数学必修1-5综合测试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 1. 已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? 2
A. {0,1} B. {?1 , 0} C. {?1, 0,1} D. {?2, ?1, 0,1, 2}

2. 已知条件 p :| x ? 1 |? 2 ,条件 q : x ? a ? 且 p 是 ? q 的充分不必要条件,则 a 的取值
范围可以是( A.a ? 1 ) B.a ? 1 B. ? 4 C.a ? ?3 ) D. ? C.a ? ?3

3. 已知实数列 1,a,b,c,2 成等比数列,则 abc 等于(
A.4 C. 2

2

2 2

4. 已 知 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? ?1 对 称 , 且 当 x>0 时 , f ( x) ?

1 ,则当 x

x ? ?2时, ? f ( x) 为(
A.?



1 x

B.

1 x?2

C.?

1 x?2

D.? ) D.8

1 x?2

5. 已知 a=(m,n),b=(p,q)且 m+n=5,p+q=3,则|a+b|的最小值为(
A.4 B. 4

2

C.6

6.已知 x ? y ? ?1, x ? y ? 4, y ? 2 ? 0, 则 2 x ? 4 y 的最小值是 A.8 B.9 C.10 D.13

7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图,
则组成此几何体的长方体木块块数共有 A.3 块 B.4 块 C.5 块 D.6 块

8. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外
完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12

9. 已知在 ?ABC 中, sin B ?
A. C ? A ? B C. B ? A ? C

4 5 ? ,? tan A ? ,则( 13 12
B. C ? B ? A C. A ? B ? C



10. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x>2 时, f ( x) 单调递增,如
果 x1 ? x2

? 4? , ?且( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值为(
B.恒大于 0



A.恒小于 0

C.可能为 0

D.可正可负

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标
准方程是

12. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标,现以 500 袋牛奶中抽取 60 袋进行检
验,利用随机数表抽样本时,先将 500 袋牛奶按 000,01,?,499 进行编号,如果从 随机数表第八行第四列的数开始按三位数连续向右读取,请你依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号: (下面摘取了随机数表第七行至第九行) . 84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879 33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954

13. 经 过 圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x ? y ? 0
是 .

垂直的直线方程

14. 设 f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 M>0,使 | f ( x) |? M | x | 对一切实数成立,则称

f ( x) 为 F 函 数 , 给 出 下 列 函 数 . ① f ( x) =0 ; ② f ( x) = x 2 ; ③
f ( x ) ? 2 ( s ix n? c o x s) ;④ f ( x) ?
数,且满足对一切实数 x1,x2 均有 | 有 .(请填写序号)

x x ? x ?1
2

;⑤

f ( x) 是定义在 R 上的奇函

f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | ,其中为 F 函数的

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分. ? ? 15. 已 知 向 量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x) ( ? 为 常 数 且 ? ? 0 ) , 函 数
f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 .
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 在 [0,

?
4

? 个单位, 可得函数 y ? g ( x) 的图象, 若 y ? g ( x) 6?

] 上为增函数,求 ? 的最大值.

16. 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ,

AD ⊥ DC,AB//DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,

使 D1 E // 平面 A1 BD ,并说明理由.

17.(文) 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄
语, C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

17.(理)甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中则继续投篮,否则由对方投篮,
第一次由甲投,已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

1 2 、 . 2 3

(1)求前两次都由甲投篮的概率; (2)在前 3 次投篮中,乙投篮的次数为ξ ,求 Eξ .
2 2 ? 18. 已知各项为正数的数列 {a n } 满足 an ?1 ? a a ?1a n ? 2a n ? 0 (n∈N ),且 a3 ? 2 是

a 2 ?, ? a

4 的等差中项.

(1) 求数列 {a n } 的通项公式 a n ; ( 2) 若 bn 求使 S n

? an l og

1 2

an ? ,? S

n

? b1 ? b2 ? ? ? bn ,

? n ? 2 n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值.

选做题
(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 1. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ?
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

2. . 已知向量 a ? (1,n),b ? (?1, n) , 若 2a ? b 与 b 垂直, 则a ?
A. 1 B. 2 C. 2 D.4

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 3. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,
则通项 an ? __________。

4. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球
面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为_________.

三、解答题:本大题共 2 小题,共 30 分. 5. 等差数列 ?an ? 中,a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .
? 6. 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R,? > 0) 的最小正周期是 . 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

参考答案格式 一、选择题 (答案+提示)
1.C 2. A
条件

p : x ? 1或x ? ?3 ,则 ?p : ?3 ? x ? 1 ; ?q : x ? a? .? ?p是?q 的充分不

必要条件,所以 a ? 1 ,故选 A. 总结点评 主要考查充要条件,和含参不等式的解法,可以直接通过画数轴得到.

3. C

由 1,a,b,c,2 成等比数列知 ac ? b

2

? 1? 2 ,∴ b ? ? 2 . 显然 b ? ? 2 不

符合题意,故 b 总结点评

? 2 ,所以 abc ? 2 2 .
本题考查等比数列的性质,熟练运用等比数列的性质是关键. y), 则由对称性知 P(x, y)关于直线 x=-1 f ( x) 图象上任意一点为 P(x,

4. C

设当 x ? ?2 时

对称点为 Q(-2,-x,y),则 y 总结点评 对称.

?

1 1 ,即所求 f ( x) ? ? . ?x?2 x?2

本题考查函数图象的对称性, 通过图象关于直线对称转化为点关于直线

5. B

|a+b|=

(m ? p) 2 ? (n ? q) 2 ?

2 2 (m ? p ? n ? q) ? ?8 ? 4 2 , 当 2 2

m ? p ? n ? q ? 4 时取等号.
总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化,通过重要不等式求最小值.

6. C
总结点评 考查线性规划的最大值和最小值, 准确画图找到可行域是关键.

7.B
1 8. 【解析】 随机取出2个小球得到的结果数有 ? 5 ? 4 ? 10 种(提倡列举) 。取出的小球标 2
注的数字之和为3或6的结果为 {1, 2},{1,5},{2, 4} 共3种,故所求答案为A。 方法二: 从五个球中任取两个共有=10 种,而 1+2=3,2+4=6,1+5=6,取出的小球标注的 数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况, 故取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 选 A.

3 , 10

9. A

由 tan A ?

5 25 1 12 得1 ? tan 2 A ? 1 ? ? ? , ? 所以 cos A ? . 12 144 cos2 A 13

∴ sin

A?

5 4 ? sin B ? ? . 13 13




A ? B? , ?又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
总结点评 C ? A ? B. ? 由 x1 ? x2

48 ? 5 153 5 ? ,即 13 ? 13 13

本题考查三角函数的变换公式,通过比较三角形各角的三角函 数值来判断三个角的大小关系.

10. A
妨设 x1

? 4? ,? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 知 x1,x2 中有一个小于 2,一个大于 2,即不

? 2 ? x2 ? , ?又f (? x) ? ? f ( x ? 4) 知 f ( x) 以(2,0)为对称中心,且当 x>2 时,

,? f ( x2 ) ? f (4 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) , 所 以 f ( x) 单 调 递 增 , 所 以 x1 ? 2 ? 4 ? x1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故选 A.
二、填空题 (答案+提示)
本小题主要考查圆与直线相切问题。

11. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1
设圆心为 (a,1), 由已知得 d ?

| 4a ? 3 | 1 ? 1 , ?a ? 2 舍 a ? ? 5 2

12. 163、199、175、128、395 直接从第八行第四列开始读取. 总结点评 本题关键是分清第八行第四列的数为 1,且考查了统计学中的随机数表的 运用.

13. x ? y ? 1 ? 0 。
【试题解析】易知点 C 为 (?1,0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 。
【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。

14. ①④⑤

在②中,| x

2

|? M | x | 即 | x |? M ,∵x∈R,故不存在这样的 M,在③中

? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,即 2 | sin( x ? ) |? M | x | ,即 2 ? M | x | 对一切 x 恒成立,故不 4 4
存在这样的 M. 总结点评 本题主要考查函数的性质,通过检验对一切实数 x 都有

| f ( x) |? M | x | 来判断.

三、解答题 (详细解答) 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6
因为函数 f ( x) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 ………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?

?
6

)

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?

可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x ………………………………………… 又? y ? g ( x) 在 [0,

?

? g ( x) 的周期 T ?

4 2?

] 上为增函数 ? ? 即? ? 2

所以 ? 的最大值为 2 ………………………… 16. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 连结 C1 D ,

?

? DC ? DD1 ,

?四边形 DCC1 D1 是正方形.
? DC1 ⊥ D1C .
又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,

? AD ⊥平面 DCC1 D1 , D1C ? 平面 DCC1 D1 ,
? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC1 ? D ,

? D1C ⊥ 平面 ADC1 ,
C 又 AC1 ? 平面 ADC1 , ? D1 C⊥ A 1 .
(2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ? A1D ? M ,

BD ? AE ? N ,连结 MN ,

D1

C1
B1

?平面 AD1 E ? 平面 A1BD ? MN ,
要使 D1E ∥ 平面 A1 BD ,须使 MN ∥ D1 E ,

A1

M

D A B

E

C

又 M 是 AD1 的中点.

? N 是 AE 的中点.

又易知 △ABN ≌△EDN , 即 E 是 DC 的中点.

? AB ? DE .

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥ 平面 A1 BD . 17.(文) (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基 本事件空间

( A1 ,B1 ,C2 ), ( A1 ,B2 ,C1 ) , ( A1 ,B2 ,C2 ), ( A1 ,B3 ,C1 ) , ( A1 ,B3 ,C2 ) , ? ? ?( A1,B1,C1 ), ( A2 ,B1 ,C1 ), ( A2 ,B1 ,C2 ), ( A2 ,B2 ,C1 ) , ( A2 ,B2 ,C2 ) , ( A2 ,B3 ,C1 ) , ( A2 ,B3 ,C2 ) , ( A3 ,B1 ,C1 ), ( A3 ,B1 ,C2 ), ( A3 ,B2 ,C1 ) , ( A3 ,B2 ,C2 ), ( A3 ,B3 ,C1 ), ( A3 ,B3 ,C2 )? .
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的. 用 M 表示“ A1 恰被选中”这一事件,则

( A1 ,B1 ,C2 ), ( A1 ,B2 ,C1 ), ( A1 ,B2 ,C2 ), ( A1 ,B3 ,C1 ), ( A1 ,B3 ,C2 )? , M ? ?( A1 ,B1 ,C1 ),
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件,

( A2,B1,C1 ), ( A3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, 由于 N ? { ( A1,B1,C1 ),
所以 P( N ) ?

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? 18 6 6 6

17 (理) (1) 第一次由甲投且第二次由投的概率为

1 1 1 . , 故前两次由甲投的概率为1 ? ? ? 2 2 2

(2) 依题意可知 P(? ? 0) ?

1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? 1 ? ,P(? ? 1) ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? , 2 2 4 2 3 2 2 12

1 2 1 13 P(? ? 2) ? ? ? 1 ? ,∴ E? ? . 2 3 3 12
总结点评 本题主要考查概率及数学期望, 做概率题要注意多读题, 要注重可能事 件概率,互斥事件的概率加法公式,独立事件概率乘法公式,n 次独立重复试验中发生 k 次 的概率问题. 18. 1)∵ a n?1 ? a n?1a n
2 2 ? 2a n ? 0 ,∴ (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0 ,

∵数列 {a n } 的各项均为正数,∴ a n?1 ? a n 即 a n?1 ∵ a3

? 0 ,∴ an?1 ? 2an ? 0 ,

? 2an (n∈N ? ),所以数列 {a n } 是以 2 为公比的等比数列.

? 2是a 2 ? ,? a 4 的等差中项,∴ a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 ,

∴ 2a1 ? 8a1

? 8a1 ? 4 ,∴a1=2,
? 2n .

∴数列 {a n } 的通项公式 a n (2)由(1)及 bn

? an log 1 an ,得 bn ? ?n ? 2 n ,
2

∵ Sn ∴ Sn

? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
? ?2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? 4 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ,
① ②

∴ 2S n

? ?2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 25 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1

①-②得, S n

? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? n ? 2

2

3

4

5

n

n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 1? 2

? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 .
要使 S n ∴使 S n

? n ? 2 n?1 ? 50 成立,只需 2 n?1 ? 2 ? 50 成立,即 2 n?1 ? 52? ,? n ? 5? . ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

解题探究 本小题第一问求数列的通项公式, 需选判断数列的构成规律, 第二问求 n 的最小值,需求出 Sn,由 bn 的表达式可知,用错位相减法求和,然后解不等式即可.

选做题答案
1. C【分析】 由程序知, S ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 50 ? 2 ?

1 ? 50 ? 50 ? 2550. 2

2. :C【解析】 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得:
(3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 ,

a ? 2.

3. .

n ? n ? 1? 2

? 1 _。

4. V ?

4 ?. 3

【试题解析】∵正六边形周长为 3,得边长为

1 ,故其主对角线为 1,从而球的直径 2

2R ?

? 3?

2

? 12 ? 2

∴ R ?1

∴球的体积 V ?

4 ? 3

5. 解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则
a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,
2

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

整理得 10d ? 10d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ? 6. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2
1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 2 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 . 4? ?
由题设,函数 f ( x) 的最小正周期是 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) ?

? 2? ? ,可得 ? ,所以 ? ? 2 . 2 2? 2

?? ? 2 sin ? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?

当 4x ?

?? ? ? ? k? ? ? ? 2k ? ,即 x ? ? (k ? Z) 时, sin ? 4x ? ? 取得最大值 1,所以函数 4? 4 2 16 2 ?

? k? ? ? f ( x) 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x x ? ? ,k ? Z ? . 16 2 ? ?


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