114 不等式选讲

114 不等式选讲
1. 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?

2. 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈? ?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.

1

3. 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1) 求 m 的值; 1 1 1 + (2) 若 a,b,c∈R ,且a+ + =m,求证:a+2b+3c≥9. 2b 3 c

4. 已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

2

5. 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1) 求 a 的值;

?x?? (2) 若? ?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

6. 已知函数 f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围.

3

7. 已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

8. 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a-1|的解集非空,求实数 a 的取值范围.

4

9. 设不等式 x ? 2 ? a (a ? N ) 的解集为 A ,且
*

3 1 ? A, ? A. 2 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.

10.

设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ;
1 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

5

11. 已知函数错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。的解集为错误!未找到引 用源。。 (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的值; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用 源。 。

12. 已知函数错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (Ⅰ)当错误!未找到引用源。时,求不等式 错误!未找到引用源。≥3 的解集; (Ⅱ) 若错误! 未找到引用源。 ≤错误! 未找到引用源。 的解集包含错误! 未找到引用源。 , 求错误!未找到引用源。的取值范围.

6

参考答案(解析)
1. 【答案】 (I) a ? ?3 , b ? 1 ; (II) 4 . 【解析】 (I)先由 x ? a ? b 可得 ?b ? a ? x ? b ? a ,再利用关于 x 的不等式 x ? a ? b 的 解集为 x 2 ? x ? 4 可得 a , b 的值; (II)先将 ?3t ? 12 ? t 变形为 3 ? 4 ? t ? t , 再利用柯西不等式可得 ?3t ? 12 ? t 的最大值. 解: (I)由 | x + a |< b ,得 - b - a < x < b - a

?

?

则?

??b ? a ? 2, 解得 a = - 3 , b = 1 b ? a ? 4, ?
? ? ?

(II) ?3t +12+ t ? 3 4 ? t ? t ?

? 3?

2

? 12 ? ? ? ? ? ? ?

?

4?t

? ?? t ? ? ? ?
2 2

= 2 4 - t +t = 4
当且仅当

4- t t ,即 t = 1 时等号成立, = 1 3



(

- 3t +12+ t

)

max

=4.

考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式.

2. 审题分析:

a 1? (1)可以通过分段讨论去绝对值;(2)在 x∈? ?-2,2?时去绝对值,利用函数

最值求 a 的范围. 解: (1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 1

设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, -5x,x< , ? 2 ? 1 则 y=? -x-2, ≤x≤1, 2 ? ?3x-6,x>1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}.
7

a 1 (2)∵a>-1,则- < , 2 2 ∴f(x)=|2x-1|+|2x+a|

a 1? 当 x∈? ?-2,2?时,f(x)=a+1, a 1 - , ?上恒成立. 即 a+1≤x+3 在 x∈? ? 2 2? a 4 ∴a+1≤- +3,即 a≤ , 2 3 4? ∴a 的取值范围为? ?-1,3?.

3. 审题分析 等式证明. (1)解

(1)从解不等式 f(x+2)≥0 出发,将解集和[-1,1]对照求 m;(2)利用柯西不

因为 f(x+2)=m-|x|,

f(x+2)≥0 等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明 由(1)知 + + =1, a 2b 3c 又 a,b,c∈R ,由柯西不等式得 1 1 1? a+2b+3c=(a+2b+3c)? ?a+2b+3c? 1 1 1 ≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. a 2 b 3c? ?


4. (1) 解 f(x)=|x+1|+|x-1| -2x,x<-1, ? ? =?2,-1≤x≤1, ? ?2x,x>1. 当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. ∴M=(-2,2). (2)证明 a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2, ∴4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)
8

-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.

5. 审题分析: (1) |ax+1|≤3 的解集为[-2,1],对照即可;(2)可通过函数最值解决恒 成立问题. 解 (1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.

又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,- ≤x≤ ,得 a=2. a a x? (2)记 h(x)=f(x)-2f? ?2?,

? ?-4x-3,-1<x<-1, 2 则 h(x)=? 1 ? ?-1,x≥-2,
所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

1,x≤-1,

6. 解

(1)函数的定义域满足:|x-1|+|x-5|-a>0,

即|x-1|+|x-5|>a=2. 设 g(x)=|x-1|+|x-5|, 2x-6,x≥5, ? ? 则 g(x)=|x-1|+|x-5|=?4,1<x<5, ? ?6-2x,x≤1, g(x)min=4>a=2,f(x)min=log2(4-2)=1. (2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为 4, |x-1|+|x-5|-a>0, ∴a<4,∴a 的取值范围是(-∞,4).

7. 解

方法一 (1)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3.

又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, ? ?a-3=-1, 所以? 解得 a=2. ?a+3=5, ? (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|,设 g(x)=f(x)+f(x+5),

9

-2x-1,x<-3, ? ? 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ? ?2x+1,x>2. 所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (-∞,5]. 方法二 (1)同方法一. (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立),得 g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (-∞,5].

8. 解

(1)原不等式等价于 3 ? ?x>2, ?

1 3 ? ?-2≤x≤2, 或? ? ? ?? 2x+1?+? 2 x-3?≤6 ?? 2x+1?-? 2 x-3?≤6 1 ? ?x<-2, 或? ? ?-? 2x+1?-? 2x-3?≤6. 3 1 3 1 解之得 <x≤2 或- ≤x≤ 或-1≤x<- . 2 2 2 2 即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4. ∴|a-1|>4,解此不等式得 a<-3 或 a>5.

9. 解:(Ⅰ)因为

3 1 3 1 ? A ,且 ? A ,所以 ? 2 ? a ,且 ? 2 ? a 2 2 2 2

解得

1 3 ? a ? ,又因为 a ? N * ,所以 a ? 1 2 2

(Ⅱ)因为 | x ? 1| ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 2 时取得等号,所以 f ( x) 的最小值为 3

10

10.

11. 解: (1)∵错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的解集是错误!未找到引用源。 故错误!未找到引用源。。 (2)由(1)知错误!未找到引用源。,由柯西不等式得 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

12. 【解析】(1)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 (2)原命题错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上恒成立 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上恒成立 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上恒成立

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