. 三、解答题 10.求下列各式的值. 23 ? 17 (1)cos? ?- 3 π?+tan 4 π; (2)sin 630° +tan 1 125° +tan 765° +cos 540° .

D.第四象限角 )

11.已知角 α 终边上一点 P(- 3,y),且 sin α= 1-2sin 2xcos 2x 1-tan 2x 12.求证: 2 = . cos 2x-sin2 2x 1+tan 2x

3 y,求 cos α 和 tan α 的值. 4

作业设计 1.A 2、B 3.C [∵sin α<0,∴α 是第三、四象限角.又 tan α>0, ∴α 是第一、三象限角,故 α 是第三象限角.] 4.A [设 α 终边与单位圆交于点 P,sin α=MP,cos α=OM, 则|OM|+|MP|>|OP|=1,即 sin α+cos α>1.] 5、B 6、A 7 7.- 13 π 5π? 8、.? ?6, 6 ? sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ tan2θ+tan θ-2 4 2 2 9、 解析 sin θ+sin θcos θ-2cos θ= = , 5 sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+2-2 4 又 tan θ=2,故原式= = . 5 4+1
2

π π π 1 3 ? ?π ? 10.解 (1)原式=cos? ?3+?-4?×2π?+tan?4+2×2π?=cos 3+tan 4=2+1=2. (2)原式=sin(360° +270° )+tan(3×360° +45° )+tan(2×360° +45° )+cos(360° +180° ) =sin 270° +tan 45° +tan 45° +cos 180° =-1+1+1-1=0. y 3 11.解 sin α= = y. 3+y2 4 当 y=0 时,sin α=0,cos α=-1,tan α=0. y 3y 21 当 y≠0 时,由 = ,解得 y=± . 4 3 3+y2 21 4 3 21? 时,P?- 3, ,r= . 3 3 3 ? ? 3 7 ∴cos α=- ,tan α=- . 4 3 21 21 4 3 当 y=- 时,P(- 3,- ),r= , 3 3 3 3 7 ∴cos α=- ,tan α= . 4 3 cos2 2x+sin2 2x-2sin 2xcos 2x 12.证明 左边= cos22x-sin22x ?cos 2x-sin 2x?2 = ?cos 2x-sin 2x??cos 2x+sin 2x? cos 2x-sin 2x 1-tan 2x = = cos 2x+sin 2x 1+tan 2x =右边. ∴原等式成立. 当 y=

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