2014年暑假高中自主招生数学入学测试答案

QBXT/JY/RXCSDA2014/6-5S

清北学堂集中培训课程入学测试答案
(2014 年暑假集中培训课程使用)

2014 年暑假自主招生 入学测试答案及分析建议 (数学部分)
试卷说明
如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析, 请通过邮箱与我们取得联系。 方式 1: 将自测结果(推荐直接在原试卷上给出答案)以照片或扫描件的形式发送。方式 2:将自测 答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分 析。 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 http://blog.sina.com.cn/tsba luon@qbxt.cn niut@qbxt.cn guzy@qbxt.cn haogc@qbxt.cn songss@qbxt.cn luon@qbxt.cn
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2014-6-20 发布

清北学堂教学研究部

清北学堂集中培训课程课程入学测试答案

2014 年暑假自主招生入学测试答案(数学部分)
测试结果分析及建议
本次自主招生(数学学科)难度与高校自主招生数学测试相当。 学生在独立完成入学测试后可进行自我评测。 本次入学测试卷共有 8 道选择填空题,3 道解答题,范围涉及代数、解析几何、组合计 数、数论,难度略高于高考水平,满分 100 分。 对将要升入高三的学生,如果学生感觉本套入学测试题目较新,没有做过类似原题,那 么入学测试卷的成绩对摸清学生水平有较大的意义。 鉴于即将升入高三的同学已经基本完成 数学各模块内容的学习,可以参考以下分数段为自己定位。 1. 成绩低于 40 分,说明学生目前的解题能力还不强,参加我们的培训时要重点学习 解题技巧与解题方法, 提高自己的解题能力来提高分数。 或者可以考虑参加我们的 “2015 年高考数学解题能力突破集训营” ,以高考难度为主要突破方向。 2. 成绩在 40 分到 85 分之间, 说明学生目前已经有一定的解题能力, 参加我们的培训 时重点练习已掌握的解题方法, 强化自己的解题能力, 正常发挥可以在自主招生考 试中取得好的成绩。 3. 若成绩高于 85 分,说明学生对已学知识掌握较好,参加我们的培训时可以将培训 目标定位全面提高自主招生笔试能力,争取使数学学科成为自招考试中的加分项! 对将要升入高二的学生,由于基础知识学习进度参差不齐,整体分数不容易划分标准, 但都应当对解决数学必修课本涉及的题目有一定的能力。其中第 2 题涉及组合计数、第 4 题涉及简单数论、第 10 题涉及导数知识,对于新高二的学员具有一定难度。鉴于各位新高 二学员后面还有一年半的时间进行自主招生的准备, 建议大家在班型授课过程中多了解自主 招生的考试特点以及各联盟、高校的具体考试风格,从而更好地规划今后的学习,取得满意 的自主招生成绩。

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入学测试答案(数学部分)
一、选择/填空题: (每题 6 分,共 8 题,48 分)
1、 设 f ? x ? ? A. 1 【清北解析】
10 12 注意 ?a ? 0 ,当 t ? ? 0, 2 a ? 时,有 t ? a ? a ,而 2014 ? 2

x ?2
10

2014

?2

2013

?

? 2 ? 2 ? 2 ,则 f ? 2014 ? ? .
2 1 0

B. 3

C. 22014-201410+1

D. 22015-201410-1

? ?

10

? 2120 ? 2 ? 22014 ,

所以 2014 ? 2
10

2014

? 22014 , 201410 ? 22014 ? 22013 ? 22013 ,??,
? 22 ? 21 ? 20 ? 1 ,又因 f ? 2014 ? ? 奇数,故 f ? 2014 ? ? 1

201410 ? 22014 ? 22013 ?

2、 若四面体的六条棱长分别为 2,3,4,5,6,7 ,则不同的形状有 适当放置后可完全重合,则认为是相同的形状) A. 8 【清北解析】 将长为 k 的线段记为 lk , k ? ?2,3, 4,5, 6, 7? ,考虑 l2 , l3 : 情形甲: l2 , l3 共面,则该面的另一边必为 l4 B. 9 C. 10 D. 11

种. (若两个四面体经

D

4 2 A 3 B

C

?1? . 若 l2 , l3 , l4 按顺时针方向组成三角形(如图,均指从形内向该面

看三边的绕向,下同) ,则边 DA 不能取 l6 (否则将使 ?BCD 的三边为 2,5,7 ,矛盾) .若 取 DA ? l5 , ? DB, DC? ? ?l6 , l7 ? ,有两种情况;若取 DA ? l7 , ? DB, DC? ? ?l5 , l6 ? ,也 有两种情况.共得 4 种情况.

? 2 ? . l2 , l3 , l4 按反时针方向组成三角形,类似也得 4 种情况.
情形乙: l2 , l3 异面,设 AB ? l2 , CD ? l3 ,则其余四条边,每一条皆
D

与 l2 , l3 相邻;于是 l2 , l7 所在面的另一条边必为 l6 。

3 C 7 A 2 B

? 3 ? . 若 l2 , l6 , l7 按顺时针方向组成三角形,不妨设 AC ? l6 , BC ? l7
(如图) ,剩下两条边, BD 不能取 l4 , 故只有 BD ? l5 , AD ? l4 , 得一种情况;

6

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? 4 ?. 若 l , l , l
0

2

6

7

按反时针方向组成三角形,不妨设

D 3 C 6 A 2 B

AC ? l7 , BC ? l6 (如图) ,剩下两条边, AD 不能取 l4 ,故只
有 AD ? l5 , BD ? l4 ,得一种情况; 因此,本题中不同的情况共 10 种.
7

2 3、 直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y ? 8 x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 ,则 AB ? .

A.

15

B. 2 15

C. 2 3

D. 4 3

【清北解析】 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 y ? 所以, y1 ? y2 ? 因此

ky 2 ? 2 ,即 ky 2 ? 8 y ? 16 ? 0 8

8 16 , y1 y2 ? ? k k

8 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 4k ? 4 ,即 k 2 ? k ? 2 ? 0 k
? ? y1 ? y2 ? ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 2 ?

因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ?2 ? 和 ? 2,
2

再由 y ? 2x ? 2 , y ? 8 x ,解得 A 2 ? 3, 2 ? 2 3 , B 2 ? 3, 2 ? 2 3 所以 AB ? 2 15 .

?

? ?

?

4、 813 除以 9 的余数是() A. 6 【清北解析】 【解法一】 82 除以 9 的余数为 1,有 812 即(82)6 除以 9 的余数仍为 1。 813=812×8,除以 9 余数为 8。选 C。 【解法二】 8 除以 9 的余数为(-1),有 813 即(-1)13 除以 9 的余数仍为(-1)可知应当选择 C。 B. 7 C. 8 D. 9

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5、 如图, 形状固定的直角三角形的斜边 BC 的两个端点分别在 x 轴和 y 轴的正方向上移动, 顶点 A 和原点分别在 BC 的两侧,则点 A 的轨迹是() A. 圆 B. 线段 C. 抛物线段 D. 一段圆弧

【清北解析】 如图所示,由于三角形 ABC 为直角三角形,故两 θ 角相等 A 点坐标可以写作: ( AC cos? , AB cos? ) 由于 AC 和 AB 的长度为常数, 故 A 点的轨迹为线段。 6、 设偶函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 2 ,且当 xy ? 0 时, f 【清北解析】 由 f ?1? ? 2 得到 f ?
f ? 3? ? 2 9

A C B

?

x2 ? y 2 ?

?

f ? x? ? f ? y ?

f ? x? f ? y ?

,则 f ?5? ? .

2 ?f 2 ? ? f ?1? ? ? ? 1 ;同理可依次求得 f 2 2 ? 1 、 ? ? 2 ? ? 1 , f ? 2? ? ? 4 2 f ?1? 2 2f 2

?

? ? ? ?

2

?

?

1 、 f ? 4 ? ? ; f ? 5? ? 8

f ? 3? ? f ? 4 ?

f ? 3? f ? 4 ?

?

2 . 25

7、 函数 y ? x ? x2 ? 3x ? 2 的值域为. 【清北解析】
y ? x ? x2 ? 3x ? 2 ? x2 ? 3x ? 2 ? y ? x≥0
2 两边平方得 ? 2 y ? 3? x ? y ? 2 ,从而 y ? 2 且 x ? 2 y ? 3

3

y2 ? 2

由 y ? x ? y ? 2y ? 3 ? 0 ?
y2 ? 2

y2 ? 2

y2 ? 3y ? 2 3 ? 0 ?1? y ? 或 y ? 2 . 2y ?3 2

任取 y ? 2 ,由 x ? 2 y ? 3 ,易知 x ? 2 ,于是 x2 ? 3x ? 2 ? 0 任取 1 ? y ?
y2 ? 2 3 ,同样由 x ? 2 y ? 3 ,易知 x ? 1. 2
? 3? ? ?

于是 x2 ? 3x ? 2 ? 0 .因此,所求函数的值域为 ?1, ? ? 2,?? ? . 2

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3 2 1 ?? ? 4 8、 设 f ? x ? ? x ? x ? x ? 1 ,则 f ? cos ? ? ________________________. 7 4 8
? ?

【清北解析】
2? ? 2? ? 2 2? ? 1 ? cos 7 ? 1 ? 2cos 7 ? cos 7 ? ? 2? ? 4 x ? cos ? ? 记 ,则 x ? ? cos ? ? ? 7 7? 2 4 ? ? ? ? ? ? ? 2? 4? 2? ? 3 ? 4cos ? cos ?3 ? 3cos cos 3 2 x 7 7 7 7 ? ? x ? ? ?? 8 4 8 8 8
2 2

3 2 1 1? ? 2? 4? ? 1 ? 2? 4? 6? ? 4 所以 x ? x ? x ? ? ? cos ? cos ? cos ? ? ? cos ? cos ? cos ? 4 8 8? 7 7 7 ? 8? 7 7 7 ? 1? 12? 10? 8? ? ? cos ? cos ? cos 8? 7 7 7
4 2 则 x ? x ? x ?1 ? ?

2k? 1 2k? 1 1 ? 1 ? ? cos ? ?? ? ? ? cos 7 16 k ? 0 7 16 16 ? 16 k ?1
6 6

3 4

1 8

1 15 ?1? , 16 16

? ? 即 f ? cos ? ? . 7 16 15 ? ?

?

二、解答题: (共 3 题,52 分)
9、 (17 分)设二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x 的两根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? (1)当 x ? ? 0,x1 ? 时,求证: x ? f ? x? ? x1 ; (2)设函数 f ? x ? 的图像关于 x ? x0 对称,求证: x0 ? 【清北解析】 因为 x1 , x2 是方程 f ? x ? ? x ? 0 的两根,所以 f ? x? ? x ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ,即.
f ? x? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? x .
x1 . 2

1 . a

(1)当 x ? ? 0,x1 ? 时,因为 0 ? x1 ? x2 ?

1 ,所以 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 , 又 a ? 0 , a

所以 f ? x? ? x ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? >0,即 f ? x ? ? x .其次:
1 f ( x) ? x1 ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )[a ( x ? x2 ) ? 1] ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ? ) ? 0 , a

所以 f ? x? ? x1 . 综上, x ? f ? x? ? x1 . (2) f ? x ? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? x ? ax2 ? ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ?? ? x ? ax1 x2 , 所以 x0 = 所以 x0 ?
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a ? x1 ? x2 ? ? 1 2a

?

x1 ? x2 1 , ? 2 2a

x1 x2 1 1 ? 1? x ? ? ? ? x2 ? ? ? 0 ,所以 x0 ? 1 . 2 2 2a 2 ? a? 2

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清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 10、 (18 分)设x > 0:

(1)证明 e x ? 1 ? x ? x 2 ; (2)若 e x ? 1 ? x ? x 2 e y ,证明: 0 ? y ? x . 【清北解析】
1 2? (1)设 f ? x ? ? e x ? ? ? ?? ,则 f ? ? x ? ? ex ? ?1 ? x ? . ? 1 ? x ? x ? , x ? ?0 , ? 2 ?
1 2

1 2

令 g ? x? ? ex ? ?1 ? x? , x ??0 , ? ?? ,则 g? ? x? ? ex ? 1 . 当 x ? 0 时,由于 ex ? 1 ,所以 g? ? x? ? 0 ,因此 g ? x ? 在 ?0 ,? ?? 上单调递增. 于是有 f ? ? x? ? g ? x ? ? g ? 0? ? 0 , x ? ? 0 , ? ?? .从而可知 f ? x ? 在 ?0 , ? ?? 上单调递增, 又 f ? 0? ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 , x ? ? 0 , ? ?? ,即 e x ? 1 ? x ? x 2 , x ? ? 0 , ? ?? .
? ? 2 x? (2)设 h ? x ? ? e x ? ? ? ?? ,则 h? ? x ? ? e x ? ?1 ? xe x ? x 2e x ? . ? 1 ? x ? x e ? , x ? ?0 , ? 1 2 ? ? 1 2 ?
x 2 x? 令 p ? x ? ? ex ? ? ? ? ? ,则 ?1 ? xe ? x e ? , x ? ?0 ,

1 2

?

1 2

?

p? ? x ? ? ?2 xe x ?

1 2 x x e ? 0 , x ??0 , ? ?? . 2

所以 p ? x ? 在 ?0 ,? ?? 上单调递减,从而 h? ? x? ? p ? x? ? p ? 0? ? 0 , 因此 h ? x ? 在 ?0 ,? ?? 上单调递减,于是 h ? x? ? h ? 0? ? 0 ,即 结合(1)有 e0 ? 1 ? c y ?
2?ex ? 1 ? x? x2 ? e x ,得 0 ? y ? x . 2?ex ? 1 ? x? x2 ? e x , x ??0 , ? ?? .

11、 (17)已知函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 1 ,其中 a 是非零实数, b ? 0 。 bx

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 xi ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ?

1 , i ? 1,2,3 ,且 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 。证明: a

2 a ; b

n n n ? (3)若 f ? x ? 有极小值 f ? x ?min ,且 f ? x?min ? f ?1? ? 2 ,证明 f ( x) ? f ( x ) ? 2 ? 2 ? n ? N ? .

【清北解析】 (1) 当 a ? 0 时,f ? x ? ? 上单调递减;在 (0, 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?
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ax 1 a a ? 为对勾函数;f ? x ? 在区间 (??, ? ] 上单调递增, 在 (? ,0] b bx a a

a a ] 上单调递减,在 [ , ??) 上单调递增。 a a a 1 x? , f ? x ? 在 (??,0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递减。 b bx

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(2)因为 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,所以 x1 , x2 , x3 当中最多有一个负数; 若 x1 , x2 , x3 均为正数,因为 xi ?
1 a ,且 f ( x) 在区间 [ , ??) 上单调递增,所以 a a

? 1 ? 2 a 6 a 2 a f ? xi ? ? f ? ? , i ? 1,2,3 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ; ?? b b b ? a?

若 x1 , x2 , x3 中有一个负数,不妨设 x1 为负数;易知 f ? x ? 为奇函数,所以 f ? x1 ? ? ? f ? x1 ? ;
a 又 f ? x ? 在 [ , ??) 上单调递增,且 x1 ? x2 ? 0 ,所以 x2 ? x1 ,于是 a

? 1 ? 2 a f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? f ( x3 ) ? f ( x3 ) ? f ? ; ?? b ? a?

综上所述,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?

2 a . b

(3)因为 f ? x ? 有极小值 f ? x ?min ,所以 a ? 0 ;又因为 f ? x?min

? a ?1 ? ? ? f ?1? ? 2 ,所以 ? a , ?a ?1 ? 2 ? ? b

求得 ?

?a ? 1 x2 ? 1 ,所以 f ? x ? ? ; x ?b ? 1
n n

n 易知 f ? x ? 为奇函数,所以 f ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x ?

?

n

? ,只需考虑 x ? 0 的情况。
n ?1 i ?1

根据二项式定理和均值不等式知:

f ? x ? ? f ? xn ?
n n ?1 i ?1 n

? x2 ? 1 ? x2n ? 1 ?? ? ? ? xn ? x ?

n

? Cni x 2i ? Cni ? x 2i ? x 2n ? 2i ? ? Cni 2 x n
i ?1

n ?1

n ?1 i ?1

xn

?

2xn

?

2xn

i i ? ? Cn ? ? Cn ? 2 ? 2n ? 2 i ?0

命题得证.

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