【备战】北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综合能力题选讲 第05讲 三角恒等变换

三角恒等变换
题型预测 三角恒等变形是运用三角解题的基础. 高考中对于三角部分的考查, 主要集中于三角恒 等变换.难度一般控制在中、低档水平,复习时要注重通法和常规题型的掌握. 范例选讲

2 sin 20? ? cos 10? ? tan 20 ? ? sin 10? . csc 40? ? cot 80? cos 10? cos 20? ? sin 20? sin 10? 讲解 原式的分子 ? 2 sin 20? ? cos 20? cos 10? sin 40? ? cos 10? ? 2 sin 20? ? ? cos 20? cos 20? sin 40? ? sin 80? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? 3, cos 20? cos 20? 1 cos 80? 2 cos 40? ? cos 80? ? ? 原式的分母= sin 40? sin 80? sin 80? cos 40? ? ?cos 40? ? cos 80?? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20 ? ? ? sin 80? sin 80? cos 40? ? cos 20? 2 cos 30? cos 10? ? ? ? 3, sin 80? cos 10?
例1 求值: 所以,原式=1. 点评 三角函数式的化简和求值,是训练三角恒等变换的基本题型,在化简和求值中,常 用的方法有:切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等. 已知 sin ? ? cos ? ?

例2

3 4 , cos ? ? sin ? ? ,求 cos? sin ? 的值. 5 5
的 值 是 不 可 取 的 . 由 于

sin ? 讲解 由 条 件 直 接 解 出 cos?、
cos ? sin ? ?
三角函数值.

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ,所以,应该设法由已知求出 ? ? ? 及 ? ? ? 的 2

已知可以让我们联想到形如 sin ? ? sin ? ? m, cos? ? cos ? ? n 的式子, 但二者又不完 全相同.即后者可以直接和差化积,前者则不然.其实,只要作一个变换,令 ? ? 则可将本题转化为我们熟悉的问题. 解 1:令 ? ?

?
2

?? ,

?
2

? ? ,则原题等价于:

3 4 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ? cos ? 的值. 5 5 ? ?? 3 ? ,所以 两式分别和差化积并相除得: tan 2 4
已知 sin ? ? sin ? ?

? ? ?? 1 ? ? tan 2 ? cos?? ? ? ? ? ? ? ?? 1 ? ? tan 2 ?
分别将已知两式平方并求和得: cos ?? ? ? ? ? ? 所以, cos ? cos ? ?

? ? ? ? 7 . 2 25 ? ? ?

2

1 , 2

1 ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? ? ? 11 . 2 100

在对式子 sin ? ? sin ? ? m, cos? ? cos ? ? n 进行变形的过程中, 我们不难联想到, 既 然可以平方相加,为什么不能平方相减呢?尝试的结果可以使我们得到下面的解法:

3 4 1 , cos ? ? sin ? ? 平方相加得: sin ?? ? ? ? ? ? . 5 5 2 7 上述两式平方相减得: cos 2 ? ? cos 2? ? 2 sin ?? ? ? ? ? ? . 25 7 将上式前两项和差化积,得: 2 sin ?? ? ? ?sin ?? ? ? ? ? 2 sin ?? ? ? ? ? ? , 25 1 7 结合 sin ?? ? ? ? ? ? ,可解得: sin ?? ? ? ? ? ? . 2 25 11 1 所以, cos ? sin ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ? ? . 100 2
解 2:由 sin ? ? cos ? ? 点评 联想和类比,常常可以促成问题转化,并最终达到解决问题的目的.

例 3 已知函数 f ? x ? ?

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围. cos x ? 2?

讲解

已知条件实际上给出了一个在区间 ? 0,

? ?? ? 上恒成立的不等式. ? 2?

任 取 x1 , x2 ? ? 0,

? ?? ? , 且 x1 ? x 2 , 则 不 等 式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 恒 成 立 , 即 ? 2?

m ? 2 sin x1 m ? 2 sin x 2 恒成立.化简得 ? cos x1 cos x2
m?cos x2 ? cos x1 ? ? 2 sin?x1 ? x2 ?

由 0 ? x1 ? x 2 ?

?
2

可知: cos x2 ? cos x1 ? 0 ,所以

m?

2 sin ?x1 ? x2 ? cos x2 ? cos x1
? 2 sin ? x1 ? x 2 ? ? ? ?? ? 在区间 ? 0, ?上的最小值 . ? ? 2? ? cos x 2 ? cos x1 ?

上式恒成立的条件为: m ? ? ?

2 sin ?x1 ? x2 ? 由于 ? cos x2 ? cos x1

4 sin

x1 ? x2 x ? x2 x ? x2 cos 1 2 cos 1 2 2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 sin sin sin 2 2 2

x x x x ? x x ? ? ? 2? cos 1 cos 2 ? sin 1 sin 2 ? 2?1 ? tan 1 tan 2 ? 2 2 2 2? 2 2? ? ? ? ? x x x x x x tan 1 ? tan 2 sin 1 cos 2 ? cos 1 sin 2 2 2 2 2 2 2
且当 0 ? x1 ? x 2 ?

?
2

时, 0 ?

x1 x 2 ? x x , ? ,所以 0 ? tan 1 , tan 2 ? 1 , 2 2 4 2 2

从而

x x ? ? x x ? ? x ?? x ? ? ?1 ? tan 1 tan 2 ? ? ? tan 1 ? tan 2 ? ? ?1 ? tan 1 ??1 ? tan 2 ? ? 0 , 2 2? ? 2 2? ? 2 ?? 2? ?
x x ? ? 2?1 ? tan 1 tan 2 ? 2 2? ? ? 2, x1 x2 tan ? tan 2 2




m 的取值范围为 (??,2] .
? 2 sin ?x ? x

1 2 点评 求 ? ? cos x ? cos x ? ?的最小值 时,要注意能否取到的问题.请思考,下面的解法 2 1? ?

??

有什么问题: 当 0 ? x1 ? x 2 ?

?
2

时, ?

?
4

?

x1 ? x 2 x ? x2 ? ? 0, 0 ? 1 ? ,有 2 2 2

x ? x2 x ? x2 2 ? cos 1 ? 1, 0 ? sin 1 ? 1, 2 2 2
2 sin ? x1 ? x 2 ? ? cos x 2 ? cos x1 2 cos x1 ? x 2 2 2? 2 2 ? 2, ? x1 ? x 2 1 sin 2

从而

故 m 的取值范围为 (??, 2 ] .


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