广东省东莞市2013届高三数学(文)小综合专题练习:数列

2013 届高三文科数学小综合专题练习——数列 一、选择题
1.等比数列 { an } 中 a1 ? 512 , 公比 q ? ?

1 , ? n ? a1 ? a 2 ??? an 记 (即 ? n 表示数列 { an } 2

的前 n 项之积), ?8 , ? 9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

2.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 A. 56 B. 42 C. 28 D. 14

3.设{ an } 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a 3a ? 80 , a1 ?2 若 且 2 则 a 1 等于 A.120 B. 105 C. 90 D.75

3 1

? a

4.在等比数列{ an }中,已知 a1 ? a5 =25,则 a3 = A、5 B、5 或-5 C、-5 D、25

5.等差数列 {an } 的前n项和为 S n ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30 ,则 S13 的值是 A.130 B.65 C.70 D.75

6.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = A.-1 B.1 C.2 D.

1 2

二、填空题
7. 已 知 等 差 数 列 {an } 中 , a3 ? a5 ?3 2 , a7 ? a3 ? 8 则 此 数 列 的 前 10 项 之 和 ,

S10 ? ________ 。
8.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

. 都有 an+2+an+

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意的
1

-2an=0,则 S5=_________________。

10.在一个凸 n 边形内有 m 个定点,由这 n+m 个点为顶点所产生的三角形恰好把这个凸 n

边形完全分割成若干个无任何重叠的三角形(称之为“正则三角形”),则这样的“正 则三角形”最多有 个。

三、解答题
11.数列 { an } 的前 n 项和 S n ?

n2 1 5 ,若 a1 ? , a2 ? . an ? b 2 6

(1)求数列 { an } 的前 n 项和 S n ; (2)求数列 { an } 的通项公式; (3)设 bn ?

an ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1
2

12.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列, 且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (3)求证:

b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 5 . a1 a2 a3 an

13.已知向量 p ? (an ,2n ), q ? (2n?1, ?an?1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

? ?

?

??

?

14.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ? ( n ? N ). 2a n ? 1

⑴求证:数列 ?

?1? ? 为等差数列; ? an ?
1005 的最 2012

? ⑵设 bn ? an ? an?1 ( n ? N ),数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求满足 S n ?

小正整数 n .惠生活 www.huizhous.com 观影园 www.gypark.com 爱尚家居 www.33203.com 嘟嘟园 www.ddpark.com 迅播影院 www.gvod.us 请支持我们,会有更多资源给
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15.已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {an } 的前 n 项和为 S n , f (n) ? 出 f (n) 的最大值.

Sn ,试问当 n 为何值时, f (n) 最大,并求 (n?18) Sn?1

16.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

2013 届高三文科数学小综合专题练习——数列

参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题
11. 解:(1)由 S1 ? a1 ?

BCBBAC 7.190 8.
1 4
9.11 10. n ? 2m ? 2

1 1 1 4 4 4 ,得 ? ;由 S 2 ? a1 ? a2 ? ,得 ? . 2 a?b 2 3 2a ? b 3

∴?

?a ? b ? 2 ?a ? 1 n2 ,解得 ? ,故 S n ? ; n ?1 ? 2a ? b ? 3 ?b ? 1

(2)当 n ? 2 时,

an ? S n ? S n ?1 ?

n 2 ( n ? 1) 2 n3 ? ( n ? 1) 2 (n ? 1) n 2 ? n ? 1 ? ? ? 2 . n ?1 n n(n ? 1) n ?n

n2 ? n ? 1 1 由于 a1 ? 也适合 an ? . n2 ? n 2
∴ an ?

n2 ? n ? 1 ; n2 ? n

(3) bn ?

an 1 1 1 . ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1
2

∴数列 { bn } 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ?1 ? 1? 1 n . ? n ?1 n ?1

12. 解:(1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 1 时,a1 ? 2a1 ? 2 , 解得 a1 ? 2 ; n ? 2 时,S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 , 当 解得 a2 ? 4 ;

当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , 得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公 比为 2 的等比数列,所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n .

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 10d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . (3)令 Tn ?

2 5 8 3n ?1 b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? n , 2 a1 a2 a3 an 2 2 2

2Tn ? 2 ?

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2

两式式相减得

Tn ? 2 ?

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ∴ Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2 3n ? 5 ? 0 ,故 Tn ? 5 . 又 2n

13. 解(1)? 向量 p 与 q 垂直

??

?

?2n an?1 ? 2n?1 an ? 0, 即?2n an?1 ? 2n?1 an
? an ?1 ? 2 ??an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 an

? an ? 2n?1 。
(2)?bn ? log2 a2 ? 1 ,?bn ? n ?an ? bn ? n ? 2n?1 ,

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1, ??① ?2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n , ??②

? 由①—②得,
? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 1? 2

? Sn ? 1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ? 1 ? (n ?1)2n

14.解:⑴由 a1 ? 1 与 a n ?1 ?

an 得 an ? 0 , 2a n ? 1

2a ? 1 1 1 , ? n ? 2? an?1 an an
所以 ?n ? N ,
?

1 a n ?1

?

?1? 1 ? 2 为常数, ? ? 为等差数列 an ? an ?

⑵由⑴得

1 1 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 a n a1
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

bn ? a n ? a n?1 ?
所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 n (1 ? ),? , 2 2n ? 1 2n ? 1 1005 n 1005 1005 1 ? ? 502 , 即 得n ? 2012 2n ? 1 2012 2 2 1005 的最小正整数 n ? 503 . 2012

由 Sn ?

所以满足 S n ?

15. 解:(1)设公差为 d,则 a 3 ? 1 ? 2d , a 7 ? 1 ? 6d , a 9 ? 1 ? 8d

? a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列,? (3 ? 6d ) 2 ? 3(1 ? 2d )(1 ? 8d ) ? 2d 2 ? d ? 1 ? 0,? d ? 0 ,? d ? 1,? a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n .
(2)? an ? n, S n ?

S n n(1 ? n) ,? n ? . Sn ?1 n ? 2 2

? f ( n) ?

Sn (n ?18) S n ?1

?

n n ? 2 ? (n ? 18)(n ? 2) n ? 20n ? 36

1 1 1 ? ? 36 12 ? 20 32 n ? ? 20 n

当且仅当 n ?

36 1 ,即 n ? 6 时, f (n) 取得最大值 . n 32

16. 解:设从 2011 年起,每年年末的汽车保有量依次为 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?(单位:万 辆),每年新增汽车数量为 x(万辆),则由题意,得

?a1 ? 30 , ? ?an ? (1 ? 6%)an ?1 ? x, n ? 2 , ? * ?an ? 60, n ? N ,
由②,得 an ? 0.94an?1 ? x , 又

① ② ③

an?1 ? 0.94an ? x ,



所以 an?1 ? an ? 0.94(an ? an?1 ) . 从而数列 {an?1 ? an } 是等比数列,其公比为 0.94 ,首项为

a2 ? a1 ? 0.94a1 ? x ? a1 ? x ? 0.06a1 ? x ?1.8 ,
所以

an?1 ? an ? ( x ?1.8) ? 0.94n?1 , n ? N* .
n?1

以④代入,得 0.94an ? x ? an ? ( x ?1.8) ? 0.94 所以 an ?



x ? ( x ? 1.8) ? 0.94n ?1 . 0.06
n?1

由③,得 x ? ( x ?1.8) ? 0.94

? 60 ? 0.06 ,

即 x ? ( x ?1.8) ? 0.94n?1 ? 3.6 . 当 n ? 1 时,⑤恒成立;



当 n ? 2 时,⑤化为 x(1 ? 0.94n?1 ) ? 1.8 ? 1.8(1 ? 0.94n?1 ) ,

1.8 , 1 ? 0.94n ?1 1.8 n?1 为求 bn ? 的最小值, 注意到 0.94 是的减函数, 所以 bn 是的减函数, n ?1 1 ? 0.94
即 x ? 1.8 ? 即 b2 ? b3 ? ??? ? bn ? bn?1 ? ??? ? 1.8 ,且当无限增大时,bn 可以任意趋近于 1.8 , 所以,⑤对任意正整数都成立的充要条件是 x ? 1.8 ? 1.8 ? 3.6 . 故每年新增汽车数量不应超过 3.6 万辆.


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