基本初等函数(Ⅰ)3.4函数的应用(Ⅱ)教案新人教B版必修1

3.4 函数的应用(Ⅱ) 整体设计 教学分析 教材利用 3 个实例介绍了指数函数、 对数函数和幂函数在社会学、 经济学和核物理学等 领域中的广泛应用.由于本节与社会生活经验有联系,建议学生课前了解相关生活的知识. 三维目标 掌握指数函数、 对数函数和幂函数在实际中的应用, 提高学生分析问题和解决问题的能 力,树立应用的意识. 重点难点 教学重点:建立函数模型. 教学难点:建立函数模型. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(事例导入) 一张纸的厚度大约为 0.01 cm,一块砖的厚度大约为 10 cm,请同学们计算将一张纸对 折 n 次的厚度和 n 块砖的厚度,列出函数关系式,并计算 n=20 时它们的厚度.你的直觉与 结果一致吗? n 解: 纸对折 n 次的厚度: f(n)=0.01·2 (cm), n 块砖的厚度: g(n)=10n(cm), f(20)≈105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外,通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解. 思路 2.(直接导入) 请同学们回忆指数函数、 对数函数以及幂函数的图象性质, 本节我们通过实例比较它们 的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克,需要支付 y 元,把 y 表示为 x 的函数. ②正方形的边长为 x,面积为 y,把 y 表示为 x 的函数. ③某保护区有 1 单位面积的湿地,由于保护区努力,湿地每年以 5%的增长率增长,经 过 x 年后湿地的面积为 y,把 y 表示为 x 的函数. ④分别用表格、图象表示上述函数. ⑤指出它们属于哪种函数模型. ⑥讨论它们的单调性. ⑦继续扩大 x 的取值范围,比较它们的增长差异. ⑧另外还有哪种函数模型. 活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬, 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. ①总价等于单价与数量的积. ②面积等于边长的平方. ③由特殊到一般,先求出经过 1 年、2 年、…. ④列表画出函数图象. 1 ⑤引导学生回忆学过的函数模型. ⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性. ⑦让学生自己比较并体会. ⑧另外还有与对数函数有关的函数模型. 讨论结果:①y=x. 2 ②y=x . x ③y=(1+5%) , ④如下表: x y=x y=x 2 1 1 1 1.05 2 2 4 1.10 3 3 9 1.16 4 4 16 1.22 5 5 25 1.28 6 6 36 1.34 y=(1+ x 5%) 它们的图象分别为下图甲、乙、丙. 甲 乙 丙 ⑤它们分别属于:y=kx+b(直线型),y=ax +bx+c(a≠0,抛物线型),y=ka +b(指 数型). ⑥从表格和图象得出它们都为增函数. x ⑦在不同区间增长速度不同,随着 x 的增大 y=(1+5%) 的增长速度越来越快,会远远 大于另外两个函数. ⑧另外还有与对数函数有关的函数模型, 形如 y=logax+b, 我们把它叫做对数型函数. 函数模型是应用最广泛的数学模型之一. 许多实际问题一旦认定是函数关系. 就可以通 过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决. 应用示例 2 2 x 例 11995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口的自然年增长率控制在 1.25%,问哪一年 我国人口总数将超过 14 亿? x 解:设 x 年后人口总数为 14 亿.依题意,得 12·(1+0.012 5) =14, 14 x 即(1+0.012 5) = . 12 两边取对数,得 xlg1.012 5=lg14-lg12,所以 x= lg14-lg12 ≈12.4. lg1.012 5 所以 13 年后,即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿. 点评:增长率问题通常与指数函数有关. 变式训练 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度 为 k,通过 x 块玻璃以后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; 1 (2)通过多少块玻璃以后,光线强度减弱到原来的 以下.(lg3≈0.477 1) 3 解:(1)光线经过 1 块玻璃后强度为(1-10%)k=0.9k; 2 光线经过 2 块玻璃后强度为(1-10%)·0.9k=0.9 k; 2 3 光线经过 3 块玻璃后强度为(1-10%)·0.9 k=0.9 k; x 光线经过 x 块玻璃后强度为 0.9 k. x ∴y=0.9 k(x∈N+). k x (2)由题意,知 0.9 k< , 3 1 1 x ∴0.9 < .两边取对数,xlg0.9<lg . 3 3 1 lg 3 ∵lg0.9<0,∴x> . lg0.9 1 lg 3 lg3 ∵ = ≈10.4,∴xmin=11. lg0.9 1-2lg3 1 ∴通过 11 块玻璃以后,光线强度减弱到原来的 以下. 3 例 2 有一种储蓄按复利计算利息,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计 算 5 期后的本利和是多少(精确到 0.01 元)? 解:已知本金为 a 元: 1 期后的本利和为 y1=a+a×r=a(1+r); 2 2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r) ; 3 3 期后的本利和为 y3=a(1+r) ; …… x x 期后的本利和为 y=a(1+r) . 5 将 a=1 000(元),r=2.25%,x=5 代入上式得 y=1 000×(1+2.25%) =1 000×1.022 5 5. 由计算器算得 y=1 117.68(元). 3 所以复利函数式为 y=a(1+r) 5 期后的本利和为 1 117.68 元. 变式训练 2 2 某地现有森林面积为 1 000 hm ,每年增长 5%,经过 x(x∈

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