湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 第33课时 数列的综合应用学案


湖北省监利县第一中学 2015 届高三数学一轮复习 第 33 课时 数 列的综合应用学案
例 1 已知 等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是 等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对 n∈N ,均有 + +…+ =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2 012.
*

c1 c2 b1 b2

cn bn

思考题 1 已知等比数列{an}的公 比为 q,前 n 项的和为 Sn,且 S3,S9,S6 成等差数列. 3 (1)求 q ;(2)求证:a2,a8,a5 成等差数列.

题型二数列与函数、不等式的综合应用 例 2 已知函数 f(x)=logkx(k 为常数,k>0 且 k≠1),且数列{f(an)}是首项为 4,公 差为 2 的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn =an·f(an),当 k= 2时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)若 c n=anlgan,问是否存在实数 k,使得{cn} 中的每一项恒小于它后面的项?若存在, 求出 k 的范 围;若不存在,说明理由.

1 思考题 2 已知函数 f(x)对任意实数 p,q 都满足 f(p+q)=f(p)·f(q),且 f(1)= . 3 * (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式 3 * (2)设 an=nf( n)(n∈N ),Sn 是数列{an}的前 n 项的和,求证:Sn< ; 4 nf?n+1? 1 1 1 1 * (3)设 bn= (n∈N ),数列 {bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 + + +…+ 与 6 的 f?n? T1 T2 T3 Tn 大小.

题型三数列与导数、解析几何的综合应用 2 2 例 3 已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y -x =1 上,数列 1 {bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an·bn,求证:cn+1<cn.

思考题 3 已知函数 f(x)=x -4, 设曲线 y=f(x)在点(xn, f( xn))处的切线与 x 轴的交 * 点为(xn+1,0)(n∈N ),其中 x1 为正实数.(1)用 xn 表示 xn+1; xn+2 (2)若 x1=4,记 an=lg ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{an}的通项公式. xn-2

2

题型四数列的实际应用 例 4 为了增强环保建设 ,提高社会效益和经济效益,郑州市计划用若干年更换 10 000 辆燃油型公交车,每更换 一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力 型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 40 辆,计划以后电力型车每 年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划用 7 年的时 间完成全部更换,求 a 的最小值.

思考题 4 某林场为了保护生态环境, 制定了植树造林的两个五年计划, 第一年植树 16a 亩,以后每年植树面积都比上一年增加 50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减 少 a 亩. (1)求该林场第 6 年植树的面积; (2)设前 n(1≤n≤10 且 n∈N)年林场植树的总面积为 Sn 亩,求 Sn 的表达式.


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