2.3.1线面垂直的概念及判定_图文

前置作业完成情况:
完成比较好的同学:

一组:张婷 周丽媛 张芹 孟飞
二组: 孔峰 左进丽 李群 三组:刘志豪 曹红 周文宇
王兴龙

四组:高鹏利 赵慧 沈振东 贺同宇 五组:田洪芳 唐方圆 崔成凤 逯遥遥 耿晓月 六组:任相镇 任娜 刘丽华 七组:左美玲 杨琳 赵庆辉

八组:周婷 李玉法

2.3.1

直线与平面垂直的判定

高二数学组

张欣
讲课人:张欣

学习目标:
1、借助对实例、图片的观察,抽象概括出直 线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平 面垂直的定义;

2、通过直观感知、操作确认,归纳出直线与 平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明 和直线与平面垂直有关的简单命题;

(1)创设情境—感知概念

思考1:田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉? 你还能列举一些类似的实例吗?

大桥的桥柱与水面垂直

军人与地面垂直

思考2:将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌 面的位置关系呈什么状态?此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何?

问题2:(1)如图,在阳光下观察直立于地面 旗杆AB及它在地面的影子BC,旗杆所在的直线 与影子所在直线位置关系是什么? (2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线a的位置关系又是什么?
A

B

a
C

?

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B B1 C1

1.直线与平面垂直的定义:
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 : l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

2.线面垂直判定定理的探究
思考1:用定义判定直线与平面垂直是否 方便?为什么?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面α内的一条直线垂直, 能保证l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直, 能保证l⊥α吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起,把翻折后的纸片 竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌 面接触,观察折痕AD与桌面的位置 A A 关系.
B C D

B

D

C

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直?
A B B D C

A

?

D
C

思考4:由上可知当折痕AD垂直平 面α 内的两条相交直线时,折痕AD 与平面α垂直.由此我们是否能得出 直线与平面垂直的判定方法?

直线与平面垂直的判定定理
文字语言: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 图形语言: l 符号语言:

?

m

P

n

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

线不在多,重在相交.
注意: (1)两条相交直线且在平面内,三个 条件缺一不可 (2)将无限转化成有限,将空间问题 “平面化”;由线线垂直得到线面垂 直

尝试应用1:

求证:与三角形的两条边同时垂直的直线 必与三角形所在平面垂直,也与第三条边垂 直. 已知:如图?ABC, l ? AB, l ? AC, 求证:l ? 平面ABC, l ? BC
(1)证明:?ABC 确定平面? l ? AB, l ? AC 又 AB、AC ? ? , 且AB ? AC ? A BC ? ?
C

l

?l ? ? (2)由(1)l ? ?,又 ? l ? BC

?

A

B

尝试练习2: 已知 o是平行四边形 ABCD 两对角线的 交点,P ? 平面ABCD, 且 PA ? PC,PB ? PD . 求证: PO ? 平面ABCD
P

D

C

O

A

B

当堂检测:
1.一条直线与一个平面垂直的条件是 ( D ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线 C. 垂直于平面内的无数条直线D. 垂直于平面内的两条相交直线 2若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直( C ). A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC

3.若直线l ? 平面?,直线m ? ? , 则(

A)
D.l和m相交

A.l ? m

B.l可能和m平行

C.l和m相交

4.直线a⊥直线b,b⊥平面 ? 则a与β的关系是(

D)

A.a ? ?

B.a // ?

C.a ? ?

D.a ? ? 或a // ?

5.直线a不垂直于平面

? ,则内与a垂直的直线有( B)
C.1条

A.0条

B.无数条

D.

? 内所有直线

6. 如图,圆O所在一平面为 ? ,AB是圆O 的直径,C 是圆上一点,且PA ? AC, PA ?AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
P

A C

O

B

探究:上题图中有几个直角三角形?由此你认为三 棱锥中最多有几个直角三角形?四棱锥呢?

反思小结:
(1)通过本节课的学习,你学会了哪 些判断直线与平面垂直的方法? (2)在证明直线与平面垂直时应注意 哪些问题? (3)本节课你还有哪些问题?

作业:

课本69页 练习
课本74页 习题2.3B组 2,4 课本79页 复习参考题A组10,B组1


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