3.3.1利用导数判断函数的单调性 高中数学选修1-1课件资源-PPT精品文档_图文

1.3.1利用导数判断函数的单调性

教学目标
知识与能力目标:
1.理解导数符号与函数的单调性关系; 2.会利用导数判断函数的单调性;

过程与方法目标:
讲练结合、讨论等方法,同时利用提示等方 法为学生降低难度

情感态度与价值观目标:
通过对导数与函数的单调性的关系学习,进 一步加强知识的应用能力。

教学重点
导数符号与函数的单调性关系,用 导数解决函数的单调性;

教学难点
导数符号与函数的单调性关系。

知识链接
1. 函数的单调性:

对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1 <x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x) 就是区间I上的增函数.
对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1< x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就 是区间I上的减函数.

2. 导数的概念及其四则运算

课前预习
竖直上抛一个小沙袋,沙袋 的高度h是时间t的函数,设 h=h(t),其图象如图所示。

h A t O a t0 b

横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h, 设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0. 先考察沙袋在区间(a,t0)的运动情况: 根据生活经验,我们知道,在这个区间 内,沙袋向上运动,其竖直向上的瞬时速 度大于0,

? h lim ?h'(t) ?0 即在区间(a,t0), ? t? 0? t

我们说在此区间内,函数h=h(t)是增函数. 再考察沙袋在区间(t0,b)的运动情况: 在这个区间内,沙袋向下运 动,其竖直向上的瞬时速度 小于0,即在区间(t0,b),
? h lim ?h'(t) ?0 ? t? 0? t
h A t O a t0 b

我们说在此区间内,函数h=h(t)是减函数。

用函数的导数判断函数单调性的法则:

1.如果在区间(a,b)内,f ’(x)>0,则f(x) 在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增 区间; 2.如果在区间(a,b)内,f ’(x)<0,则f(x) 在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减 区间;

我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来 说明这个法则的正确性: 当v(t)=s’(t)>0时,s(t)是增函数; 当v(t)=s’(t)<0时,s(t)是减函数。 我们还可以用函数曲线的切线斜率来 理解这个法则; 当切线斜率为正时,切线的倾斜角小于 90°,函数曲线呈上升状态; 当切线斜率为负时,切线的倾斜角小于 90°,函数曲线呈下降状态.

如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总 有f ’(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数; 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总 有f ’(x)<0,则f(x)在这个区间上是减函数。
y

x O

例1.如图,设有圆C和定点O, 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时, 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数,它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种?

解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加,中间时段S增 速快, 图A表示S的增速是常数,与实际不符, 图A应否定; 图B表示最后时段S的增速快,也与实际 不符,图B也应否定; 图C表示开始时段与最后时段S的增速快, 也与实际不符,图C也应否定; 图D表示开始与结束时段,S的增速慢, 中间的时段增速快,符合实际,应选D。

例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间 内是增函数,哪个区间内是减函数. 解:f ’(x)=(x2-2x+4)’=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1. ∴当x∈(1,+∞)时,f ’(x)>0, f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1. ∴当x∈(-∞,1)时,f ’(x)<0, f(x)是减函数.

例3.找出函数f(x)=x3-4x2+x-1的单调 区间。 解:f ’(x)=3x2-8x+1,
令3x2-8x+1>0,解此不等式得
4 ? 13 x? 3
4 ? 13 或 x? 3
4 ?1 3 4 ?1 3 ( ? ? , ) 和 ( ,? ? ) 3 3

因此,区间

为f(x)的单调增区间;

令3x2-8x+1<0,解此不等式得
4? 1 3 4? 1 3 ?x? 3 3
4? 13 4? 13 因此,区间 ( , )为f(x)的单调 3 3

减区间。

1 例4.证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减 x 函数.
1 1 证明:∵f ’(x)=( )’=(-1)· x-2=- 2 , x x
∵ x>0,∴x2>0, 1 ∴- 2 <0. 即f ’(x)<0, x 1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x

例5.求函数y=x2(1-x)3的单调区间. 解:y’=[x2(1-x)3]’

=2x(1-x)3+x2· 3(1-x)2· (-1)
=x(1-x)2[2(1-x)-3x] =x(1-x)2· (2-5x)
2 2 令x(1-x) (2-5x)>0,解得0<x<



2 2 3 y=x (1-x) 的单调增区间是(0, 5

5

.

)

令x(1-x)2(2-5x)<0,
2 解得x<0或x> 5

且x≠1.

∵ x=1为拐点,
∴ y=x2(1-x)3的单调减区间是
2 (-∞,0),( ,+∞) 5

达标练习
1.函数y=3x-x3的单调增区间是( C )

(A) (0,+∞)
(C) (-1,1)

(B) (-∞,-1)
(D) (1,+∞)

2 2.设f(x)=x+ (x<0),则f(x)的单调增区 x 间是( C )
(A) (-∞,-2)
(B) (-2,0)

(C) (-∞,- 2 )
(D) (- 2 ,0)

3.函数y=xlnx在区间(0,1)上是( C )
(A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, 是增函数
1 e

)上是减函数,在(

1 e

, 1)上
1 e

(D ) 在 (
是增函数

1 e

, 1)上是减函数,在(0,

)上

4.函数y=x2(x+3)的减区间是 (-2,0) , 增区间是 (-∞,-2)及(0,+∞) 5.函数f(x)=cos2x的单调区间是 .

(kπ, kπ+

?

), k∈Z

2

.

6.函数y= 2 x ? x 的单调增区间是
2

(0,1) 上是增函数。 证明:f ’(x)=

.

? 7.证明:函数f(x)=ln(cosx)在区间(- , 0) 2
1 cos x

(cosx)’=-tanx.

? 当x∈(- 2 , 0)时, -tanx>0, 即f ’(x)>0, ? ∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(- , 0)上是 2

增函数。

1 8.当x>1时,证明不等式:2 x ? 3 ? x 1 证明:设f(x)= 2 x ? 3 ? x 显然,f(x)在[1,∞)上连续,且f(1)=0.
1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) f ’(x)= x x x x 1 x ∵ x>1, ∴ 1 ? >0,于是f ’(x)>0. x x 1

故f(x)是[1,+∞)上的增函数,应有: 当x>1时,f(x)>f(1)=0, 1 2 x ? 3? 即当x>1时, x

课堂小结
1.如果在区间(a,b)内,f ’(x)>0,则f(x)在此 区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间; 2.如果在区间(a,b)内,f ’(x)<0,则f(x)在此 区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间;

课后作业

课本P95

练习B 1,2


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