2018版高中数学必修二同步学习讲义(打包39份) 人教课标版(新教案)

第课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标 .通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.理解棱柱、棱锥、 棱台之间的关系.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关 计算.
知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念 思考观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?

答案()几何体的表面由若干个平面多边形围成.

()几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.

梳理()空间几何体的定义及分类 ①定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空

间图形就叫做空间几何体.

②分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.

()多面体与旋转体

类别

多面体

旋转体

定义 由若干个平面多边形围成的几 由一个平面图形绕它所在平面内的一

何体

条定直线旋转所形成的封闭几何体

图形

相关概 念

面:围成多面体的各个多边形 棱:相邻两个面的公共边 顶点:棱与棱的公共点

轴:形成旋转体所绕的定直线

知识点二棱柱的结构特征 思考观察下列多面体,有什么共同特点?

答案()有两个面相互平行;()其余各面都是平行四边形;()每相邻两个四边形的公共边都互相

平行.

梳理棱柱的结构特征

名 定义


图形及表示

相关概念

分类

有两个面互相平 行,其余各面都 是四边形,并且 棱 每相邻两个四边 柱 形的公共边都互 相平行,由这些 如图可记作:棱柱 面所围成的多面 —′′′′′′ 体叫做棱柱

底面(底):两个互

相平行的面

侧面:其余各面 按底面多边形的

侧棱:相邻侧面的 边数分:三棱柱、

公共边

四棱柱、……

顶点:侧面与底面

的公共顶点

知识点三棱锥的结构特征 思考观察下列多面体,有什么共同特点?

答案()有一个面是多边形;()其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

梳理棱锥的结构特征

名称

定义

图形及表示

相关概念

分类

底面(底):多边形

有一个面是多边



形,其余各面都是

侧面:有公共顶点

按底面多边形的边

棱 有一个公共顶点的

的各个三角形面

数分:三棱锥、四

锥 三角形,由这些面

侧棱:相邻侧面的

棱锥、……

所围成的多面体叫 如图可记作:棱锥 公共边

做棱锥



顶点:各侧面的公

共顶点

知识点四棱台的结构特征 思考观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?

答案()区别:有两个面相互平行.

()联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.

梳理棱台的结构特征

名称

定义

图形及表示

相关概念

分类

用一个平行

上底面:原棱锥的截面

于棱锥底面

下底面:原棱锥的底面 由三棱锥、四棱锥、

的平面去截 棱
棱锥,底面 台
与截面之间 如图可记作:棱台
的部分叫做 —′′′′
棱台

侧面:其余各面

五棱锥……

侧棱:相邻侧面的公共 截得的棱台分别叫



做三棱台、四棱台、

顶点:侧面与上(下)底 五棱台……

面的公共顶点

知识点五棱柱、棱锥、棱台之间的关系

类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行,并且各侧棱也平行; ④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是. 答案③④ 解析①错误,底面可以不是多边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可 知;④正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱. 反思与感悟关于棱柱的辨析 ()紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. ①两个面互相平行;②其余各面是四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行. ()多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足 其他特征. 跟踪训练关于棱柱,下列说法正确的是. ①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱; ②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 答案② 解析①不正确,反例如图所示.
②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形. ③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.

例()判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?

解该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面有一个公共顶点,但侧面与侧面没有公 共顶点,所以该物体不是棱锥. ()如图所示的多面体是不是棱台?

解根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即

各侧棱延长线要交于一点,上、下两个底面要平行,二者缺一不可.据此,图()中多面体侧 棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图()中多面体不是由棱锥截得的,不是棱台;图()

中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.

反思与感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法

()举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

()直接法

棱锥

棱台

定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

跟踪训练有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有() .个.个.个.个 答案 解析①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线 不能相交于一点,故②③错.故选.

类型二多面体的识别和判断 例如图,已知长方体-.用平面把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱 吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说明理由.
解截面上方部分是棱柱,且是三棱柱-,其中△和△是底面. 截面下方部分也是棱柱,且是四棱柱-,其中四边形和四边形是底面. 引申探究 用一个平面去截本例中的四棱柱,能截出三棱锥吗? 解如图.
几何体-就是三棱锥. 反思与感悟解答此类题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征,在利用几何体的概念进行判断 时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别,不要认为底面就是上下位置. 跟踪训练如图所示,关于该几何体的正确说法有.
①这是一个六面体; ②这是一个四棱台; ③这是一个四棱柱; ④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到; ⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. 答案①③④⑤ 解析①正确,因为有六个面,属于六面体的范畴;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点, 所以不正确;③正确,若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图所示.

类型三多面体的表面展开图 例()请画出如图所示的几何体的表面展开图;
()如图是两个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体?
解()展开图如图所示.(答案不唯一)
()根据表面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台.
反思与感悟()绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想 象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多 面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图. ()由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的, 则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体 可有多个平面展开图. 跟踪训练如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()

.①③.②④.③④.①② 答案 解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三 角形作底面折叠都不能折成正四面体.
.下面多面体中,是棱柱的有()
.个.个.个.个 答案 解析根据棱柱的定义进行判定知,这个图都满足. .有一个多面体,共有四个面围成,每一个面都是三角形,则这个几何体为() .四棱柱.四棱锥 .三棱柱.三棱锥 答案 解析四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥. .三棱柱的平面展开图是()
答案 解析两个全等的三角形,在侧面三个长方形的两侧,这样的图形围成的是三棱柱,故选. .下列叙述,其中正确的有() ①两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台; ②如图所示,截正方体所得的几何体是棱台;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

.个.个.个.个 答案 解析①不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交于一点,如图()所示;②不正确,因为侧棱 延长后不能交于一点,还原后也并非棱锥;③不正确,如图()所示,用一个过顶点的平面截 四棱锥得到的是两个三棱锥.

()() .一个棱柱有个顶点,所有的侧棱长的和为,则每条侧棱长为. 答案 解析因为棱柱有个顶点,所以棱柱为五棱柱,共有五条侧棱,所以侧棱长为=().
.棱柱、棱锥定义的关注点 ()棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可: ①有两个平面(底面)互相平行; ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行. ()棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可: ①有一个面(底面)是多边形; ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形. .棱柱、棱锥、棱台之间的关系 在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、 三棱台为例).

.根据几何体的结构特点判定几何体的类型,首先要熟练掌握各几何体的概念,把握好各类 几何体的性质,其次要有一定的空间想象能力.

一、选择题 .在棱柱中() .只有两个面平行

课时作业

.所有的棱都平行 .所有的面都是平行四边形 .两底面平行,且各侧棱也互相平行 答案 解析对于,如果是长方体,可能不止有两个面平行,故错;对于,如果是长方体,不可能所 有的棱都平行,只是所有的侧棱都平行,故错;对于,上、下底面不一定是平行四边形,故 错;对于,据棱柱的定义知其正确,故对.故选. .下面多面体中有条棱的是() .四棱柱.四棱锥 .五棱锥.五棱柱 答案 解析∵棱柱共有条棱,棱锥共有条棱,∴四棱柱共有条棱;四棱锥共有条棱;五棱锥共有条 棱;五棱柱共有条棱.故选. .有两个面平行的多面体不可能是() .棱柱.棱锥 .棱台.以上都错 答案 解析由棱锥的结构特征可得. .棱台不具有的性质是() .两底面相似 .侧面都是梯形 .侧棱都平行 .侧棱延长后都交于一点 答案 解析根据棱台的定义:用平行于底面的平面截棱台,截面与底面之间的部分叫做棱台,∴棱 台具有的性质是:上、下底面多边形相似,每个侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点,故选 项、、排除,∴棱台的侧棱都不平行,故选. .如图所示,在三棱台′′′-中,截去三棱锥′-,则剩余部分是()
.三棱锥.四棱锥 .三棱柱.三棱台 答案

解析由题图知剩余的部分是四棱锥′-′′. .下面图形中是正方体展开图的是()
答案 解析由正方体表面展开图性质知是正方体的展开图;折叠后第一行两个面无法折起来,而且 下边没有面,故不能折成正方体;缺少一个正方形;折叠后有一个面重合,另外还少一个面, 故不能折成正方体.故选. .若棱台上、下底面的对应边之比为∶,则上、下底面的面积之比是() .∶.∶.∶.∶ 答案 解析由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积比为对应边之比的平方,故 选. .五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个五棱柱对角线的条数共有() .... 答案 解析如图,在五棱柱-中,从顶点出发的对角线有两条:,,同理从,,,点出发的对角线均有 两条,共×=(条).
二、填空题 .以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成个三棱锥. 答案 解析如图,分割为-,-,-个棱锥.

.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是,,,则这个长方体对角线的长是. 答案 解析设长方体长、宽、高为,,, 则=,=,=, 三式相乘得=,即=, 解得=,=,=, 所以==.
.如图,已知正三棱锥-的侧棱长为,底面边长为,是侧棱的中点,一条折线从点出发,绕 侧面一周到点,则这条折线长度的最小值为.
答案 解析沿着棱把三棱锥展开成平面图形,
所求的折线长度的最小值就是线段的长度,令∠=θ,则 θ=°,在展开图中,=,故答案为. 三、解答题 .试从正方体-的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表 示出来. ()只有一个面是等边三角形的三棱锥; ()四个面都是等边三角形的三棱锥; ()三棱柱.

解()如图所示,三棱锥-(答案不唯一).
()如图所示,三棱锥-(答案不唯一).
()如图所示,三棱柱-(答案不唯一).
.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的 过程中.
()水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗? ()水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗? ()如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第()题和第()题 对不对? 解()不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形 状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形. ()不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分

后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱 或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥. ()用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而 水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形;水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可 能是棱台.故此时()对,()不对. 四、探究与拓展 .一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图,,,是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ =.
答案° 解析将平面图形翻折,折成空间图形,可得∠=°. .如图,已知长方体-.
()这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? ()用平面把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么? 解()是棱柱.是四棱柱.因为长方体中相对的两个面是平行的,其余的每个面都是矩形(四边 形),且每相邻的两个矩形的公共边都平行,符合棱柱的结构特征,所以是棱柱. ()各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱-和棱柱-.
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功的。 快乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会 撑起你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者千虑,必 有一得,学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不畏困难强敌; 热情,就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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