内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题(理科)

2015-2016 学年内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中高二(上)第一次月 考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.在△ ABC 中,若 a= ,b=1,∠B=30°,则角 A 的值为( A.30° B.60° C.120° D.60°或 120°



2.已知一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( A.它的首项是﹣2,公差是 3 B.它的首项是 2,公差是﹣3 C.它的首项是﹣3,公差是 2 D.它的首项是 3,公差是﹣2 3.在△ ABC 中,已知 a=11,b=20,A=130°,则此三角形( A.无解 B.只有一解 C.有两解 D.解的个数不定 )



4.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则 a4+a10=( A.45 B.50 C.75 D.60 5.在△ ABC 中,已知 b=3,c=3 ,A=30°,则角 C 等于( A.30° B.60°或 120° C.60° D.120° )



6.已知数列{an}的通项为 an=26﹣2n,若要使此数列的前 n 项和最大,则 n 的值为( A.12 B.13 C.12 或 13 D.14 7.在△ ABC 中,B=30°,AB=2 A.2 B. C.2 或 4 ,AC=2,那么△ ABC 的面积是( D. 或 2
2 2 2





8.在等比数列{an}中,若 a1=1,公比 q=2,则 a1 +a2 +…+an =( A. (2 ﹣1) B. (2 ﹣1)
n 2 n



C.4 ﹣1

n

D. (4 ﹣1)

n

9.在△ ABC 中,若 A:B:C=3:4:5,则 a:b:c 等于( A.3:4:5 B.2: : ( +1) C.1: :2 D.2

) :2

: (

+ )



10.等比的正数数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=( A.12 B.10 C.8 D.2+log35 11.在△ ABC 中,bcosA=acosB,则三角形的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 12.若△ ABC 的周长等于 20,面积是 10 A.5 B.6 C.7 D.8 ,A=60°,则 BC 边的长是(



二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA:sinB=1:2,底边 BC=10,则△ ABC 的周长 是 . 14.数列{an}中的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2,则通项公式 an= 15.若△ ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于
2 2

. .

16.设{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a2006 和 a2007 是方程 4x ﹣8x+3=0 的两根,则 a2008+a2009= .

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分. ) 17. (10 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)已知在△ ABC 中,A=45°,a=2cm,c= 角 B,C 及边 b.

cm,求

18. (10 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2,5,13 后成为等比数列.求这三个正数. 19. (12 分) (2015?滕州市校级模拟)在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的 边,且 =2csinA (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a+b 的值.

20. (12 分) (2004?山东)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n. 21. (12 分) (2012?江西)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B﹣C) ﹣1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 22. (14 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 和 Sn 满 2 足:4Sn=(an+1) (n=1,2,3…) , (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn.

2015-2016 学年内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中高二(上) 第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.在△ ABC 中,若 a= ,b=1,∠B=30°,则角 A 的值为( A.30° B.60° C.120° D.60°或 120° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据正弦定理 的取值范围即可算出 A 的值. 解答: 解:∵在△ ABC 中,若 a= ∴由正弦定理 化简得 sinA= ?sin30°= ,得



的式子,将题中数据代入求出 sinA=

,结合三角形内角

,b=1,∠B=30°,

∵a= >b=1 ∴A>B,可得 A=60°或 120° 故选:D 点评: 本题给出三角形两边和其中一边的对角,求另一边的对角大小.着重考查了利用正 弦定理解三角形的知识,属于基础题. 2.已知一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( A.它的首项是﹣2,公差是 3 B.它的首项是 2,公差是﹣3 C.它的首项是﹣3,公差是 2 D.它的首项是 3,公差是﹣2 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. )

分析: 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可建立关于 a1 和 d 的方程组,解之即可. 解答: 解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由等差数列的求和公式可得 ,

解得



故选 A 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和运算,属基础题. 3.在△ ABC 中,已知 a=11,b=20,A=130°,则此三角形( A.无解 B.只有一解 C.有两解 D.解的个数不定 )

考点: 解三角形;三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形的边角关系,直接判断即可. 解答: 解:∵a<b,∴A<B,又∵A=130°,一个三角形中不可能存在两个钝角,故此三角 形无解. 故选:A 点评: 本题考查三角形的判断与应用,基本知识的考查. 4.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则 a4+a10=( A.45 B.50 C.75 D.60 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. )

分析: 根据等差数列的性质,结合已知,可得 a2+a12=50,进而得到 a4+a10 的值. 解答: 解:∵a1+a2+a3=3a2=32,a11+a12+a13=3a12=118, ∴3(a2+a12)=150, 即 a2+a12=50, ∴a4+a10=a2+a12=50. 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是等差数列的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 5.在△ ABC 中,已知 b=3,c=3 ,A=30°,则角 C 等于( ) A.30° B.60°或 120° C.60° D.120° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用余弦定理求得 a=3=b,可得 A=B=30°,从而求得 C 的值. 解答: 解:△ ABC 中,∵已知 b=3,c=3 2bc?cosA=9+27﹣18 ? =9,故 a=3, ,A=30°,则由余弦定理可得 a =b +c ﹣
2 2 2

故有 a=b,∴A=B=30°,∴C=120°, 故选:D. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题. 6.已知数列{an}的通项为 an=26﹣2n,若要使此数列的前 n 项和最大,则 n 的值为( ) A.12 B.13 C.12 或 13 D.14 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得数列为递减的等差数列,且前 12 项为正数,第 13 项为 0,从第 14 项开 始为负数,由此可得结论. 解答: 解:∵an=26﹣2n, ∴an+1﹣an=(24﹣2n)﹣(26﹣2n)=﹣2, ∴数列{an}是公差为﹣2 的等差数列,首项 a1=24, 令 an=26﹣2n≤0,可得 n≥13 ∴数列{an}的前 12 项为正数,第 13 项为 0,从第 14 项开始为负数, ∴数列的前 12 项,或前 13 项和最大,

故选:C 点评: 本题考查等差数列的通项公式,以及前 n 项和的最值,属基础题. 7.在△ ABC 中,B=30°,AB=2 A.2 B. C.2 或 4 考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. ,AC=2,那么△ ABC 的面积是( D. 或 2 )

分析: 先根据正弦定理求出角 C,从而求出角 A,再根据三角形的面积公式 S= bcsinA 进 行求解即可. 解答: 解:由 c=AB=2 根据正弦定理 =

,b=AC=2,B=30°, 得:sinC= = = ,

∵∠C 为三角形的内角, ∴∠C=60°或 120°, ∴∠A=90°或 30° 在△ ABC 中,由 c=2 ,b=2,∠A=90°或 30° 则△ ABC 面积 S= bcsinA=2 或 .

故选 D. 点评: 本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握 定理及公式是解本题的关键,属于中档题. 8.在等比数列{an}中,若 a1=1,公比 q=2,则 a1 +a2 +…+an =( A. (2 ﹣1) B. (2 ﹣1)
n 2 n 2 2 2



C.4 ﹣1

n

D. (4 ﹣1)

n

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 a1=1,公比 q=2,求出数列 an 通项,再平方,观察到是等比数列,再根据 等比数列的前 n 项和的公式求解. 解答: 解:∵{an}是等比数列 a1=1,公比 q=2 n n﹣1 n﹣1 ∴an=2 ﹣2 =2 2 n﹣1 ∴an =4 是等比数列 2 2 2 2 设 An=a1 +a2 +a3 +…+an 由等比数列前 n 项和 解得 故选 D. 点评: 此题主要考查数列的求和问题, 其中应用到由前 n 项和求数列通项和等比数列的前 n 项和公式,这些都需要理解并记忆. ,q=4

9.在△ ABC 中,若 A:B:C=3:4:5,则 a:b:c 等于( ) A.3:4:5 B.2: : ( +1) C.1: :2 D.2 :2 : ( + ) 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及三角形内角和定理可求 A, B, C 的值, 利用正弦定理即可求得 a: b: c=sinA: sinB:sinC 的值. 解答: 解:∵A:B:C=3:4:5,A+B+C=180°, ∴A=45°,B=60°,C=75°. ∴由正弦定理可得:a:b:c=sinA:sinB:sinC=2: : ( +1) . 答案:B 点评: 本题主要考查了三角形内角和定理,正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能 力,属于基础题. 10.等比的正数数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=( A.12 B.10 C.8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. )

分析: 由 a5a6=9,取常数列{an}的各项都为 3,代入所求的式子中,利用对数的运算法则即 可求出所求式子的值. 解答: 解:取特殊数列 an=3, 则 log3a1+log3a2+…+log3a10= =10,

故选 B. 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用对数的运算法则化简求值,是一道基 础题.本题是利用特殊值的方程来解的,此方法是解选择题的一种好方法. 11.在△ ABC 中,bcosA=acosB,则三角形的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简,得到 A ﹣B=0,即 A=B,即可确定出三角形形状. 解答: 解:利用正弦定理化简 bcosA=acosB 得:sinBcosA=sinAcosB, ∴sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)=0, ∴A﹣B=0,即 A=B, 则三角形形状为等腰三角形. 故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及等腰三角形的判定,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键. 12.若△ ABC 的周长等于 20,面积是 10 A.5 B.6 C.7 D.8 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. ,A=60°,则 BC 边的长是( )

分析: 先设 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,然后利用面积公式 S= bcsinA 得到 bc 的值, 因为周长为 a+b+c=20,再根据余弦定理列出关于 a 的方程,求出 a 的值即为 BC 的值. 解答: 解:依题意及面积公式 S= bcsinA, 得 10 = bcsin60°,得 bc=40.

又周长为 20,故 a+b+c=20,b+c=20﹣a, 2 2 2 2 2 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣2bccos60° 2 2 2 =b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc, 2 2 故 a =(20﹣a) ﹣120,解得 a=7. 故选 C 点评: 考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力,以及会用三角形的面积公式,掌握整 体代换的数学思想. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA:sinB=1:2,底边 BC=10,则△ ABC 的周长是 50 . 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 先利用正弦定理,将角的正弦之比转化为边长之比,求得 AC 长,从而由等腰三角形 性质得 AB 长,最后三边相加即可得△ ABC 的周长 解答: 解:设 BC=a,AB=c,AC=b ∵sinA:sinB=1:2,由正弦定理可得: a:b=1:2, ∵底边 BC=10,即 a=10,∴b=2a=20 ∵三角形 ABC 为等腰三角形,且 BC 为底边, ∴b=c=20 ∴△ABC 的周长是 20+20+10=50 故答案为 50 点评: 本题考查了三角形中正弦定理的运用,等腰三角形的性质,三角形周长的计算,属 基础题

14.数列{an}中的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2,则通项公式 an=

2



考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件利用公式 解答: 解:∵数列{an}中的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2, ∴当 n=1 时,a1=S1=1;
2

求解.

当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n ﹣2n+2)﹣[(n﹣1) ﹣2(n﹣1)+2]=2n﹣3. 又 n=1 时,2n﹣3≠a1, 所以有 an= .

2

2

故答案为:



点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要注意公式 的合理运用.

15.若△ ABC 的面积为

,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 2 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC 的值代入求出 b 的值,再利 用余弦定理求出 c 的值即可. 解答: 解:∵△ABC 的面积为 ,BC=a=2,C=60°, ∴ absinC= ,即 b=2,
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=4+4﹣4=4, 则 AB=c=2, 故答案为:2 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 16. 设{an}为公比 q>1 的等比数列, 若 a2006 和 a2007 是方程 4x ﹣8x+3=0 的两根, 则 a2008+a2009= 18 . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以 a2006+a2007=2,a2006?a2007= ;再把所 得结论用 a2006 和 q 表示出来, 求出 q; 最后把所求问题也用 a2006 和 q 表示出来即可的出结论. 解答: 解:设等比数列的公比为 q. 2 ∵a2006 和 a2007 是方程 4x ﹣8x+3=0 的两个根 ∴a2006+a2007=2,a2006?a2007= . ∴a2006(1+q)=2 a2006?a2006?q=
2 2

① ②

∴① ÷②:



∵q>1,∴解得 q=3. ∴a2008+a2009=a2006?q +a2006?q 2 2 =a2006?(1+q)?q =2×3 =18. 故答案为:18. 点评: 本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系以及等比数列的性质.在解决 本题的过程中用到了整体代入的思想,当然本题也可以求出首项和公比再代入计算. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分. ) 17. (10 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)已知在△ ABC 中,A=45°,a=2cm,c= 角 B,C 及边 b. 考点: 专题: 分析: 解答: 解三角形;正弦定理;余弦定理. 解三角形. 利用正弦定理求出 C,然后求出角 B,利用勾股定理求出 B 即可. 解:在△ ABC 中,A=45°,a=2cm,c= cm, = = ,
2 3

cm,求

由正弦定理可得:sinC= C= ∴ b= . , = .

点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 18. (10 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2,5,13 后成为等比数列.求这三个正数. 考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d,可得 a﹣d+a+a+d=15,求出 a 后得到 等比数列的三个数,由等比数列的性质列式求 d,则答案可求. 解答: 解:设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d, 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5. ∴{bn}中的三个数依次为 7﹣d,10,18+d. 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) . ∴三个正数为 3,5,7. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础题. 19. (12 分) (2015?滕州市校级模拟)在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的 边,且 =2csinA (1)确定角 C 的大小;

(2)若 c=

,且△ ABC 的面积为

,求 a+b 的值.

考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦,整理可求得 sinC,进而求得 C. (2)利用三角形面积求得 ab 的值,利用余弦定理求得 a +b 的值,最后求得 a+b 的值. 解答: 解: (1)∵ =2csinA ∴正弦定理得 , ∵A 锐角, ∴sinA>0, ∴ ,
2 2

又∵C 锐角, ∴ (2)三角形 ABC 中,由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC 2 2 即 7=a +b ﹣ab, 又由△ ABC 的面积得 .
2 2 2

即 ab=6, 2 2 2 ∴(a+b) =a +b +2ab=25 由于 a+b 为正,所以 a+b=5. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综 合运用. 20. (12 分) (2004?山东)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n. 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式,根据 a10 和 a20 的值建立方程组,求得 a1 和 d,则通 项 an 可得. (2)把等差数列的求和公式代入 Sn=242 进而求得 n. 解答: 解: (Ⅰ)由 an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得 a1=12,d=2.所以 an=2n+10. (Ⅱ)由 方程 . 得

解得 n=11 或 n=﹣22(舍去) . 点评: 本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力. 21. (12 分) (2012?江西)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B﹣C) ﹣1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利 用两角和与差的余弦函数公式得出 cos(B+C)的值,将 cosA 用三角形的内角和定理及诱导 公式变形后,将 cos(B+C)的值代入即可求出 cosA 的值; (2)由 cosA 的值及 A 为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,利 用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将已知的面积及 sinA 的值代入,得出 bc=6, 记作①,再由 a 及 cosA 的值,利用余弦定理列出关于 b 与 c 的关系式,记作②,联立①② 即可求出 b 与 c 的值. 解答: 解: (1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC, 化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC, 变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1, 即 cos(B+C)=﹣ , 则 cosA=﹣cos(B+C)= ; (2)∵A 为三角形的内角,cosA= , ∴sinA= 又 S△ ABC=2 = , ,解得:bc=6①,

,即 bcsinA=2

又 a=3,cosA= , ∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:b +c =13②, 联立①②解得: 或 .
2 2 2 2 2

点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,诱导公式, 以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 22. (14 分) (2015 秋?呼伦贝尔校级月考)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 和 Sn 满 2 足:4Sn=(an+1) (n=1,2,3…) , (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出; (2)利用“裂项求和”方法即可得出. 2 解答: 解: (1)∵4Sn=(an+1) ,① 2 ∴4Sn﹣1=(an﹣1+1) (n≥2) ,② ①﹣②得 4(Sn﹣Sn﹣1)=(an+1) ﹣(an﹣1+1) . 2 2 ∴4an=(an+1) ﹣(an﹣1+1) . 化简得(an+an﹣1)?(an﹣an﹣1﹣2)=0. ∵an>0,∴an﹣an﹣1=2(n≥2) . ∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1. (2)bn= ∴Tn= = (1﹣ )= . = +…+ = ( ﹣ ) .
2 2

点评: 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.


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