2017届新人教B版 直线与圆的位置关系 课时作业

课时作业 77 直线与圆的位置关系

1 1.如图,AB 是⊙O 的直径,MN 与⊙O 切于点 C,AC=2BC, 则 sin∠MCA=________.

解析:由弦切角定理得,∠MCA=∠ABC, AC sin∠ABC=AB = 5 答案: 5 2.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC PB 1 PC 1 BC 相交于点 P,若 PA =2,PD=3,则AD的值为________. AC AC 5 =5. 2 2= 5AC AC +BC

解析:∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,∴△PCB∽△PAD, PB PC BC PB 1 PC 1 BC 6 ∴PD= PA =DA,∵ PA =2,PD=3,∴AD= 6 . 6 答案: 6 3.如图,D 是圆 O 的直径 AB 延长线上一点,PD 是圆 O 的切

线,P 是切点,∠D=30°,AB=4,BD=2,PA=________.

,) 解析: 连接 PO, 因为 PD 是⊙O 的切线,P 是切点, ∠D=30°, 所以∠POD=60°,并且 AO=2,∠POA=120°,PO=2,在△POA 中,由余弦定理知,PA=2 3. 答案:2 3 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72°,⊙O 过 A、B 两 点且与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连接 BD,若 BC= 5-1, 则 AC=________.

,) 解析:由题易知,∠C=∠ABC=72°,∠A=∠DBC=36°, 所以△BCD∽△ACB, 又易知 BD=AD=BC, 所以 BC2=CD· AC=(AC -BC)· AC,解得 AC=2. 答案:2 5.(2015· 湖北卷)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的 AB 割线,且 BC=3PB,则AC=________.

,) 解析:由切割线定理知,PA2=PB· PC=PB· (PB+BC)=4PB2,则 AB PB 1 PA=2PB,而△PAB∽△PCA,所以AC= PA =2. 1 答案:2

6.(2016· 天津月考)如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O, 圆 O 与斜边 AC 交于 D, 过 D 作圆 O 的切线与 BC 交于 E, 若 BC =6,AB=8,则 OE=________.

,) 解析:

由题意,如图,连接 OD,BD,则 OD⊥ED,BD⊥AD.∵OB= OD,OE=OE,∴Rt△EBO≌Rt△EDO,∴EB=ED,∴∠EBD=∠ EDB. 又 ∠EBD + ∠C = 90 ° , ∠ EDB + ∠EDC = 90 ° , ∴ ∠ C = 1 ∠EDC,∴ED=EC,∴EB=EC.∵O 是 AB 的中点,∴OE=2AC.∵ 直角边 BC=6,AB=8,∴AC=10,∴OE=5. 答案:5 7.(2015· 广东卷)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,EC 是 圆 O 的切线,切点为 C,BC=1,过圆心 O 作 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P,则 OD=________.

,) 解析:

连接 OC,由于 EC 是圆 O 的切线,∴OC⊥DC,由题意知 OC

OC =2,∴在 Rt△DOC 中,cos∠COD=OD.又 OD∥BC,∴∠COD= ∠OCB,而△OCB 为等腰三角形,且 OC=OB=2,BC=1,∴cos∠ BC 1 OC 1 OCB=cos∠OBC=AB =4,∴cos∠COD=OD=4,∴OD=8. 答案:8 8.如图,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点,∠ PBA=∠DBA.若 AD=m,AC=n,则 AB=________.

,) 解析:∵PB 切⊙O 于点 B, ∴∠PBA=∠ACB.又∠PBA=∠DBA, ∴∠DBA=∠ACB,又∠A 是公共角, AB AD ∴△ABD∽△ACB.∴AC= AB , ∴AB2=AD· AC=mn,∴AB= mn. 答案: mn 9. 如图, 两个等圆⊙O 与⊙O′外切, 过 O 作⊙O′的两条切线 OA, OB,A,B 是切点,点 C 在圆 O′上且不与点 A,B 重合,则∠ACB= ________.

,) 解析:连接 O′A,O′B,O′O,由⊙O 与⊙O′外切且半径相等 1 得 O′A=2O′O,又因 O′A⊥OA,所以∠AOO′=30°,同理∠BOO′ =30°,故∠AOB=60°,由四边形的内角和为 360°得∠AO′B= 1 120°,故∠ACB=2∠AO′B=60°.

答案:60° 10.(2015· 江苏卷)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ABC 的外接 圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D.

求证:△ABD∽△AEB. 证明:因为 AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE 为公共角,可知△ABD∽△AEB. 11.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE.

(1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形. 证明:(1)由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上.

又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即

MN⊥AD. 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E. 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形. 12. (2015· 全国卷Ⅰ)如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的切线, BC 交⊙O 于点 E.

(1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小. 解:(1)如图,连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.

在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC, 故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是⊙O 的切线. (2)设 CE=1,AE=x, 由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2. 由射影定理可得,AE2=CE· BE, 所以 x2= 12-x2, 即 x4+x2-12=0.

可得 x= 3, AE 所以∠ACB=60°.(tan∠ACB=CE= 3)

1.如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的 延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC.

(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6 cm, 求 AD 的长. 证明:(1)证明:因为 AD 平分∠EAC,所以∠EAD=∠DAC. 因为四边形 AFBC 内接于圆,所以∠DAC=∠FBC. 因为∠EAD=∠FAB=∠FCB, 所以∠FBC=∠FCB,所以 FB=FC. (2)证明:因为∠FAB=∠FCB=∠FBC, ∠AFB=∠BFD,所以△FBA∽△FDB, FB FA 所以FD=FB,所以 FB2=FA· FD. (3)解:因为 AB 是圆的直径,所以∠ACB=90°, 又∠EAC=120°,所以∠ABC=30°, 1 ∠DAC=2∠EAC=60°,因为 BC=6, 所以 AC=BCtan∠ABC=2 3, 所以 AD= AC =4 3(cm). cos∠DAC

2.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. 解:(1)由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于 E,F,所以 AE=AF, 故 AD⊥EF.从而 EF∥BC.

(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF, 故 AD 是 EF 的垂直平分线. 又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上. 连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM=2MN= 3,所以 OD=1, 10 3 于是 AD=5,AB= 3 . 所以四边形 EBCF 的面积为

1 10 3 2 3 1 3 16 3 2 × ( ) × - × (2 3) × 2 3 2 2 2= 3 .


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