高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章导数及其应用 3.3 导数的应用

一、学习任务 1. 能利用导数研究函数的单调性;会求一些函数的单调区间. 2. 掌握利用导数求函数的极值. 3. 掌握利用导数求连续函数在闭区间上的最值.

二、知识清单
利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值

三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述: 一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内,如果 f ′ (x) > 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增;如果 f ′ (x) < 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减. 注:在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增(或递减)的充要条件是 f ′ (x) ? 0 (或 f ′ (x) ? 0 ),x ∈ (a, b) 恒成立,且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 . 例题: 求下列函数的单调区间: (1)f (x) = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 5 ;(2)f (x) = x ? ln x;

1 3 x ? x2 + 2x + 1 . 3 解:(1)函数的定义域为 R.
(3)f (x) =

f ′ (x) = 3x2 ? 6x ? 9 = 3(x ? 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ,解得

x < ?1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ,解得

?1 < x < 3.
所以 f (x) 的单增区间为 (?∞, ?1),(3, +∞);单减区间为 (?1, 3) . (2)f (x) 的定义域为 (0, +∞).

f ′ (x) = 1 ?

1 x?1 = , x x

令 f ′ (x) > 0 ,解得

x > 1;
令 f ′ (x) < 0 ,解得

0 < x < 1.
所以 f (x) 的单增区间为 (1, +∞),单减区间为 (0, 1). (3)f (x) 的定义域为 R.

f ′ (x) = x2 ? 2x + 2 = (x ? 1)2 + 1, f ′ (x) > 0 在 R 上恒成立,所以 f (x) 在 R 上恒增.
若函数 f (x) = x 3 ? 3ax 2 ? 2x + 5 在 (0, 1) 内单调递减,求实数 a 的取值范围. 解:求导,得

f ′ (x) = 3x2 ? 6ax ? 2,
因为 f (x) 在 (0, 1) 内单调递减,所以不等式 3x2 ? 6ax ? 2 ? 0 在 (0, 1) 内恒成立,即

a?
令 g(x) =

1 1 x? , 2 3x

1 1 ,则 x? 2 3x g ′ (x) = 1 1 + > 0, 2 3x2 1 1 1 ? = , 2 3 6

所以 g(x) 在 (0, 1) 内是增函数,且

g(x) < g(1) =
所以 a ?

1 . 6

设函数f (x) = xekx (k ≠ 0). (1)求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的单调区间. 解:(1)因为 f ′ (x) = ekx (kx + 1),所以 f ′ (0) = 1,又 f (0) = 0 ,所以曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x. (2)令

f ′ (x) = (kx + 1)ekx = 0,


x≠?
若 k > 0,则当 x ∈ (?∞, ?

1 (k ≠ 0). k

(

)

1 ) 时,f ′ (x) < 0 ,函数 f (x) 单调递减;当 k

1 , +∞) 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 单调递增; k 1 1 若 k < 0 ,则当 x ∈ (?∞, ? ) 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 单调递增;当 x ∈ (? , +∞) k k 时,f ′ (x) < 0 ,函数 f (x) 单调递减. x ∈ (?

(

)

2.利用导数求函数的极值 描述: 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ,设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 f (x) < f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值,记作

y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点. 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值,记作

y 极小 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值(extreme value).极大值点与极小值点统称为极值点. 注:可导函数 f (x) 在点 x 0 取得极值的充分必要条件是 f ′ (x0 ) = 0,且在 x0 左侧与右侧, f ′ (x) 的符号不同. 函数极值的判定 设函数 f (x) 在 x 0 处连续,判别 f (x0 ) 是极大(小)值的方法是: (1)如果在 x 0 两侧 f ′ (x) 符号相同,则 x0 不是 f (x) 的极值点. (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ′ (x) > 0 ,右侧 f ′ (x) < 0 ,那么,f (x 0 ) 是极大值. (3)如果在 x 0 附近左侧 f ′ (x) < 0 ,右侧 f ′ (x) > 0 ,那么,f ′ (x0 ) 是极小值. 求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f ′ (x); (2)求方程 f ′ (x) = 0 的根; (3)检查 f ′ (x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f (x) 在这个根处取得极大 值;如果左负右正,那么 f (x) 在这个根处取得极小值. 例题: 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,其导函数 f ′ (x) 则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有______个极大值点. 在 (a, b) 内的图象如图所示,

解:1 极大值点 x 0 ,首先满足 f ′ (x 0 ) = 0,其次,当 x < x0 时,f ′ (x) > 0 ,当 x > x0 时, f ′ (x) < 0 .

求函数 y = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 5 的极值. 解:y ′ = 3x 2 ? 6x ? 9 ,令 y ′ = 0 ,即 3x2 ? 6x ? 9 = 0,解得 x1 = ?1 ,x2 = 3. 当 x 变化时,y ′ ,y 的变化情况如下表:

x y′ y

(?∞, ?1) ?1 + 0 ↗ 极大值

(?1, 3) ? ↘

3 0
极小值

(3, +∞) + ↗

所以,当 x = ?1 时,函数 y = f (x) 有极大值,且 f (?1) = 10 ;当 x = 3 时,函数 y = f (x) 有极小值,且 f (3) = ?22 . 已知函数 f (x) = x 3 ? 3ax 2 + 2bx 在点 x = 1 处有极小值 ?1,试确定 a ,b 的值. 解:由已知得 f (1) = ?1,f ′ (1) = 0. 求导得

f ′ (x) = 3x2 ? 6ax + 2b,
所以

{
解得 a =

f (1) = 1 ? 3a + 2b = ?1, f ′ (1) = 3 ? 6a + 2b = 0.

1 1 ,b = ? .代入检验,符合题意. 3 2

已知 f (x) = ax 3 + 3x 2 ? x + 1 在 R 上无极值点,求 a 的取值范围. 解:

f ′ (x) = 3ax2 + 6x ? 1,
若 f (x) 在 R 上无极值点,则 f (x) 在 R 上恒增或恒减,所以 f ′ (x) ? 0 或 f ′ (x) ? 0 在 R 上恒成立. 当 a = 0 时,f ′ (x) = 6x ? 1,在 R 上 f ′ (x) 有正有负,不符题意; 当 a ≠ 0 时,f ′ (x) 为二次函数,令f ′ (x) 中

Δ = 36 + 12a ? 0,
解得 a ? ?3 ,所以 a 的取值范围为 (?∞, ?3]. 已知函数 f (x) = x ? a ln x(a ∈ R). (1)当 a = 2 时,求曲线 y = f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值. 解:函数 f (x) 定义域为 (0, +∞),f ′ (x) = 1 ? (1)当 a = 2 时,

a . x

f (x) = x ? 2 ln x, f ′ (x) = 1 ?

2 (x > 0), x

因而 f (1) = 1 ,f ′ (1) = ?1 ,所以曲线 y = f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 1 = ?(x ? 1),



x + y ? 2 = 0. a x?a = , x > 0 知: x x ①当 a ? 0 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 为 (0, +∞) 上增函数,函数 f (x) 无极值; ②当 a > 0 时,由 f ′ (x) = 0 ,解得 x = a.又当x ∈ (0, a)时,f ′ (x) < 0 ;当 x ∈ (a, +∞) 时,f ′ (x) > 0 ,从而函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值,且极小值为 f (a) = a ? a ln a,无极
(2)由 f ′ (x) = 1 ? 大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f (x) 无极值;当 a > 0 时,函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值 a ? ln a,无极大值.

3.利用导数求函数的最值 描述: 一般地,求函数 y = f (x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数 y = f (x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将函数 y = f (x) 在各极值与端点处的函数值 f (a),f (b) 比较,其中最大一个是最大值, 最小的一个是最小值. 例题: 下列结论正确的是( ) A.在区间 [a, b] 上,函数的极大值就是最大值 B.在区间 [a, b] 上,函数的极小值就是最小值 C.在区间 [a, b] 上,函数在 x = a 和 x = b 处取得最大值和最小值 D.在区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 在 [a, b] 上必有最大值和最小值 解:D 由于连续函数在给定的闭区间上不一定有极值,但必有最值,且最值有可能在端点处取得,也有 可能在极值点处取得,因此前三个选项都不正确.故选 D. 已知 f (x) = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 1. (1)求 f (x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值与最小值; (2)求 f (x) 在区间 (0, 4) 上的最小值. 解:(1)

f ′ (x) = 3x2 ? 6x ? 9 = 3(x ? 3)(x + 1).
令 f ′ (x) = 0 得 x 1 = ?1 ,x 2 = 3,求得

f (?2) = ?1, f (?1) = 6, f (3) = ?26, f (4) = ?19.
所以函数 f (x) 在 [?2, 4] 上的最大值为 6 ,最小值为 ?26 . (2)(1)中 f (x) 导函数已求,令 f ′ (x) > 0 可得 x < ?1 或 x > 3. 令 f ′ (x) < 0 可得 ?1 < x < 3 . 则 f (x) 在 (0, 4) 内的单调性为:在 (0, 3) 单调递减,在 (3, 4) 单调递增,所以 f (x) 在 (0, 4) 上的最小值为 f (3) = ?26 . 已知函数 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = ? (1)求 a ,b 的值及函数 f (x) 的单调区间;

2 与 x = 1 时都取得极值. 3

f (x) ?

2

(2)若对 x ∈ [?1, 2],不等式 f (x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1)f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c,f ′ (x) = 3x2 + 2ax + b,由

f (x)

f ′ (?


2 12 2 )= ? a + b = 0 , f ′ (1) = 3 + 2a + b = 0, 3 9 4

a=?
令 f ′ (x) = 0 ,得

1 , b = ?2 , f ′ (x) = 3x2 ? x ? 2 = (3x + 2)(x ? 1). 2 2 , x2 = 1. 3

x1 = ?
当 x 变化时,

f ′ (x) 与 f (x) 的变化情况如下表: x f ′ (x) f (x) (?∞, ? + ↗ 2 ) 3 ? 2 3 0 (? 2 , 1) 1 3 ? 0 ↘ 极小值 (1, +∞) + ↗

极大值

2 2 ) 和 (1, +∞);递减区间为 (? , 1) . 3 3 1 2 3 (2)f (x) = x ? x ? 2x + c ,x ∈ [?1, 2]. 2 2 2 22 当 x=? 时,f (x) 取得极大值,且 f (? ) = + c ,而 f (2) = 2 + c,则 3 3 27 f (2) = 2 + c 为最大值. 要使 f (x) < c 2 (x ∈ [?1, 2]) 恒成立,只需
所以函数 f (x) 的递增区间为 (?∞,

c 2 > f (2) = 2 + c,
解得 c < ?1 或 c > 2.

四、课后作业

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1. 函数 f (x) = (x ? 3) ex 的单调递增区间是 ( A.(?∞, 2)
答案: D 解析:

)
C.(1, 4) D.(2, +∞)

B.(0, 3)

f ′ (x) = (x ? 3)′ ex + (x ? 3) (ex )′ = (x ? 2) ex ,令 f ′ (x) > 0 ,解得 x > 2 . )
D.9 , ?19

2. 函数 f (x) = x 3 ? 3x + 1 在闭区间 [?3, 0] 上的最大值和最小值分别是 ( A.1 , ?1
答案: C 解析:

B.1 , ?17

C.3 , ?17

f ′ (x) = 3x2 ? 3 = 3 (x ? 1) (x + 1),令 f ′ (x) = 0 得 x = ±1. 又 f (?3) = ?27 + 9 + 1 = ?17,f (0) = 1 ,f (?1) = ?1 + 3 + 1 = 3 ,1 ? [?3, 0] .
3

f (x) =

+ 3a

2

+ bx +

2

3. 函数 f (x) = x 3 + 3ax 2 + bx + a2 在 x = ?1 时有极小值 0 ,则 a 、 b 的值为 ( A.a = 1, b = 3 或 a = 2, b = 9 C.a = 2, b = 9
答案: C 解析:

)

B.a = 1, b = 3 D.以上都不正确

由{

f (?1) = 0, 解得 a = 1, 或 a = 2, 但 a = 1, 时,原函数没有极值点. { { { b = 3; b = 9. b=3 f ′ (?1) = 0,

4. 已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

y=?

A.13 万件
答案: C

1 3 x + 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( 3
B.11 万件 C.9 万件

)
D.7 万件

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