江苏专用2018高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课四种命题和充分必要条件课时分层训练

第一章 集合与常用逻辑用语第 2 课 四种命题和充分、 必要条件课时 分层训练
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是________. 若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0
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[根据逆否命题的定义,命题“若 m>0,则方
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程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是“若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0”.] 2. 设α , β 是两个不同的平面, m 是直线且 m? α .则“m∥β ”是“α ∥β ”的________ 条件. 必要不充分 [m? α ,m∥β D α ∥β ,但 m? α ,α ∥β ? m∥β ,∴“m∥β ”是

“α ∥β ”的必要不充分条件.] 3.“x=1”是“x -2x+1=0”的________条件. 充分必要 [因为 x -2x+1=0 有两个相等的实数根,为 x=1,所以“x=1”是“x -2x+1=0”的充分必要条件.] 4.已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac >bc ”与它的逆命题、否命题、 逆否命题这四个命题中,真命题的个数是________. 【导学号:62172008】 2 [由 a>bD
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ac2>bc2,但 ac2>bc2? a>b.

所以原命题是假命题,它的逆命题是真命题. 从而否命题是真命题,逆否命题是假命题.] 1 2 5.“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的________条件. 4 【导学号:62172009】 充分不必要 [x +x+m=0 有实数解等价于 Δ =1-4m≥0, 1 1 1 即 m≤ ,因为 m< ? m≤ ,反之不成立. 4 4 4 1 2 故“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的充分不必要条件.] 4 6.给出下列命题: ①“若 a <b ,则 a<b”的否命题; ②“全等三角形面积相等”的逆命题; ③“若 a>1,则 ax -2ax+a+3>0 的解集为 R”的逆否命题; ④“若 3x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数”的逆否命题.
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其中为真命题的是________.(填序号) ③④ [对于①,否命题为“若 a ≥b ,则 a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面
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积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当 a>1 时,Δ =-12a<0,原命题正 确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正 确,故命题③④为真命题.] 7.(2017·金陵中学期中)设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的________条 件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”) 必要不充分 [当 a>2 且 b>2 时,a+b>4. 但当 a=1,b=6 时,有 a+b=7>4, 故“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件.] 8.“sin α =cos α ”是 cos 2α =0 的________条件. 充分不必要 [∵cos 2α =cos α -sin α , ∴若 sin α =cos α ,则 cos 2α =0,反之不一定,如当 cos α =-sin α 时也成立.] 9.命题“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是________. 【导学号:62172010】 若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0
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[“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是“若

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a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0”.]
10.若 x<m-1 或 x>m+1 是 x -2x-3>0 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围 是________. [0,2] [由已知易得{x|x -2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x -2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
?-1≤m-1, ? ∴? ? ?m+1<3 ?-1<m-1, ? 或? ? ?m+1≤3,
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∴0≤m≤2.]

二、解答题 11. 已知函数 f(x)在(-∞, +∞)上是增函数, a,b∈R, 对命题“若 a+b≥0, 则 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论. (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. [解] (1)否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 该命题是真命题,证明如下: 因为 a+b<0,所以 a<-b,b<-a. 又因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 所以 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),
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因此 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 所以否命题为真命题. (2)逆否命题: 已知函数 f(x)在(-∞, +∞)上是增函数, a, b∈R, 若 f(a)+f(b)<f(-

a)+f(-b),则 a+b<0.
该命题是真命题,证明如下: 因为 a+b≥0,所以 a≥-b,b≥-a, 因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), 所以 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.

? ? 3 ?3 ? 2 12.已知集合 A=?y?y=x - x+1,x∈? ,2? 2 ?4 ? ? ?
3 ? 3?2 7 2 [解] y=x - x+1=?x- ? + , 2 ? 4? 16 7 ?3 ? ∵x∈? ,2?,∴ ≤y≤2, 16 ?4 ?
? ? ?7 ∴A=?y? ≤y≤2 ? ? ?16
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? ?,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是 ?

“x∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 【导学号:62172011】

? ? ?. ? ?
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由 x+m ≥1,得 x≥1-m , ∴B={x|x≥1-m }. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 2 ∴A? B,∴1-m ≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3? ?3 ? ? 故实数 m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 4? ?4 ? ? B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·南通第一次学情检测)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|F(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的________条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”, “充分必要”,“既不充分又不必要”) 必要不充分 [“y=f(x)是奇函数”, 则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称; 反之若 f(x) =x ,则 y=|x |的图象关于 y 轴对称,但 y=f(x)是偶函数.] 2.设集合 A={x|x +2x-3<0},集合 B={x||x+a|<1},设命题 p:x∈A,命题 q:
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x∈B,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是________.
[0,2] [因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集. 又集合 A=(-3,1),B=(-a-1,-a+1),
?-a-1≥-3, ? 所以? ? ?-a+1<1 ?-a-1>-3, ? 或? ? ?-a+1≤1,

解得 0≤a≤2,即实数 a 的取值范围是 0≤a≤2.] 3.求证:关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1 的充分必要条件是 a+b+c=0. [证明] 必要性: 若方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1, 则 x=1 满足方程 ax +bx+c=0, ∴a+b+c=0. 充分性: 若 a+b+c=0,则 b=-a-c, ∴ax +bx+c=0 可化为 ax -(a+c)x+c=0, ∴(ax-c)(x-1)=0, ∴当 x=1 时,ax +bx+c=0, ∴x=1 是方程 ax +bx+c=0 的一个根. 综上,关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1 的充分必要条件是 a+b+c=0. 4.(2017·南通第一次学情检测)已知 c>0,设 p:函数 y=c 在 R 上递减;q:函数 f(x) 1 2 2 =x -c 的最小值不大于- .如果 p,q 均为真命题,求实数 c 的取值范围. 16 [解] 因为 c>0,p:函数 y=c 在 R 上递减, 1 2 所以 p 为真时,0<c<1;q 为真时,-c ≤- , 16 1 1 所以 c≤- 或 c≥ , 4 4 1 因为 c>0,所以 c≥ . 4 0<c<1, ? ? 因为 p,q 均为真命题,所以? 1 c≥ , ? ? 4 1 所以,实数 c 的取值范围为 ≤c<1. 4 1 解得 ≤c<1, 4
x x
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