高等数学实验微积分方程_图文

高等数学实验 (微积分方程)
教师:王兵贤 数学与信息科学学院

一 符号计算
1、微分方程
例1、求微分方程
dy ?x dx

的解。

输入语句: s1 = dsolve(’Dy = x’) % 默认变量为t,即:y与x都是关于t的函数,非 所求. s2 = dsolve(’Dy = x’,’x’) % 指定变量为x,为所求. 输出: s1 = x*t+C1 s2 = 1/2*x^2+C1

1、微分方程
dx dy ? y, ? ? x 的解。 例2 求微分方程 dt dt
输入: s = dsolve(’Dx=y, Dy=-x’) % 默认变量为t,一阶导数用“Dy”表示 disp([blanks(12), ’x’, blanks(21), ’y’]), disp([s.x, s.y]) % 显示格式

输出: s= x: [1 x 1 sym] y: [1x1 sym] x y [ -C1*cos(t)+C2*sin(t), C1*sin(t)+C2*cos(t)] % x, y的解析解

1、微分方程
dy ? x2 的通解。 ? 2 xy ? xe 例3 求微分方程 dx
(1)输入: s = dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’) %默认变量为t,不是我们所需的解 输出: s= (1/2*exp(-x*(x-2*t))+C1)*exp(-2*x*t) (2)输入: s = dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’, ’x’) %指定变量为t,为所求 输出: s= (1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)

1、微分方程
x ? 例4 求微分方程 xy ? y ? e ? 0 在初始条件 y
x ?1

? 2e

下的特解。
输入: dsolve(’x*Dy+y-exp(x)=0’, ’y(1)=2*exp(1)’, ’x’) 输出: ans = (exp(x)+exp(1))/x

1、微分方程
x ?? ? y ? 3 y ? e ? 0的通解。 例5 求微分方程

输入: dsolve(’D2y+3*Dy+exp(x)=0’, ’x’) % 二阶导数用“D2y”表示 输出: ans = -1/4*exp(x)-1/3*exp(-3*x)*C1+C2

1、微分方程
例5 求微分方程
?d2 y dy ? 2 ? 4 ? 29 y ? 0 的特解。 dx ? dx ? y(0) ? 0, y?(0) ? 15 ?

输入: z = dsolve(’D2y+4*Dy+29*y=0’, ’y(0)=0, Dy(0)=15’, ’ 输出: z= 3*exp(-2*x)*sin(5*x)

2 求极限
在Matlab语言中求多元函数的极限,具体到 二元函数不能求二重极限,只能求二次极限。
xy ( 2 ? xy ? e ) 例6 求极限 lim y? x x?0

输入语句: syms x y; z=2+x*y+exp(x*y); limit(limit(z,y,sqrt(x)),x, 0) 并观察输出的结果。

3 求偏导数
例7 已知 f ( x) ? sin( x ), g ( x, t ) ? cos(t ) ? x
2 6

?6 g ( x, t ) 求 f ?( x), ?x6

输入: syms x t; f1 = diff(sin(x^2)) %未指定sin(x^2)的自变量,由findsym自动 确定 f2 = diff(cos(t)*x^6, x, 6) 输出: f1 = 2*cos(x^2)*x f2 = 720*cos(t)

4 求重积分
求二重积分首先要根据积分区域将二重积分 转化为二次积分,然后再求解。
例8 求二次积分 ?0 ?2 x xydydx
1)
1 x 2 ?1

syms x y z = x*y; f = int(int(z, y, 2*x, x^2+1), x, 0,

类似的:求三重积分首先要根据积分区域将三次 积分转化为三次积分,然后再求解。

输出: f= 1/12

5、求级数和
求 f (n), g , h( x)
k ? 1 x 2 f ( n ) ? k , g ? ? 2 , h( x ) ? ? 例9 已知 ? k ?0 n ?1 n k ?0 k ! n ?1 ?

输入: clear; syms k n x y = sym(’k!’); % sym(’x’)申明x为符号变量 f = symsum(k^2, k, 0, n-1) g = symsum(1/n^2, 1, inf) % 由Matlab中的函数findsym确定自变量 h = symsum(x^k/y, k, 0, inf) 输出: f = 1/3*n^3-1/2*n^2+1/6*n g = 1/6*pi^2 h = exp(x)

二 、MATLAB 三维图形功能
plot3(x, y, z, s)

绘制一条空间曲线,x, y, z都是向量,分别表示曲线点集的横坐标、 纵坐标和函数值,s表示颜色,线型(与plot的s参数设置一致).
plot3(x1, y1, z1, s1, x2,y2,z2,s2,x3,y3,z3) 绘制多条曲线 surf(x,y,z) 绘制空间曲面,这里x,y,z是三个数据矩阵,分别表示 数据点的横坐标、纵坐标、函数值. mesh(x,y,z) 绘制网格曲面,这里x,y,z是三个数据矩阵,分别表示 数据点的横坐标,纵坐标、函数值. meshz(x,y,z) surfc(x,y,z) 此命令在mesh基础上,周围还另外绘制一个参考平面.

在surf绘制图形下方增加等高线

二 、MATLAB 三维图形功能
例10. 画出空间螺旋曲线
? x ? sin(t ) ? ? y ? cos(t ) , t ? [0,10? ] ?z ? t ?

的形状.

输入: t = 0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t), cos(t), t) grid on % 在图形上添加网格线 axis square % 设置图框为正方形 输出结果如图

40

30

20

10

0 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0.5 0 1

二 、MATLAB 三维图形功能
例11. 画出“钻石项链”曲线
? x ? sin(t ) ? ? y ? cos(t ) , t ? [0, 2? ] ? z ? cos(2t ) ?

输入: t=(0:0.02:2)*pi; . x=sin(t);y=cos(t);z=cos(2*t); plot3(x, y, z, ’b-’, x, y, z, ’bd’) view([-82, 58]), box on xlabel(’x’), ylabel(’y’), zlabel(’z’) legend(’项链’, ’钻石’) 输出结果如图所示.

项链 钻石

1 1 0.5 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 y -0.5 -0.5 x -1 -1 0

z

二 、MATLAB 三维图形功能
例12. 用plot3绘制

z ? x?e

? x2 ? y 2

的形状.

输入: x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点 y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点 [xx,yy]=meshgrid(x, y); % 由x和y交叉出网格点. xx和yy为25×25矩阵 zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 计算函数值,zz也是25×25的矩阵 plot3(xx, yy, zz); % 绘制出多条曲线 输出结果如图所示.

0.5

0

-0.5 2 1 0 -1 -2 -2 -1 1 0 2

二 、MATLAB 三维图形功能
例13 用surf命令绘制马鞍面 z ? 2 ? x 2 ? y 2 的图像
输入: x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点 y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点 [xx, yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是25×25的矩阵 zz =2+xx.^2-yy.^2; % 计算函数值,zz也是25×25的矩 阵 surf(xx, yy, zz); % 画出立体曲面图 输出结果如图所示.

6

4

2

0

-2 2 1 0 -1 -2 -2 -1 1 0 2

二 、MATLAB 三维图形功能
例14 作出由Matlab函数peaks产生的二元函数的 曲面及其等值线图形.
输入: clear all [x, y, z] = peaks(30); surf(x, y, z); figure(2); %打开另一个图形窗口 contour(x, y, z, 16); figure(3); contour3(x, y, z, 16) figure(4); surfc(x, y, z)

3

10

2

5

1

0

0
-5

-1
-10 4 2 0 -2 -4 -4 -2 2 0 4

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

10

10

5

5

0

0

-5

-5

-10 2 0 -2 -3 -2 -1 0 1 2 3

-10 4 2 0 -2 -4 -4 -2 2 0 4

实验报告:
实验报告书写要符合规格,字迹工整。 实验报告包括:实验目的,实验内容,实验步骤, 实验结果,实验心得与体会。

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