浙江省义乌三中高三数学97空间向量及其坐标运算(B)教案

9.7 空间向量及其坐标运算(B) 【教学目标】 掌握空间点的坐标及向量的坐标和向量的坐标运算法则、 空间中两点间距离及两向量的夹角 公式的坐标、 a ? b, a ∥ b , 的坐标表示;会求平面的法向量。培养学生的建系意识,并能用 空间向量知识解决有关问题。 【知识梳理】 1.空间向量的直角坐标运算律: (1) 若a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 . (2)若 若A( x1, y1, z1 ),B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标 2 模长公式:若 若a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) , ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a12 ? a2 2 ? a32 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 . ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? 3.夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 4.两点间的距离公式:若 若A( x1 , y1 , z1 ),B( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ??? ?2 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) 2 2 2 , 或d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 【点击双基】 1.若 a=(2x,1,3) ,b=(1,-2y,9) ,如果 a 与 b 为共线向量,则 A.x=1,y=1 B. x= 1 1 ,y=- 2 2 C.x= 1 3 ,y=- 6 2 D.x=- 1 3 ,y= 6 2 解析:∵a=(2x,1,3)与 b=(1,-2y,9)共线,故有 1 3 2x = = . 1 ? 2y 9 ∴x= 1 3 ,y=- .应选 C. 6 2 答案:C 2.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,下列叙述中正确的个数是 ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1(x,-y,z) ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标 是 P2(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3(x,-y,z) ④点 P 关于原 点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:P 关于 x 轴的对称点为 P1(x,-y,-z) ,关于 yOz 平面的对称点为 P2(-x,y, z) ,关于 y 轴的对称点为 P3(-x,y,-z).故①②③错误. 答案:C 3.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 值是 A.1 B. 1 5 C. 3 5 D. 7 5 7 . 5 解析:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) ,2a-b=2(1,1,0)- (-1,0,2)=(3,2,-2).∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2?2=0.∴k= 答案:D 4.已知空间三点 A(1,1,1) 、B(-1,0,4) 、C(2,-2,3) ,则 AB 与 CA 的夹角 θ 的大小是_________. 解析: AB =(-2,-1,3) , CA =(-1,3,-2) , cos〈 AB , CA 〉= (?2) ? (?1) ? (?1) ? 3 ? 3 ? (?2) 14 ? 14 = 1 ?7 =- ,∴θ =〈 AB , CA 〉=120°. 2 14 答案:120° 5.已知点 A(1,2,1) 、B(-1,3,4) 、D(1,1,1) ,若 AP=2 PB ,则| PD |的值 是__________. 解析:设点 P(x,y,z) ,则由 AP =2 PB ,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y, ??? ? ??? ? 1 ? ?x ? ? 3 , ? x ? 1 ? ?2 ? 2 x, ? 8 77 1 8 ? ? 4-z) ,即 ? y ? 2 ? 6 ? 2 y , 解得? y ? , 则| PD |= (? ? 1) 2 ? ( ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 = . 3 3 3 3 ? z ? 1 ? 8 ? 2 z, ? ? ? z ? 3, ? ? 答案: 【典例剖析】 【例 1】 已知 AB =(2,2,1) , AC =(4,5,3) ,求平面 ABC 的单位法向量. 解:设面 ABC 的法向量 n=(x,y,1) ,则 n⊥ AB 且 n⊥ AC ,即 n? AB =0,且 n? AC =0, 77 3 1 ? 1 1 2 2 n ?x ? , 即? ,单位法向量 n0=± =±( ,- , ). 2 ∴n=( ,-1,1) 2 3 3 3 |n | ? ? y ? ?1, 即 2x+2y+1=0, 4x+5y+3=0, 特别提示

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