【新】高中数学4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程课时作业新人教A版必修2

小中高 精品 教案 试卷

第四章

4.1

4.1.1 圆的标准方程

A 级 基础巩固 一、选择题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( A.(x-4) +(y+1) =10 B.(x+4) +(y-1) =10 C.(x-4) +(y+1) =100 D.(x-4) +(y+1) = 10 [解析] 设圆的标准方程为(x-4) +(y+1) =r ,把点(5,2)代入可得 r =10,即得选 A. 2.已知圆的方程是(x-2) +(y-3) =4,则点 P(3,2)满足 ( C A.是圆心
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A )

) D.在圆外

B.在圆上
2

C.在圆内

[解析] 因为(3-2) +(2-3) =2<4, 故点 P(3,2)在圆内. 3.圆(x+1) +(y-2) =4 的圆心坐标和半径分别为 ( A A.(-1,2),2
2 2 2

) D.(1,-2),4

B.(1,-2),2
2

C.(-1,2),4

[解析] 圆(x+1) +(y-2) =4 的圆心坐标为(-1,2),半径 r=2. 4.(2016·锦州高一检测)若圆 C 与圆(x+2) +(y-1) =1 关于原点对称,则圆 C 的方 程是 ( A ) A.(x-2) +(y+1) =1 C.(x-1) +(y+2) =1
2 2 2 2 2 2

B.(x-2) +(y-1) =1 D.(x+1) +(y+2) =1
2 2

2

2

[解析] ∵点 P(x,y)关于原点的对称点为 P′(-x,-y), ∴将-x,-y 代入⊙C 的方程得(-x+2) +(-y-1) =1. 即(x-2) +(y+1) =1. 故选 A. 5. (2016·全国卷Ⅱ)圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1, 则 a= ( A 4 A.- 3 ) 3 B.- 4
2 2 2 2 2 2 2 2

C. 3

D.2

[解析] 配方得(x-1) +(y-4) =4, ∴圆心为 C(1,4).

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1

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|a+4-1| 4 由条件知 =1.解之得 a=- . 2 3 a +1 故选 A. 6.若 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( A A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0
2 2

)

D. 2x-y-5=0

[解析] ∵点 P(2,-1)为弦 AB 的中点,又弦 AB 的垂直平分线过圆心(1,0), 0- - ∴弦 AB 的垂直平分线的斜率 k= 1-2 ∴直线 AB 的斜率 k′=1, 故直线 AB 的方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0. 二、填空题 7. 以点(2, -1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是__(x-2) +(y+1) =
2 2

=-1,

25 __. 2

|2-1-6| 5 [解析] 将直线 x+y=6 化为 x+y-6=0,圆的半径 r= = ,所以圆的方 1+1 2 25 2 2 程为(x-2) +(y+1) = . 2 8.圆心既在直线 x-y=0 上,又在直线 x+y-4=0 上,且经过原点的圆的方程是__(x -2) +(y-2) =8__. [解析] 由?
? ?x-y=0 ?x+y-4=0 ?
2 2

,得?

? ?x=2 ?y=2 ?
2 2

.

∴圆心坐标为(2,2),半径 r= 2 +2 =2 2, 故所求圆的方程为(x-2) +(y-2) =8. 三、解答题 9.圆过点 A(1,-2)、B(-1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (2)圆心在直线 2x-y-4=0 上的圆的方程. [解析] (1)当 AB 为直径时, 过 A、 B 的圆的半径最小, 从而周长最小. 即 AB 中点(0,1) 1 2 2 为圆心,半径 r= |AB|= 10.则圆的方程为:x +(y-1) =10. 2 1 (2)解法一:AB 的斜率为 k=-3,则 AB 的垂直平分线的方程是 y-1= x.即 x-3y+3 3 =0
?x-3y+3=0 ? 由? ?2x-y-4=0 ?
2 2

,得?

?x=3 ? ?y=2 ?

.

即圆心坐标是 C(3,2).
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r=|AC|=


2

2




2

2

=2 5.

∴圆的方程是(x-3) +(y-2) =20. 解法二:待定系数法 设圆的方程为:(x-a) +(y-b) =r . -a + -2-b ? ? 2 则? -1-a + -b ? ?2a-b-4=0
2 2 2 2 2 2 2

=r =r

2 2

a=3 ? ? ,?b=2 ? ?r2=20
2

.

∴圆的方程为:(x-3) +(y-2) =20. 10.已知圆 N 的标准方程为(x-5) +(y-6) =a (a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值; (2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. [解析] (1)因为点 M 在圆上, 所以(6-5) +(9-6) =a , 又由 a>0,可得 a= 10. (2)由两点间距离公式可得 |PN|= |QN|= - -
2 2 2 2 2 2 2

+ +

- -

2

= 13, =3,

2

2

因为线段 PQ 与圆有且只有一个公共点,即 P、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外,由于 3< 13,所以 3<a< 13.即 a 的取值范围是(3, 13). B 级 素养提升 一、选择题 1 3? ?1 2 2 1.(2016~2017·宁波高一检测)点? , ?与圆 x +y = 的位置关系是 ( C 2 ?2 2 ? A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 )

D.不能确定

1 2 3 2 1 3? ?1 [解析] 将点? , ?的坐标代入圆的方程可知( ) +( ) =1> . 2 2 2 ?2 2 ? ∴点在圆外. 2.若点(2a,a-1)在圆 x +(y+1) =5 的内部,则 a 的取值范围是 ( B A.(-∞,1] B.(-1,1)
2 2 2 2

)

C.(2,5)
2 2

D.(1,+∞)

[解析] 点(2a,a-1)在圆 x +(y+1) =5 的内部,则(2a) +a <5,解得-1<a<1. 3.若点 P(1,1)为圆(x-3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为 ( A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0
2 2

D )

D. 2x-y-1=0

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3

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1 [解析] 圆心 C(3,0),kPC=- ,又点 P 是弦 MN 的中点,∴PC⊥MN,∴kMNkPC=-1, 2 ∴kMN=2,∴弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 4. 点 M 在圆(x-5) +(y-3) =9 上, 则点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为 ( A.9 B.8 C.5 D.2
2 2

D )

|3×5+4×3-2| [解析] 圆心(5,3)到直线 3x+4y-2=0 的距离为 d= =5.又 r=3, 2 2 3 +4 则 M 到直线的最短距离为 5-3=2. 二、填空题 5.已知圆 C 经过 A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为__ (x-2) +y =10__. [解析] 设所求圆 C 的方程为(x-a) +y =r , 把所给两点坐标代入方程得
? ? ? ? ?
2 2 2 2 2

-a -a

2 2

+1 =r +3 =r
2

2

2 2

,解得?

?a=2 ? ?r =10 ?
2 2 2



所以所求圆 C 的方程为(x-2) +y =10. 6. 以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心, 过另一个交点的圆的方程为__x +(y-4) =20 或(x-2) +y =20__. [解析] 令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=2, ∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0),以 A 为圆心过 B 的圆方程为 x +(y-4) =20, 以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x-2) +y =20. C 级 能力拔高 1.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6 =0,点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上.求 AD 边所在直线的方程.
2 2 2 2 2 2 2 2

[解析] 因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的 斜率为-3. 又因为点 T(-1,1)在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0. 2.求圆心在直线 4x+y=0 上,且与直线 l:x+y-1=0 切于点 P(3,-2)的圆的方程, 并找出圆的圆心及半径.
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[ 解 析 ] 4a+b=0 ? ?b+2 ?a-3=1 ? ? -a +
2

设 圆 的 标 准 方 程 为 (x - a) + (y - b) = r , 由 题 意 有

2

2

2

, -2-b
2

=r

2

4a+b=0 ? ? 化简得?b=a-5 ? ? -a 2+ -2-b


2

=r

2

a=1 ? ? 解得?b=-4 .所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8,它是以(1,-4)为圆心,以 2 2为半径 ? ?r2=8 的圆.
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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