重庆一中12-13学年高二上学期期末考试数学文试题

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2013 年重庆一中高 2014 级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷(文科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. i 是虚数单位,复数 ? 2 ? i ??1 ? i ? ? ( A. 1 ? 3i B. 3 ? 3i ) C. 2 ? 2i ) D. 3 ? i

2013.1

2.已知命题 p : ?n ? N,2n ? 100,则 ?p 为( A. ?n ? N ,2n ? 100 C. ?n ? N,2n ? 100

B. ?n ? N ,2n ? 100 D. ?n ? N,2n ? 100 )

3.已知 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0?,动点 P 满足: PF1 ? PF2 ? 6 ,则动点 P 的轨迹为( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 ) D.线段

4.直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 1 所截得的弦长为(

A. 2

B.

2 2

C. 1

D.

1 2

5.已知两条直线 l1 : ax ? by ? c ? 0 ,直线 l 2 : mx ? ny ? p ? 0 ,则“ an ? bm”是“直线 l1 // l2 ” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 2 2 2 6.已知圆 C1 : x ? y ? 1 ,圆 C2 : x ? y ? 8 x ? 6 y ? 21 ? 0 ,则两圆公切线的条数有(

A. 1 条
2

B. 2 条
2

C. 3 条

D. 4 条

7.已知点 A 是椭圆

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上一点,F 为椭圆的一个焦点, AF ? x 轴, AF ? 且 2 a b
C. 2-1 D. 2- 1 2

焦距,则椭圆的离心率是( ) 1+ 5 A. B. 3-1 2 8.若 f ? x ? ? A.

e x ?3 ,则 f ? ? 3? ? ( x
B.

)

1 9

2 9

C.

1 3

D.

4 9

9.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 3m 2 5n 2m 2 3n

(

) A. x ? ?

15 y 2

B. y ? ?

15 x 2

C. x ? ?

3 y 4

D. y ? ?

3 x 4

10.已知点 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直 a2 b2

线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( A. )

?

2 ? 1,??

?
2

B.

?

3 ? 1,??

?

C.

?

2 ? 1,??

?

D. 1, 2 ? 1

?

?

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若复数 ?1 ? ai ? ( i 为虚数单位)是纯虚数,则正实数 a ? 12.若经过点 P?1 ? a,1 ? a ? 和 Q?3,2a ? 的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是_____ 13.给定下列命题:
2 ①若 k ? 0 ,则方程 x ? 2 x ? k ? 0 有实数根;

②“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为 0 ”的否命题. 其中真命题的序号是________. 14.若函数 f ?x ? ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取得极值,则 a ? x ?1

15.直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点,且交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点,已知

AF ? 4, CB ? 3BF ,则 p ?
三.解答题(共 75 分) 16.已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l2 : ? a ? 1? x ? y ? b ? 0 。求分别满足下列条件的 a, b 的值. (1)直线 l1 过点 ? ?3, ?1? ,并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且直线 l2 在 y 轴上的截距为 3 . 17.已知函数 f ?x? ? x 3 ? 3x 。 ⑴求函数 f ?x? 的单调区间;

⑵求在曲线 y ? x 3 ? 3x 上一点 ?1,?2? 的切线方程。

18.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次实验,得到数据如 下: 零件的个数 x(个) 加工时间 y(小时) (1)作出散点图; (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (3)预测加工 10 个零件需要多少小时? 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

? 注:可能用到的公式: b ?

?x y
i ?1 4 i

4

i

? nx y ? nx 2


?x
i ?1

2 i

? ? a ? y ? bx , ? i ? 1 ? 2 ? ? ? n
i ?1

n

19.已知以点 A ? ?1, 2 ? 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切. 过点 B ? ?2, 0 ? 的动直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当 MN ? 2 19 时,求直线 l 的方程.(用一般式表示)

20. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ⑴求 b 的值;

1 2 x ? bx ? c ,且 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值. 2
2

⑵若当 x ? ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? c 恒成立,求 c 的取值范围;

⑶对任意的 x1 , x2 ? ? ?1, 2? , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 请说明理由.

7 是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立, 2

21.如图,已知 A, B, C 是长轴为 4 的椭圆上三点,点 A 是长轴的一个顶点, BC 过椭圆中心 O , 且 AC ? BC ? 0,| BC |? 2 | AC |

???? ??? ?

??? ?

????

.

(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程; (2)如果椭圆上两点 P, Q 使直线 CP, CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上 的等腰三角形,是否总存在实数 ? 使 PQ ? ? AB ?请给出证明.

2013 年重庆一中高 2014 级高二上期期末考试(本部)

数 学 答 案(文科)
一选择题 1—5:ACDAB 6—10:DCBDC

2013.1

二填空题 11. 1 三解答题 16. (1)∵ l1 ? l 2
2 ∴ a?a ? 1? ? ?? b? ? 1 ? 0 ,即 a ? a ? b ? 0 ①

12. ?- 2,1?

13. ①②④

14. 3

15.

8 3

又点 ?? 3,?1? 在 l1 上, ∴ ? 3a ? b ? 4 ? 0 ② 由①②得 a ? 2, b ? 2 (2) ∵直线 l2 在 y 轴上的截距为 3 又 l1 // l2 , k1 ? ? ∴? ∴ b ? ?3

a , k2 ? 1 ? a 3 a? 3 2

a ? 1? a 3 3 故 a ? , b ? ?3 2
17.⑴ f ??x? ? 3x 2 ? 3 增区间: ?? ?,?1?, ?1,?? ? ⑵ 切线方程为: y ? ?2 18. (1)作出散点图如下:

减区间: ?? 1,1?

(2) x ?

2?3? 4?5 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 ? 3.5, y ? ? 3.5 , 4 4

?x
i ?1 4 i ?1

4

2 i

? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 5 2 ? 54

?x y
i

i

? 2 ? 2.5 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 4.5 ? 52.5

所以 b ?

?x y
i ?1 4 i

4

i

? nxy ? ? nx 2

?x
i ?1

2 i

52.5 ? 4 ? 3.5 ? 3.5 ? 0.7 54 ? 4 ? 3.5 2

故 a ? y ? bx ? 3.5 ? 0.7 ? 3.5 ? 1.05 所以回归方程为 y ? 0.7 x ? 1.05 (3)当 x ? 10时, y ? 0.7 ? 10 ? 1.05 ? 8.05 所以加工 10个零件大约需要 8.05个小时. 19. (1)设圆 A 的半径为 R , 由于圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切, ∴R ?

?1? 4 ? 7 5

?2 5
2 2

∴圆 A 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 20 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?2 符合题意; ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 2? 即 kx ? y ? 2k ? 0 连接 AQ ,则 AQ ? MN ∵ MN ? 2 19 则由 AQ ? ∴ AQ ? 1

? k ? 2 ? 2k k 2 ?1

? 1 ,得 k ?

3 4

∴直线 l : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 故直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 20. ⑴ f ??x? ? 3x 2 ? x ? b ∵ f ?x? 在 x ? 1 处取得极值, ∴ f ??1? ? 3 ? 1 ? b ? 0 ∴ b ? ?2 经检验,符合题意.

⑵ ∵ f ??x? ? 3x 2 ? x ? 2 ? ?3x ? 2??x ? 1?

x
f ??x?

?1

2? ? ? ? 1, ? 3? ?

?

2 3

? 2 ? ? ? ,1? ? 3 ?
?

1

?1,2?
?

2

?
f ?? 1?

0

0
? 3 ?c 2

f ?x ?

22 ?c 27 2 22 ∴当 x ? ? 时, f ?x? 有极大值 ?c 3 27 22 1 22 又 f ?2? ? 2 ? c ? ? c, f ?? 1? ? ? c ? ?c 27 2 27
∴ x ? ?? 1,2? 时, f ?x? 最大值为 f ?2? ? 2 ? c
2 ∴c ? 2 ? c

f ?2 ?

故 c ? ?1 c ? 2 或

⑶对任意的 x1 , x2 ? ?? 1,2?, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

7 恒成立. 2 3 由⑵可知,当 x ? 1 时, f ?x? 有极小值 ? ? c 2 1 3 又 f ?? 1? ? ? c ? ? ? c 2 2 3 ∴ x ? ?? 1,2? 时, f ?x? 最小值为 ? ? c 2 7 ∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x ?max ? f ?x ?min ? ,故结论成立. 2 21. (1)以 O 为原点, OA所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系,则 A?2,0? ,椭圆方
x2 y2 ? ? 1?0 ? b ? 2? 4 b2

程可设为

而 O 为椭圆中心,由对称性知 OC ? OB 又 AC ? BC ? 0 ,所以 AC ? BC 又 | BC |? 2 | AC | ,所以 OC ? AC 所以 ?AOC为等腰直角三角形,所以点 C 的坐标为 ?1,1?

??? ?

????

4 将 ?1,1? 代入椭圆方程得 b ? 3
2

x2 3y 2 ? ?1 则椭圆方程为 4 4

(2)由直线 CP, CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,设直线 CP 的斜率为 k , 则直线 CQ 的斜率为 ? k ,直线 CP 的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 1?, 直线 CQ 的方程为 y ? 1 ? ?k ?x ? 1? 由椭圆方程与直线 CP 的方程联立,消去 y 得

?1? 3k ?x
2

2

? 6k ?k ?1?x ? 3k 2 ? 6k ?1 ? 0



因为 C ?1,1? 在椭圆上,所以 x ? 1 是方程①的一个根,于是

3k 2 ? 6k ? 1 xP ? 1 ? 3k 2
这样, k PQ ?

3k 2 ? 6k ? 1 同理 xQ ? 1 ? 3k 2

y P ? yQ x P ? xQ

?

1 3

又 B?? 1,?1? ,所以 k AB ?

1 3



k PQ ? k AB

??? ? ??? ? PQ // AB ,即存在实数 ? 使 PQ ? ? AB. . .所以

()


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