多面体外接球半径常见的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上, 那么称这个多面 体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接 球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究 多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识, 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系, 而 多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知
9 8

该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周 长为3,则这个球的体积为 解 .

设正六棱柱的底面边长为 x ,高为 h ,则有
1 , 2 3.
1 2

6 x ? 3, ? ? ? ?x? ?9 3 2 ?? x h, ? ? ? 6? 4 ?h ? ?8

∴正六棱柱的底面圆的半径 r ? ,球心到底面的距离 d ? 外接球的半径 R ? r 2 ? d 2 ? 1.?V 球 ?
4? . 3

3 .∴ 2

小结 本题是运用公式 R 2 ? r 2 ? d 2 求球的半径的,该公式是求球 的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积

为 16,则这个球的表面积是 A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?



设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有

4 x 2 ? 16 ,解得 x ? 2 .

∴ 2R ? 22 ? 22 ? 42 ? 2 6,     ? R ? 6 .∴这个球的表面积是
4? R2 ? 24? .选 C.

小结 本题是运用 “正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直 径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外 .

接球的表面积是 解

据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱

锥可以补成一个棱长为 3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱 锥的外接球. 设其外接球的半径为 R ,则有 ? 2R ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 9 .∴
2 2 2 2

R2 ?

9 . 4

故其外接球的表面积 S ? 4? R2 ? 9? . 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分 别为 a、b、c , 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
R ,则有 2R ? a2 ? b2 ? c2

.

寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点
S

S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体积

为 解

. 设正四棱锥的底面中心为 O1 , 外接球的球心
A D O1 图3 B C

为 O ,如图 1 所示.∴由球的截面的性质,可得
OO1 ? 平面ABCD .

又 SO1 ? 平面ABCD ,∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上. ∴ ?ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就 是外接球的半径. 在 ?ASC 中,由 SA ? SC ? 2,AC ? 2 ,得 SA2 ? SC 2 ? AC 2 . ∴ ?ASC是以AC为斜边的Rt? . ∴
AC 4? ? 1 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故 V 球 ? . 2 3

小结 根据题意, 我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元 素的外接球的一个轴截面圆, 于是该圆的半径就是所求的外接球的半 径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方 法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆, 从而把立体几何问题 转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们 学习.

确定球心位置法 例5 在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一

个直二面角 B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为 A.
125 ? 12 125 ? C. 6 125 ? 9 125 ? D. 3

B.

D C B



设矩形对角线的交点为 O , 则由矩形对角线互
A O 图4

相平分,可知 OA ? OB ? OC ? OD .∴点 O 到四面体的四 个顶点 A、B、C、D 的距离相等, 即点 O 为四面体的外接 球的球心,如图 2 所示.∴外接球的半径 R ? OA ? .故
4 125 V 球 ? ? R3 ? ? .选 C. 3 6
5 2

出现两个垂直关系,利用直角三角形结论 【原理】 :直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角 形斜边中点。 【例题】 :已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上, AB ? BC 且
PA ? 7 , PB ? 5 , PC ? 51 , AC ? 10 ,求球 O 的体积。

解: AB ? BC 且 PA ? 7 , PB ? 5 , PC ? 51 , AC ? 10 ,
2 2 因为 7 ? 51 ? 10 2
2 2 2 所以知 AC ? PA ? PC

P

所以 PA ? PC

所以可得图形为:

在 Rt ?ABC 中斜边为 AC 在 Rt ?PAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O ,

B

A

O

C

在 Rt ?ABC 中 OA ? OB ? OC 在 Rt ?PAC 中 OP ? OB ? OC 所以在几何体中 OP ? OB ? OC ? OA ,即 O 为该四面体的外接球的 球心 R ?
1 AC ? 5 2

4 500? 所以该外接球的体积为V ? ? R3 ? 3 3

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

第二类方法:
?h? 多面体的顶点落于地面图形的顶点: ? ? ? r 2 ? R 2 ?2?
2

h2 ? r 2 多面体的顶点落于地面图形的中心: R ? . 2h
Eg1:已知在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面ABC , ?BAC ? 120 ,
?

AB ? AD ? AC ? 2 ,求该棱锥的外接球半径。

Eg2:正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点
S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体积为

.


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