第4讲 函数的解析式及定义域_图文

理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法.

1.函数的概念 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A中的① __________________ , 在集合B中都有② ____________ 的数f ? x ? 和它对应, 那么就称f :A ? B为从集合A到集合B的一个函数, 其中x的取值范围A叫函数的③ __________ , ④ ________ 叫函数的值域, 值域是⑤ ________ 的子集. 2.函数的三要素 ⑥ __________________________ 为函数的三要素. 两函数相同,当且仅当⑦ .

3.函数的表示法 ⑧ 4.映射的概念设 A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 关系f ,使对于集合A中的⑨ ______________ ,在集 合B中都有⑩ __________ 的元素y与之对应,那么就 称对应f :A ? B为从集合A到集合B的一个映射. .

【要点指南】 ①任意一个数x;②唯一确定;③定义域; ④{ f ? x ? | x ? A};⑤集合B; ⑥定义域、对应法则、值域; ⑦定义域和对应法则完全相同; ⑧解析法、图象法、列表法; ⑨任意一个元素x;⑩唯一确定

1.设 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},则 f: A→B 不是函数的是( ) 1 1 A.f:x→y=2x B.x→y=3x 1 1 C.x→y=4x D.x→y=6x

1 【解析】 因为 x∈A,y=2x∈[0,3]? B. 由函数定义可知,对于 6∈A,在集合 B 中找不 到对应元素, 1 故 f:x→y=2x 不是函数.

2.下列结论中,正确的是(

)

|x| A.函数 f(x)= x 与 g(x)=1 是相等的 B.函数 f(x)=x0 与 g(x)=1 是相等的 C.函数 f(x)=x 与 g(x)= x2是相等的 D.函数 f(x)=x 与 g(x)= x3是相等的 3

|x| 【解析】函数 f(x)= x 和 f(x)=x0 的定义域均为 {x|x≠0},所以 A、B 不正确; g(x)= x2=|x|,所以 C 不正确.

?2x ?x>0? 3.(2011· 福建卷)已知函数 f(x)=? , ?x+1 ?x≤0?

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( A ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

【解析】依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2, 又因为 2x>0,所以 a≤0, 所以 f(a)=a+1=-2,故 a=-3,故选 A.

x+2 4.函数 y= +lg(4-x)的定义域是 x-1

.

【解析】

故该函数的定义域为[-2,1)∪(1,4).

1 2 【解析】若 a≥0,则 1-2a=a,所以 a=3; 1 若 a<0,则a=a,所以 a2=1, 所以 a=-1(a=1 舍去). 2 综上得 a=-1 或3.

易错点: 分段函数在定义域的不同子集上 有不同的对应函数关系式, 忽视 a 在不同 子集上的变化,多取或少取 a 值.



函数的定义域
【例 1】 (1)函数 y= x2-2x-3+log2(x+2)的

定义域是__________; 1 (2)若函数 y= 2 的定义域为 R,则实数 2x +kx+1 k 的取值范围是__________. (3)已知函数 y=f(x)的定义域是[0,4],则 y=f(x +1)+f(x2-3x)的定义域是______________.

所以函数 y=f(x+1)+f(x2-3x)的定义域 是{x|-1≤x≤0 或 x=3}.

【点评】函数的定义域就是指使这个 式子有意义的所有实数 x 的集合.在一些 具体函数综合问题中,函数的定义域往往 具有隐蔽性,所以在研究这些问题时,必 须树立“定义域优先”的原则.而逆向问 题应注意命题的等价转化.

素材1

(1)若 f(x+1)的定义域为[-2,3), f(2x-1)的定 则 义域为 ;

1 (2)若函数 f(x)= x 的定义域为 R,则实数 e -x+m m 的取值范围是 .

【解析】 (1)因为-2≤x<3,所以-1≤x+1<4. 5 由-1≤2x-1<4,得 0≤x<2, 5 故 f(2x-1)的定义域为[0,2).

(2)由已知 ex-x+m≠0 对 x∈R 恒成立, 即 m≠x-ex 对 x∈R 恒成立. 令 g(x)=x-ex,则 g′(x)=1-ex. 由 g′(x)=0,得 x=0, 故函数 g(x)在 x=0 处取得最大值, g(x)≤g(0)=-1, 即 所以要使 m≠x-ex 对 x∈R 恒成立,则应有 m>-1.



函数的解析式
【例 2】(1)已知 f(x)是一次函数,并且满足 3f(x

+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 f(x)满足 f(3x+1)=9x2-6x+5, 求函 数 f(x)的解析式; (3)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x).

【解析】 (1)设 f(x)=kx+b(k≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b-2k(x-1)- 2b=kx+5k+b=2x+17, 所以 k=2,5k+b=17,所以 b=7,故 f(x)=2x+7.

(2)方法 1:配凑法 因为 f(3x+1)=9x2-6x+5 =(3x+1)2-6x-1-6x+5 =(3x+1)2-4(3x+1)+8. 所以 f(x)=x2-4x+8.

方法 2:换元法 t-1 令 3x+1=t,则 x= 3 , t-1 2 t-1 所以 f(t)=9· 3 ) -6· 3 +5 ( =t2-2t+1-2t+2+5 =t2-4t+8. 所以 f(x)=x2-4x+8.

(3)直接列方程组求解. 由 2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x 代换上式中的 x, 得 2f(-x)+f(x)=-3x+2.

2 得 f(x)=3x+3.

【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系, 是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中 的常见问题,其特点是类型活,方法多.求函数的解析式常 有以下几种方法:①如果已知函数 f[f(x)]的表达式,可用换元 法或配凑法求解;②如果已知函数的结构,可用待定系数法 1 求解;③如果所给式子含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(-x)等形式, 可构造另一方程,通过解方程组求解.

素材2

1 已知 f(x)满足 2f(x)+f(x)=3x,求 f(x)的解析式.

1 【解析】2f(x)+f(x )=3x,① 1 1 3 将①中 x 换成x 得 2f(x )+f(x)= x.② 3 1 由①×2-②得 3f(x)=6x- x,所以 f(x)=2x-x .



综合问题
【例 3】已知函数 f(x)对任意的实数 a、b,都有

f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求 f(0),f(1)的值; 1 (2)求证:f( x)+f(x)=0(x≠0); (3)若 f(2)=m,f(3)=n(m、n 均为常数),求 f(36) 的值.

【分析】 本题是一个抽象函数问题,直接求函数的 解析式是不可能的,需通过取特殊值来解决.

【解析】 (1)不妨设 a=b=0. 由 f(ab)=f(a)+f(b),得 f(0)=0. 设 a=b=1,得 f(1)=0.

1 (2)证明:当 x≠0 时,因为 x·=1, x 1 1 于是 f(1)=f(x·)=f(x)+f(x)=0, x 1 所以 f(x)+f(x)=0. (3)因为 f(2)=m,f(3)=n, 所以 f(36)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=2f(2) +2f(3)=2(m+n).

【点评】 抽象函数由于只给出函数的某些性质, 却不知道具体 函数的解析式, 因而成为函数问题中的一个难点, 但这类问题 能很好地考查学生的思维能力. 解决抽象函数问题, 要全面应 用其所具有的性质展开解题思路, 通常的方法是赋值法, 并善 于根据题目条件寻找该函数的一个原型, 帮助探求结论, 找到 解题的思路和方法.

素材3

(1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数 m,n 恒 有 f(mn)=f(m)+f(n), f(2)=-1, f(1)= 且 则 1 , 2)= f( ;

x2 1 1 (2)已知函数 f(x)= ,则 f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) 1+x2 1 +f(4)+f(4)= .

【解析】 (1)令 m=n=1,得 f(1)=f(1)+f(1), 所以 f(1)=0. 1 1 1 f(1)=f(2×2)=f(2)+f(2)=-1+f(2)=0, 1 所以 f(2)=1.

12 ?x ? x2 1 1 (2)由 f(x)= = 2,知 f( )= 2, x 1 2 1+x 1+x 1+?x? 1 所以 f(x)+f(x)=1, 1 7 故原式= +1+1+1=2. 1+1

备选例题

【解析】 (1)依题意,0<c<1,所以 c2<c. 9 9 1 3 由 f(c )=8,得 c +1=8,所以 c=2.
2

2 (2)f(x)> 8 +1 等价于

2 1 1 5 即 4 <x<2或2≤x<8. 2 5 综上所述,所求解集为{x| 4 <x<8}.

1.已知函数的解析式求其定义域,只要使解 析式有意义即可.如分式的分母不等于零,开

偶次方的被开方数不小于零,对数的真数大于
零同时底数大于零不等于1,等等. 2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数 法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法 等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定 系数法,已知复合函数的问题时用换元法或配 凑法,抽象型函数问题一般用赋值法或函数方

程法.

3.分段函数是指自变量在取值情况不同时, 对应法则不同.分段函数的定义域为自变 量的所有取值的集合.

1 2 1 已知f ( x+ )=x + 2 ,求f ( x -1). x x
1 1 2 错解:由已知f ( x+ )=( x+ ) ? 2, x x 所以f ? x ? =x 2 -2, 所以f ( x-1)=( x-1) 2 -2=x 2 -2 x-1.

错解分析:在使用配凑法或换元法求函 数解析式时,没有考虑替换元的等价性, 忽视其定义域的变化导致错误.

1 1 2 正解:已知f ( x+ )=( x+ ) -2, x x 1 但 | x+ |? 2,所以f ? x ? =x 2 - 2( x ? 2), x 故f ( x-1)=( x-1) 2 - 2=x 2 - 2 x-1, 其中 | x-1|? 2,所以x ? 3或x ? -1, 所以x ? 3或x ? -1, 所以, 所求为f ( x-1)=x 2 - 2 x-1( x ? -1或x ? 3).


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