课时作业68离散型随机变量及其分布列

课时作业 68

离散型随机变量及其分布列
分值:100 分

时间:45 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知某离散型随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 则常数 k 的值为( 1 A. 2 n 1 C. 2n-1 ) 1 B. n 1 D. n?2n-1? 1 k 2 3k 3 5k ? ? n (2n-1)k

解析:k+3k+5k+?+(2n-1)k=1, 1 ∴kn2=1.∴k= 2. n 答案:A i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3),则 P(X=2)等于( 2a 1 A. 9 1 C. 3 1 B. 6 1 D. 4 )

1 2 3 解析:由分布列的性质知 + + =1, 2a 2a 2a 2 1 ∴a=3.∴P(X=2)= = . 2a 3 答案:C c 1 3.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ=k)= ,k=1,2,3,4,其中 c 是常数,则 P( 2 k?k+1? 5 <ξ< )值为( 2 2 A. 3 4 C. 5 ) 3 B. 4 5 D. 6

c c c c 1 4 解析: ∵P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)= + + + =c(1- )= c 5 5 1×2 2×3 3×4 4×5

5 =1,∴c= . 4 1 5 5 1 1 5 2 5 ∴P( <ξ< )=P(ξ=1)+P(ξ=2)= ( + )= × = . 2 2 4 1×2 2×3 4 3 6 答案:D 4.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 C74C86 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 的是( C1510 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4)


)

C7kC810 k 解析:X 服从超几何分布,P(X=k)= ,故 k=4. C1510 答案:C 3 1 5.设某批产品合格率为 ,不合格率为 ,现对该产品进行测试,设第 ξ 次首次测到正 4 4 品,则 P(ξ=3)等于( 1 3 A.C32( )2×( ) 4 4 1 3 C.( )2×( ) 4 4 答案:C 6.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球 ?n-m?Am2 为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 的是( An3 A.P(ξ=3) C.P(ξ≤3) B.P(ξ≥2) D.P(ξ=2) ) ) 3 1 B.C32( )2×( ) 4 4 3 1 D.( )2×( ) 4 4

Am2Cn-m1 ?n-m?Am2 解析:P(ξ=2)= = . An3 An3 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 1 则(1)P(X≤ )=________. 2 1 3 (2)P( <X≤ )=________. 2 2 (3)P(1≤X≤3)=________. 0 1 3 1 1 6 2 1 2

解析:由所给分布列可知: 1 1 (1)P(X≤ )=P(X=0)= . 2 3 1 3 1 (2)P( <X≤ )=P(X=1)= . 2 2 6 1 1 2 (3)P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)= + = . 6 2 3 1 1 答案:(1) (2) 3 6 2 (3) 3

8.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 0.1 2 0.2 3 0.4 4 0.2 5 0.1

若 η=2ξ-3,则 η 的分布列为________. 解析:由 η=2ξ-3 可计算出相应的 η 的取值,概率不变. 答案: η P -1 0.1 1 0.2 3 0.4 5 0.2 7 0.1

9.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c

若 a、b、c 成等差数列,则 P(|ξ|=1)=________. 解析:∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c,又 a+b+c=1, 1 2 ∴b= ,∴P(|ξ|=1)=a+c= . 3 3 2 答案: 3 三、解答题(共 55 分) 10.(15 分)(2010· 广州模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名 一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ,求随机 变量 ξ 的分布列. 解:(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C502=1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C202+C152+C52+C102=350.

350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P= = . 1225 7 C152 3 C201C151 60 (2)∵P(ξ=0)= 2= ,P(ξ=1)= = , C35 17 C352 119 C202 38 P(ξ=2)= 2= , C35 119 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

11.(20 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立 1 的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3 (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列. 解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.因为事件 A 等价 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯, 在第三个路口遇到红灯”, 所以事件 A 的概率为 1 1 1 4 P(A)=(1- )×(1- )× = . 3 3 3 27 (2)由题意可得,ξ 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min).事件“ξ=2k”等价于事件“该 学生在上学路上遇到 k 次红灯”(k=0,1,2,3,4),所以 1 2 - P(ξ=2k)=C4k( )k( )4 k(k=0,1,2,3,4), 3 3 即 ξ 的分布列是 ξ P 0 16 81 2 32 81 4 8 27 6 8 81 8 1 81

——探究提升——

12.(20 分)(2011· 皖南八校联考)某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况,特举 办了一期有奖知识问答活动,活动对 18~48 岁的人群随机抽取 n 人回答问题“沿江城市带 包括哪几个城市”,统计数据结果如下表:

组数 第1组 第2组 第3组

分组 [18,28) [28,38) [38,48]

回答正确的人数 240 300 a

占本组的频率 x 0.6 0.4

(1)分别求出 n,a,x 的值; (2)若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率,规定年龄在[38,48]内回答 正确的得奖金 200 元,年龄在[18,28)内回答正确的得奖金 100 元.主持人随机请一家庭的两 个成员(父亲 46 岁,孩子 21 岁)回答问题,求该家庭获得奖金 ξ 的分布列及数学期望(两个回 答问题正确与否相互独立). 300 解:(1)由频率表中第 2 组数据可知,第 2 组总人数为 =500,再结合频率分布直方 0.6 500 图可知 n= =1000,所以 a=1000×0.02×10×0.4=80, 0.05×10 240 x= =0.8. 1000×0.03×10 (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,100,200,300,父亲回答正确的概率为 0.4,孩子回答正确 的概率为 0.8, P(ξ=0)=0.6×0.2=0.12, 且 P(ξ=100)=0.6×0.8=0.48, P(ξ=200)=0.4×0.2 =0.08,P(ξ=300)=0.4×0.8=0.32, 所以该家庭获得奖金 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.12 100 0.48 200 0.08 300 0.32

故 Eξ=0×0.12+100×0.48+200×0.08+300×0.32=160.


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