版高中数学第3章空间向量与立体几何321直线的方向向量与平面的法向量学案苏教版选修2 1(数学教案)

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 [学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法 向量. 知识点一 直线的方向向量 直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量. 知识点二 平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α ,那么称向量 n 垂直于平面 α ,记 作 n⊥α ,此时,我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量. 思考 1.平面的法向量有无数个,它们之间有何关系? 答案 相互平行. 2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一?是否相等? 答案 不惟一,它们相互平行,但不一定相等. 题型一 直线的方向向量及其应用 例 1 设直线 l1 的方向向量为 a=(1,2, -2), 直线 l2 的方向向量为 b=(-2,3, m), 若 l1⊥l2, 则 m=________. 答案 2 解析 由题意,得 a⊥b,所以 a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6-2m=4-2m=0, 所以 m=2. 反思与感悟 若 l1⊥l2,则 l1 与 l2 的方向向量垂直;若 l1∥l2,则 l1 与 l2 的方向向量平行. 跟踪训练 1 若直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),则 l1 与 l2 的位置关系是________. 答案 垂直 解析 因为 a·b=(1,-3,-1)·(8,2,2)=8-6-2=0,所以 a⊥b,从而 l1⊥l2. 题型二 求平面的法向量 例 2 如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面是直角梯形,∠ABC= 1 90°,SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD= ,建立适当的空间 2 1 直角坐标系,求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量. → → → 解 如图,以 A 为原点,以AD,AB,AS分别为 x,y,z 轴的正方向 建立空间直角坐标系, 1 则 A(0,0,0),D( ,0,0), 2 C(1,1,0),S(0,0,1), → 1 则DC=( ,1,0), 2 → DS=(- ,0,1). 1 → 易知向量AD=( ,0,0)是平面 SAB 的一个法向量. 2 设 n=(x,y,z)为平面 SDC 的法向量, → 1 n·DC= x+y=0, ? ? 2 则? 1 → n·DS=- x+z=0, ? ? 2 取 x=2,则 y=-1,z=1, ∴平面 SDC 的一个法向量为(2,-1,1). 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤: → → (1)求平面 ABC 的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如AC,AB; (2)设平面的法向量为 n=(x,y,z); → ? ?n·AC=0, (3)联立方程组? → ? ?n·AB=0, 1 y=- x, ? ? 2 即? 1 z= x. ? ? 2 1 2 并求解; (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时, 设定一个坐标为常数(常数不能 为 0)便可得到平面的一个法向量. 跟踪训练 2 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量. 解 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), → → 由题意知AB=(-1,1,0),BC=(1,0,-1). → ? ?n·AB=-x+y=0, → → ∵n⊥AB,n⊥BC,∴? → ? ?n·BC=x-z=0, 解得? ?x=y, ? ? ?x=z. 令 x=1,则 y=z=1. 2 ∴平面 ABC 的一个法向量为 n=(1,1,1). 题型三 证明平面的法向量 例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点. → 求证:D1F是平面 ADE 的法向量. 证明 如图,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立 空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),E(1,1, ),F(0, ,0), 1 → → 所以AD=(-1,0,0),D1F=(0, ,-1), 2 → 1 2 1 2 AE=(0,1, ), 1 → → 所以AD·D1F=(-1,0,0)·(0, ,-1)=0, 2 1 2 → AE·D1F=(0,1, )·(0, ,-1)=0, → → → → 所以AD⊥D1F,AE⊥D1F,又 AD∩AE=A, → 所以D1F⊥平面 ADE, → 从而D1F是平面 ADE 的法向量. 反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直, 因此, 其 思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两个线线垂直. 跟踪训练 3 → 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,在 BC、DD1 上是否存在点 E、F,使B1E是 → 1 2 1 2 平面 ABF 的法向量?若存在,证明你的结论,并求出点 E、F 满足的条件;若不存在,请说 明理由. 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,1), B(1,1,1), B1(1,1,0), 设 F(0,0,h),E(m,1,1), → → → 则AB=(0,1,0),B1E=(m-1,0,1),FA=(1,0,1-h). → → → → → ∵AB·B1E=0,∴AB⊥B1E.若B1E是平面 ABF 的法向量,则B1E·FA=m-1+1-h=m-h=0, → ∴h=m.即 E、F 满足 D1F=CE 时,B1E是平面 ABF 的法向量. 3 故存在,且 E、F 满足 D1F=CE. 利用向量法判断直线与平面平行 例 4 已知 u 是平面 α 的一个法向量, a 是直线 l 的一个方向向量, 若 u=(3,1,2), a=(- 2,2,2),则 l 与 α 的位置关系是________. 错解 因

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