2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)_图文

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数 学
本试卷分第 I 卷(填空题)和第 II 卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在 本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂 黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , , xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积、 h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. f ( x) ? cos( ?x ?

S ? 4πR2 , V ?

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

?

6

) 最小正周期为

? ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? 5
1/12 ▲

10 ▲

2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 3.

1? i 表示为 a ? bi (a, b ? R) 的形式,则 a ? b = 1 ▲ 1? i 2 4. A ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 7 ,则集合 A ? Z 中有 0▲ 个元素 ? ? ? 5. a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? 7 ▲

?

?

6. 在平面直角坐标系 xoy 中, 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是 到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 :π/16 ▲

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7.某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,现随机地选择 50 位老人做调查, 下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布表: 开始 序号 分组 组中值 频数 频率 (i) 睡眠时间 (Gi) (人数) (Fi) S? 0 1 2 3 4 5 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9] 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 6 10 20 10 4 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 i? i+1 N i?1 输入 Gi,Fi S? S+Gi·Fi i≥5 Y 输出 S 结束

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图, 则输出的 S 的值为 6.42 .

1 8.直线 y ? x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线, 2 ? 1▲ 则实数 b 的值为 l n 2 9.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p)在线段 AO 上(异 于端点) ,设 a, b, c, p 均为非零实数,直线 BP, CP 分别
交 AC, AB 于点 E , F ,一同学已正确算的 OE 的方程: ? 的方程: (

?1 1? ? 1 1? ? ?x ? ? ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF ?b c? ? p a?

1 1 ? c b



)x?? ?

? 1 1? ? ? ?y ? 0 ? p a?

10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 11. x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z ? 0,
*

n2 ? n ? 6 2



y2 的最小值为 3 ▲ xz x2 y2 12.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径的 a b 2 ?a ? 2 圆,过点 ? ▲ ? c ,0 ? ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 2 ? ?
13.若 AB ? 2, AC ?
3

14. f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ? ?? 1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =

2BC ,则 S ?ABC 的最大值

2 2 ▲

4 ▲

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二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别 与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为

(1)求 tan( ? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值。 解析】 :本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正 切公式,考查运算求解能力。 y 由条件得 cos ? ?

2 2 5 , 10 5

2 2 5 ,cos ? ? A 10 5 1 7 2 5 ? tan ? ? 7, tan ? ? ?、? 为锐角,? sin ? ? ,sin ? ? 2 10 5 O 1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 4 1 7? 2? 2 tan ? 4 tan ? ? tan 2 ? 3 ? ?1 2 ? ? tan(? ? 2? ) ? (2) tan 2 ? ? ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 1 ) 2 3 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 7 ? 4 2 3 3? 3? ?? ? 2 ? ? ?、? 为锐角,? 0 ? ? ? 2? ? 2 4 16. (14 分)在四面体 ABCD 中, CB ? CD, AD ? BD ,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点,
求证: (1)直线 EF//面 ACD (2)面 EFC⊥面 BCD (1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 又∵ EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD∴直线 EF//面 ACD (2)

B x

EF // AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ?

CB ? CD ? ? ? CF ? BD F为BD中点? CF EF ? F

? B D? 面 C E F ? ? ? 面E F C? 面 B C D B B D? 面 B C ? D
F E D

C

A

17. (14 分) 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、 B 及 CD 的中点 P 处, 已知 AB=20km, BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与等距 离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式;

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②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 D P O A 1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=θ(rad),则 OA ? 故 OB ? B C

AQ 10 ? , cos ?BAO cos ?

10 cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10tan? cos ? cos ?

又 OP ? 10 ? 10tan? ,所以 y ? OA ? OB ? OP ? 所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ? ? 10 (0 ? ? ? ) cos ? 4 20 ? 10sin ? ? ? 10 (0 ? ? ? ) 所求函数关系式为 y ? cos ? 4

②若 OP=x(km),则 OQ=10-x,所以 OA ? OB ? 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200

(10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

(0 ? x ? 10) ?10 cos ? cos ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? (2)选择函数模型①, y ' ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? ? 0 ? ? ? ?? ? 令 y ' ? 0 得 sin ? ? 2 4 6 ? ? ? 当 ? ? (0, ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的减函数;当 ? ? ( , ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的增函数; 6 6 4 1 20 ? 10 ? ? 2 ? 10 ? 10 3 ? 10 所以当 ? ? 时, ymin ? 6 3 2
此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

18. (16 分)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴 有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求: (1)求实数 b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 (1)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (2)设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b

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令 x=0,得 y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0 (3)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 02+ 12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) 。 19. (16 分) (1)设 a1 , a2 ,...... ,且公差 d ? 0 ,若将此数 an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) 列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d ( 2 )求证:对于一个给定的正整数 n(n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b2 ,...... bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。
①当 n ? 4 时,求 )①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则 推出 d=0。 若删去 a2 ,则 a32 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? 4d ? 0 ,得 若删去 a3 ,则 a22 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 综上,得

a1 ? ?4 d

a1 ?1 d

a1 a ? ?4 或 1 ? 1 。 d d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。
若删去 a3 ,则 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ,即 a1 ( a1 ? 4 d ) ? (a1 ? d ) ? (a 化简得 3d ? 0 ,因为 1 ? 3d )
2

d ? 0 ,所以 a3 不能删去;
当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,

, an?2 , an?1, an 中,由于不能删 去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an ? a3 ? an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删去 an ?1 也有 这与 d ? 0 矛盾; 若删去 a3 , , an?2 中任意一个, 则必有 a1 ? an ? a2 ? an?1 , a1 ? an ? a3 ? an?2 , 这与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 (2) 假设对于某个正整数 n, 存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... 其中 bx?1 , by ?1 , bz ?1 bn ,
2 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ) 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 , 则 b y ?1 ? bx?? 1

即 bz ?, 1

(b1 ? y d ) ? (1 b?
2
2

,化简得 x )d ? 1( ? b z ) d ( y ? xz)d ? ( x ? z ? 2 y)b1d
2 2

(*)

由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2 当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。

b1 y 2 ? xz 故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得 ? d x ? z ? 2y
2

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是,对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要

b1 为有理数。 d

b1 为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如 n 项数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,……,1 ? (n ?1) 2 满足要求。

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20. (16 分) 若 f1 ( x) ? 3
x? p1

, f2 ( x) ? 2 ? 3

x? p2

, x ? R , p1 , p2 为常数,且 f ( x) ? ?

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) (2)设 a , b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) 若 f (a) ? f (b) 求证: f ( x) 在区间 ?a, b? 上的单调增区间的长度和为

f ( x) ? f1 ( x) 恒成立 ? f1 ( x) ? f2 ( x) ? 3

x ? p1

b?a (闭区间 ?m, n ? 的长度定义为 n ? m ) 2 x? p x ? p ? x ? p2 ? 2?3 2 ? 3 1 ?2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2

(*)

若 p1 ? p2 ,则(*) ? 0 ? log3 2 ,显然成立;若 p1 ? p2 ,记 g ( x) ? x ? p1 ? x ? p2

, x ? p2 ? p1 ? p2 ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? p1 ? p2 , p2 ? x ? p1 ? p ?p , x ? p1 2 1 ?
所以 g ( x)max ? p1 ? p2 ,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 。

, x ? p1 ? p1 ? p2 ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ?2 x ? p1 ? p2 , p1 ? x ? p2 ? p ?p , x ? p2 2 1 ?
所以 g ( x)max ? p2 ? p1 ,故只需 p2 ? p1 ? log3 2 。 综上所述, f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充要条件是 | p1 ? p2 |? log3 2 (2)10 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,则 f ( x) ? f1 ( x) 的图像关于直线 x ? p1 对称。 (如图 1) 因为 f (a) ? f (b) ,所以区间 [ a, b] 关于直线 x ? p1 对称。 因为减区间为 [a, p1 ] ,增区间为 [ p1 , b] ,所以单调增区间的长度和为 20 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,不妨设 p1 ? p2 ,则 p2 ? p1 ? log3 2 , 于是当 x ? p1 时, f1 ( x) ? 3 1 当 x ? p2 时, f1 ( x) ? 3
p ?x x ? p1

b?a 。 2

? 3p2 ?x ? f2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x)
? 3p2 ? p1 ? 3x? p2 ? 3log3 2 ? 3x? p2 ? f2 ( x) ,从而 f ( x) ? f2 ( x)
x ? p1

当 p1 ? x ? p2 时, f1 ( x) ? 3 由方程 3 0
x ? p1

及 f2 ( x) ? 2 ? 3

p2 ? x



? 2 ? 3 p2 ? x0 得 x0 ?
1 2

p1 ? p2 1 ? log 3 2 , (1) 2 2

显然 p1 ? x0 ? p2 ? [( p2 ? p1 ) ? log 3 2] ? p2 ,表明 x0 在 p1 与 p2 之间。 所以 f ( x ) ? ?

? f1 ( x) , p1 ? x ? x0 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? p2

综上可知,在区间 [ a, b] 上, f ( x) ? ?

? f1 ( x) , a ? x ? x0 (如图 2) ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b

故由函数 f1 ( x) 及函数 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为

( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ,由 f (a) ? f (b) ,即 3 p1 ?a ? 2 ? 3b ? p2 ,得 p1 ? p2 ? a ? b ? log3 2 (2)

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b?a 2 b ? a 综合 1020 可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度和为 。 2
故由(1) (2)得 ( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ? b ? [ p1 ? p2 ? log 3 2] ?

1 2

卷2
21. (选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1 几何证明选讲 如图, 设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E, ∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D. 求 证: ED ? EB EC .
2

A

B

D

C

E

B.选修 4—2 矩阵与变换 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A=? ?0 求 F 的方程. 0? 对应的变换作用下得到曲线 F, 1?

C.选修 4—4 参数方程与极坐标

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(x,y ) 是椭圆 求 S ? x ? y 的最大值. 3

D.选修 4—5 不等式证明选讲 设 a,b,c 为正实数,求证:

1 1 1 ? ? + abc ≥ 2 3 . a 3 b3 c 3

必做题

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22. 记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A 记 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上一点, 为钝角时,求 ? 的取值范围.

D1 P 当 ?APC ??. D1 B

23.请先阅读:在等式 cos 2 x ? 2cos x ? 1 ( x ? R )的两边求导,得:
2

(cos 2x)? ? (2cos2 x ?1)?



由求导法则,得 ( ? sin 2 x) 2 ? 4cos x ( ? sin x) ,化简得等式: sin 2 x ? 2 cos x sin x .
1 2 2 n (1) 利用上题的想法 (或其他方法) , 试由等式 (1+x) = C0 n ? Cn x ? Cn x ?
n

n x?R , ? Cn nx (

正整数 n ≥ 2 ) ,证明: n[(1 ? x)

n ?1

k ?1 . ?1] = ? kCk nx k ?1

(2)对于正整数 n ≥ 3 ,求证: (i)

? (?1)
k ?1 n k ?1

n

k

kCk n =0;

(ii)

? (?1)
n

k

k =0; k 2 Cn

(iii)

? k ?1 C
k ?1

1

k n

?

2n?1 ? 1 . n ?1

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1 12 2 n ?n?6 10、 2
1、10 2、

3、1 11、3

4、0 12、

5、7

6、

? 16

7、6.42 14、4

8、 ln 2 ? 1

9、

1 1 ? c b

2 2

13、 2 2

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 【解析】 :本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角 的正切公式,考查运算求解能力。

2 2 5 ,cos ? ? 10 5 1 7 2 5 ? tan ? ? 7, tan ? ? ?、? 为锐角,? sin ? ? ,sin ? ? 2 10 5 1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 4 1 7? 2? 2 tan ? 3 ? ?1 2 ? 4 ? tan(? ? 2? ) ? tan ? ? tan 2? ? (2) tan 2 ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 7 ? 4 2 3 3? 3? ?? ? 2 ? ? ?、? 为锐角,? 0 ? ? ? 2? ? 2 4
由条件得 cos ? ? 16、 【解析】 :本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定,考查空间想象能力、 推理论证能力。 (1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 又∵ EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD∴直线 EF//面 ACD (2)

EF // AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ?

CB ? CD ? ? ? CF ? BD F为BD中点? CF EF ? F

? B D? 面 C E F ? ? ? 面E F C? 面 B C D B D? 面 B C ? D

17、 【解析】 :本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、抽象概 括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=θ(rad),则 OA ? 故 OB ?

AQ 10 ? , cos ?BAO cos ?

10 cos ?
10 10 ? ? 10 ? 10tan? cos ? cos ?

又 OP ? 10 ? 10tan? ,所以 y ? OA ? OB ? OP ?

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所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ? 10 cos ?

(0 ? ? ?

?
4

)

②若 OP=x(km),则 OQ=10-x,所以 OA ? OB ? 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200

(10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

(0 ? x ? 10) ?10 cos ? cos ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? (2)选择函数模型①, y ' ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? ? 0 ? ? ? ?? ? 令 y ' ? 0 得 sin ? ? 2 4 6 ? ? ? 当 ? ? (0, ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的减函数;当 ? ? ( , ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的增函数; 6 6 4 1 20 ? 10 ? ? 2 ? 10 ? 10 3 ? 10 所以当 ? ? 时, ymin ? 6 3 2
此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

18、 【解析】 :本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。 (1)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (2)设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 令 x=0,得 y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0 (3)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 02+ 12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) 。 19、 【解析】 :本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 (1) ①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项, 否则等差数列中连续三项成等比数列, 则推出 d=0。 若删去 a2 ,则 a32 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? 4d ? 0 ,得 若删去 a3 ,则 a22 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 综上,得

a1 ? ?4 d

a1 ?1 d

a1 a ? ?4 或 1 ? 1 。 d d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。
若删去 a3 ,则 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ,即 a1 ( a1 ? 4 d ) ? (a1 ? d ) ? (a 化简得 3d ? 0 ,因为 1 ? 3d )
2

d ? 0 ,所以 a3 不能删去;

, an?2 , an?1, an 中,由于不 能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an ? a3 ? an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删去 an ?1 也有

当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,

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a1 ? an ? a3 ? an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;若删去 a3 , , an?2 中任意一个,则必有 a1 ? an ? a2 ? an?1 ,这 与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 (2) 假设对于某个正整数 n, 存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... 其中 bx?1 , by ?1 , bz ?1 bn ,
( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ) 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 , 则 b2 y ?1 ? bx?? 1 即 bz ?, 1

(b1 ? y 2 d ) ? (1 b?

,化简得 x )d ? 1( ? b z ) d ( y2 ? xz)d 2 ? ( x ? z ? 2 y)b1d

(*)

由 b1d ? 0 知, y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0 当 y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。 故 y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
b1 为有理数。 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是,对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要

b1 为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如 n 项数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,……,1 ? (n ?1) 2 满足要求。 20、 【解析】 :本小题考查充要条件、指数函数于绝对值函数、不等式的综合运用。 (1) f ( x) ? f1 ( x) 恒成立 ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 3
x ? p1

? 2?3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

?2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2

(*)

若 p1 ? p2 ,则(*) ? 0 ? log3 2 ,显然成立;若 p1 ? p2 ,记 g ( x) ? x ? p1 ? x ? p2

, x ? p2 ? p1 ? p2 ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? p1 ? p2 , p2 ? x ? p1 ? p ?p , x ? p1 2 1 ?
所以 g ( x)max ? p1 ? p2 ,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 。

, x ? p1 ? p1 ? p2 ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ?2 x ? p1 ? p2 , p1 ? x ? p2 ? p ?p , x ? p2 2 1 ?
所以 g ( x)max ? p2 ? p1 ,故只需 p2 ? p1 ? log3 2 。 综上所述, f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充要条件是 | p1 ? p2 |? log3 2 (2)10 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,则 f ( x) ? f1 ( x) 的图像关于直线 x ? p1 对称。 (如图 1) 因为 f (a) ? f (b) ,所以区间 [ a, b] 关于直线 x ? p1 对称。 因为减区间为 [a, p1 ] ,增区间为 [ p1 , b] ,所以单调增区间的长度和为 20 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,不妨设 p1 ? p2 ,则 p2 ? p1 ? log3 2 , 于是当 x ? p1 时, f1 ( x) ? 3 1 当 x ? p2 时, f1 ( x) ? 3
p ?x

b?a 。 2

? 3p2 ?x ? f2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x)

x ? p1

? 3p2 ? p1 ? 3x? p2 ? 3log3 2 ? 3x? p2 ? f2 ( x) ,从而 f ( x) ? f2 ( x)
x ? p1

当 p1 ? x ? p2 时, f1 ( x) ? 3 由方程 3 0
x ? p1

及 f2 ( x) ? 2 ? 3

p2 ? x



? 2 ? 3 p2 ? x0 得 x0 ?

p1 ? p2 1 ? log 3 2 , (1) 2 2

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显然 p1 ? x0 ? p2 ? [( p2 ? p1 ) ? log 3 2] ? p2 ,表明 x0 在 p1 与 p2 之间。 所以 f ( x ) ? ?

1 2

? f1 ( x) , p1 ? x ? x0 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? p2

综上可知,在区间 [ a, b] 上, f ( x) ? ?

? f1 ( x) , a ? x ? x0 (如图 2) ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b

故由函数 f1 ( x) 及函数 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为

( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ,由 f (a) ? f (b) ,即 3 p1 ?a ? 2 ? 3b ? p2 ,得 p1 ? p2 ? a ? b ? log3 2 (2) 1 b?a 故由(1) (2)得 ( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ? b ? [ p1 ? p2 ? log 3 2] ? 2 2 b ? a 综合 1020 可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度和为 。 2
y (a,f(a)) (b,f(b)) y (a,f(a)) (b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) O 图1 x O 图2 x

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