正弦定理、余弦定理应用举例教案

正弦定理、余弦定理应用举例 1.用正弦定理和余弦定理,面积公式 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平 线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)). (2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平 角,如 B 点的方位角为 α (如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°,西偏南 60°,东北方向等. 【例题分析】 一、基础理解 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为( A.α >β B.α =β C.α +β =90° D.α +β =180° ). ).

2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° B.北偏西 15° C.北偏东 10° D.北偏西 10°

3.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( A.5 海里 二、测量距离问题 例 1、如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,B 两点 的距离为( A.50 2 m ). B.50 3 m C.25 2 m 25 2 D. m 2 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 ).

例 2、 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两 座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°,30°,于水 面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另 外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离.

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三、测量高度问题 例 3、如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60°,在山顶 C 测得 塔顶 A 的俯角为 45°,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD.

例 4、 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得 ∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB.

四、航海问题 例、 如图, 甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行. 当 甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里.问:乙船每小时航行多少海里?

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练习
1.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则 B,C 间的距 离是________海里.

2. 已知一小山的高度 CD ? 100m, 从山顶看 A 点的俯角为 300 , 看 B 点的俯角 为 450 , A,B,D 三点在一条直线上,则 AB= 米

3. 如图,在四边形 ABCD 中, ? ADB= ? BCD=75 求:(1)AB 的长 (2)四边形 ABCD 的面积

?

, ? ACB= ? BDC=45

?

,DC= 3 ,

3.如图,一艘船上午 9:30 在 A 处得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿正北方
向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相 距 8 2 n mile.求船的航速

4.如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和 ∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求 AB 的长.

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5.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待 营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东β 的方向 即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cosβ .

6.某人在塔 AB 的正东 C 处,沿着南偏西 60 的方向前进 40 米到达 D 处,望见塔在东 北方向,若沿途测得塔的最大仰角为 30 ,求塔高. A

B C E D

7.如图,点 A 表示一小灵通信号发射的位置(塔高不计) , l 为一条东北走向的公路,技术人员为测试该 发射塔信号的覆盖范围,自 A 点正西方向的 B 处骑自行车沿公路出发,约经过 6 分钟,发现小灵通开始有 信号,已知:AB= 4 2 km,车速 10km/h,能否根据以上信息,测算出该塔信号的覆盖半径以及小灵通持续 显示信号的时间? E D

C B

F



A

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