高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.5(一)_图文

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
目标定位 1.掌握参数A,ω,φ对函数图象变化的影响规律;

2.掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sin x的图象变换为y=

Asin(ωx+φ)的图象的方法;3.掌握函数y=Acos(ωx+φ)的图
象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象的联系.

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自 主 预 习
用“图象变换法”作y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 1.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响

y=sin(x+φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线 y=sin x
左 (当 φ>0 时)或向___ 右 (当 φ<0 时)平行移动 上所有的点向___ |φ| 个单位长度而得到. ____

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2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 函数y = sin(ωx +φ) 的图象,可以看作是把 y = sin(x+ φ) 的图 缩短 (当ω>1时)或______( 伸长 当0<ω<1时) 象上所有点的横坐标______ 1 不变 而得到. 到原来的____ ω 倍(纵坐标_____) 3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图 缩短 (当0<A<1时) 伸长 (当A>1时)或_____ 象上所有点的纵坐标______ A 倍(横坐标不变)而得到.函数y=Asin(ωx+φ)的值 到原来的__ [-A,A] ,最大值为___ A ,最小值为_____. -A 域为__________

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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)将
? π ? y=sin?2x+ 3 ? ? π ? ?的图象向右平移 3 ?

个单位长度后,得到 y

=sin x 的图象.( × ) 1 (2)将 y=sin 2x 图象上各点的横坐标缩短为原来的2,就得到 y =sin x 的图象.( × ) (3)将
? π ? y=sin?x+ 4 ? ? π ? ?的图象向左平移 4 ?

个单位长度,就得到 y=

cos x 的图象.( √ )
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(4)将

? π ? y=sin?2x+ 4 ?

? π ? ?的图象先向左平移 8 ?

个单位长度, 横坐标

再伸长为原来的 2 倍;与先将横坐标伸长为原来的 2 倍再向 π 右平移 4 个单位长度得到的图象一样.( √ )

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提示

(1)将

? π π? ? ? y=sin?2x+ ?的图象向右平移 3 个单位,得 3? ?

y=

? ? ? ? π? π? ? ? ? ? π? sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ? 的图象. ? 3? 3? 3? ? ? ?

1 (2)y=sin 2x 图象上各点的横坐标缩短为原来的2,得 y=sin 4x 的图象.
? π π? ? ? (3)y=sin?x+ ?的图象向左平移 4 个单位,得 4? ? ? π? ? y=sin?x+ ? = ? 2? ?

cos x. (4)都得到 y=cos x 的图象.
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π 2.将函数 y=sin x 的图象向右平移 3 个单位, 所得图象的函数 解析式是( π A.y=sin x+ 3
? π ? C.y=sin?x- 3 ? ? ? ? ?

) π B.y=sin x- 3
? π ? D.y=sin?x+ 3 ? ? ? ? ?

解析

? 向右平移 π? ? y=sin x――――――→y=sin?x- ? ?. π 3 ? ? 3 个单位

答案 C

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3.将函数 y=sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵 坐标不变,则所得图象对应的函数为( A.y=2sin x C.y=sin 2x 1 B.y=2sin x 1 D.y=sin2x )

横坐标变为原来的2倍 1 解析 y=sinx―――――――――――――→y=sin2x. 纵坐标不变
答案 D

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π 4.将函数 y=cos 2x 的图象向左平移 5 个单位,所得图象对应 的解析式为______.
? ? 向左平移 π? 2π ? ? ? ? ? 解析 y=cos 2x――――→y=cos 2?x+ ?=cos?2x+ ?. 5 5 ? ? ? ? π 个单位 5

答案

? 2π ? y=cos?2x+ 5 ?

? ? ? ?

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类型一 三角函数图象的平移变换(互动探究) ? π? ? 【例 1】 为了得到函数 y=sin?2x- ? ?的图象,可以将函数 y 6 ? ?
=cos 2x 的图象( π A.右移 6 个单位长度 π C.右移 3 个单位长度 ) π B.左移 6 个单位长度 π D.左移 3 个单位长度

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[思路探究] 探究点一 怎么办? 提示 利用诱导公式 y=cos
? π? ? 2x=sin?2x+ ? ?. 2 ? ?

已知的余弦函数图象,要得到的是正弦函数图象,

探究点二 提示

左右平移应注意什么?

左右平移时是点的横坐标变化,即 x 的增加或减小.

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解析 =sin

? π? ? y=sin?2x- ? =sin 6? ? ? ? π? ? 2?x+ ? ,因而先将 4? ? ?

? π? ? 2?x- ? ,又 y=cos 12? ? ?

? π? ? 2x=sin?2x+ ? 2? ? ?

π y=cos 2x 的图象向右平移 4 个单位

长度,得函数 y=sin 2x 的图象,再将 y=sin 2x 的图象向右平
? π π? ? 移12个单位长度, 得 y=sin?2x- ? 的图象, 即将函数 y=cos 2x 6? ? ? ? π π? ? 的图象向右平移 3 个单位长度可得函数 y=sin?2x- ? 的图象. 6? ? ? 答案 C

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规律方法 的步骤:

已知两个函数的解析式,判断其图象间的平移关系

①将两个函数解析式化简成 y=Asin ωx 与 y=Asin(ωx+φ), 即 A、ω 及名称相同的结构. ②找到 ωx→ωx+φ,变量 x“加”或“减”的量,即平移的单
?φ? ? 位为? ?ω?. ? ?

③明确平移的方向.

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【训练 1】 要得到 的图象( )

? π ? y=cos?2x- 4 ?

? ? ?的图象,只要将 ?

y=sin 2x

π A.向左平移 8 个单位 π C.向左平移 4 个单位

π B.向右平移 8 个单位 π D.向右平移 4 个单位

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解析

y=sin

?π ? ? π? ? ? ? 2x=cos? -2x?=cos?2x- ? 2? ?2 ? ? ?

? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ?? ? ? ? π? =cos?2?x- ??=cos?2?x- ?- ? 4 ?? 8? 4? ? ? ? ?

若设 f(x)=sin 2x=cos 则

? ? ? π? ? ? ? π? ?2?x- 8 ?- 4 ?, ? ? ? ?

? ? π? π? ? ? ? f?x+ ?=cos?2x- ? , 8? 4? ? ? ?

π ∴向左平移 8 个单位. 答案 A

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类型二 三角函数图象的伸缩变换
1 【例 2】 如何由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=2sin 2x 的图象?

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规律方法 三角函数图象的伸缩变换的方法

y=A1sin ω1x与y=A2sin ω2x图象间的关系

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π? 1 ? ? 【训练 2】 本例中若得到函数 y= sin?2x+ ? 的图象, 2 ? 4? ? 应怎样变换?

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[课堂小结]
1.对平移变换的三点说明

(1)图象向左或向右平移只与φ的正负有关.
(2)平移多少个单位,是针对变量x,而与x的系数无关. (3)平移变换是由 φ的变化引起的,因此平移变换只改变 φ 的 大小而不影响A,ω的大小.

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2.对振幅变换的两点说明 (1)振幅变换只会引起函数的值域的变化,而不会影响ω与φ 的大小. (2) 振幅变换可简单记为:将正弦曲线上所有点的纵坐标变 为原来的A倍(A>0)便得到y=Asin x的图象. 3.对周期变换的两点说明 (1)ω的值一般为正数,若ω的值为负数时,应先由诱导公式 转化为正值,再进行变换. (2) 周期变换只改变函数的周期,即 ω 的值,而不影响 A , φ

的值.
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1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图 象上所有的点( )

A.向左平行移动1个单位长度

B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 答案 A

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1 2.将函数 y=2sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的 4 倍,横 坐标不变,得到的函数解析式为( A.y=4sin x C.y=sin x )

B.y=2sin x 1 D.y=4sin x

答案 B

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3.将函数

?1 2 ? y=sin?2x+3π ?的图象上所有点的横坐标缩短到原来 ? ?

1 的 倍(纵坐标不变)得________的图象. 4
答案
? 2 ? y=sin?2x+3π ? ? ?

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? π ? 4.y=cos?x+ 3 ?

解 故将

∵y=sin

? ? ?的图象如何变换得到 y=sin x 的图象? ? ? ? π? π? 5 ? ? ? x=cos?x- ?=cos?x- π + ? , 2? 6 3? ? ? ?
? 5π ? ?的图象向右平移 6 ?

? π ? y=cos?x+ 3 ?

个单位长度,便可得

到 y=sin x 的图象.

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