2015届高考数学总复习第十章 第二节排列与组合(一)课件 理_图文

第十章 第二节 排列与组合(一) 用定义法求排列数 【例1】 (1)书架上原有5本不同的书排放在一排,再放 上3本不同的书,且不改变原书的相对顺序,共有不同的放法 种数是________. (2)在学校的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有 1名、2名、3名同学获奖,将这六名同学排成一排合影,要求 同年级的同学相邻,那么不同的排法共有____________. 思路点拨: (1) 将 8本书看成8个位置,先把 3本“新书 ” 放进去,再把原来的5本书按原顺序放进去. (2)可以把B,C捆绑成一个元素,再与其他元素排列. 解析:(1)设想书架上有 8 个位置,每本书占一个位置,先在 这 8 个位置中任选 3 个放上 3 本“新书”,有 A3 8种放法;再将原 来的 5 本“旧书”按原来的顺序放在余下的空位上,只有 1 种放 法.由分步计数原理,共有 A3 8=336 种放法. (2)将各年级的同学看作一个元素作全排,然后作它们内部的 2 3 全排即可,即 A3 3A2A3=72. 答案:(1)336 (2)72 点评:排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况, 在应用排列数公式进行计数时,一是分清“元素”与“位 置”,二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法 数即为排列问题. 变式探究 1. (1)(2013· 临汾模拟)在制作飞机的某一零件时,要先后 实施 6 个工序.工序 A只能出现在第一步或最后一步,工序B 和C实施时必须相邻,则实施顺序的编排方法共有 __________. (2)某6名短跑运动员在100 m跑比赛后,其成绩互不相同, 其中甲的成绩比乙好,乙的成绩比丙好,这6名运动员的成绩 排名共有可能结果的种数是_______________. 解析:(1)由题意可知,先排工序 A,有 2 种编排方法;再将 工序 B 和 C 视为一个整体(有 2 种顺序)与其他 3 个工序全排列共 4 有 2A4 4种编排方法.故实施顺序的编排方法共有 2×2A4=96 种. (2)问题等价于 6 人站成一排,其中甲站乙的前面,乙站丙的 前面,求共有多少种站法.先从 6 个位置中选 3 个站其余 3 人, 有 A3 6种站法;再将甲、乙、丙三人按前述顺序站在其余 3 个空位 上,只有 1 种站法.所以共有 A3 6=120 种可能结果. 答案:(1)96 种 (2)120 结合两个计数原理求排列数 【例2】 从数字0,1,3,5,7中取出不同的3个作系数. (1)可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0? (2)其中有实数根的有几个? 思路点拨: (1) 二次方程要求 a 不为 0 ,故 a 只能在 1,3,5,7 中选, b , c 没有限制; (2) 二次方程要有实根,需 Δ = b2 - 4ac≥0,再对c分类讨论. 解析:(1)a 只能在 1,3,5,7 中选一个有 A1 4种,b,c 可在余下 1 的 4 个中任取 2 个,有 A2 A2 4种.故可组成二次方程 A4· 4=48 个. (2)方程要有实根,需 Δ=b2-4ac≥0. 若 c=0,a,b 可在 1,3,5,7 中任取 2 个,有 A2 4种; 若 c≠0,b 只能取 5,7,b 取 5 时,a,c 只能取 1,3,共有 A2 2 个;b 取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5,有 2A2 2个.故有实根的二次 2 2 方程共有 A2 + A + 2A 4 2 2=18 个. 点评: 两个计数原理是我们处理计数问题的基础,在 分类或分步过程中,若出现每类或每步是一个排列问题,则 可直接用排列数公式求解,然后根据情况相加或相乘. 变式探究 2.(1)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不 与5相邻的六位偶数的个数是( A.72 B.96 ) C.108 D.144 (2)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站 两端, 3 位女生中有且只有 2 位女生相邻,则不同排法的种数 是( ) A.60 B.48 C.42 D.36 解析:(1)先选一个偶数字排在个位,有3种选法. 2 若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,2 A2 A 3 2 = 24个; 若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排, 2 A 共3A2 2 2=12个. 算上个位上偶数字的排法,共计3(24+12)=108个.故选 C. (2)( 法一 ) 从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作 A , (A 共 2 有C2 A 3 2= 6 种不同排法 ) ,剩下一名女生记作 B ,两名男生分别 记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端,则 为使 A 、 B 不相邻,只有把男生乙排在 A 、 B之间,此时就不能 满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A左B右 和 A右B左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙, 所以,共有12×4=48种不同排法. ( 法二) 同解法一,从 3名女生中任取 2 人 “捆 ” 在一起 2 记作A,(A共有 C2 3A2 =6种不同排法),剩下一名女生记作B, 两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类 情况: 第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有 2 6 A2 2A2 =24种排法; 第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B 和男生甲只有一种排法,此时共有 =12种排法; 6A2 2 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间 “ 捆 6A2 绑”A和男生甲也只有一种排法,此时共有 2 =12种排 法. 三类之和为24+12+12=48种.故选B. 答案:(1)C (2)B 用间接法求排列数 【例 3】 有 4 名男生和 3 名女生,全体站成一排,求在 下列条件下各有多少种不同的站法? (1)甲、乙、丙3名女生不全相邻; (2)男生连排在

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