《幂函数》PPT课件上课_图文

y?x 2 y?x
y?x

这五个函数可以统一写成个 一般形式

y ? x1

3

y ? x(? ? R)

?

2

y?x

?1

幂函数

y ? x 中 x 前面的系数是1,后面没有其它项。

一、幂函数的定义: ? 一般地,我们把形如 y ? x 的函数叫做 x为自变量, ? 幂函数,其中 为常数。 ? ?
x ?2 2 2

练习1:判断下列函数哪几个是幂函数?
1 (5) y ? x

( 1 )y ? 3 ;   (2) y ? x ;   (3) y ? 2 x ;   (4) y ? x ? 1;

思考:指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别? 答案(2)(5)

二、幂函数与指数函数比较
名称 式子 指数函数: y=a
(a>0且a≠1)
x

常数 a为底数 α为指数

x
指数 底数

y
幂值 幂值

幂函数: y= xα

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数

幂函数

快速反应

y ? 0.2

x

y?x

1 2

(指数函数)

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2

?

?

2 m ?3

是幂函数,

求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数

? m ? m ?1 ? 1
2

解之得: m ? ?2或m ? 1

? m ? ?2或m ? 1

练习3:已知幂函数f(x)的图像经过点(3,27), 求证:f(x)是奇函数。

证明 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(3, 27)
?
3

?

? 27 ? 3 ,即3 ? 3 ?? ? 3 3 ? f ( x) ? x 3 3 ? f ( x)的定义域为R, f (? x) ? (? x) ? ? x
? f ( ? x) ? ? f ( x)

?

? f ( x)是奇函数

二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

函数

y ? x的图像

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像
2

定义域:

R

值 域: [0,??) 奇偶性: 在R上是偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

?1 y ? x 函数 的图像

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性: 在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数

如何画y ? x 和y ? x 的图像呢?
3

1 2

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y ? x 的图像
3

定义域:

值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数 单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像

1 2

定义域: [0,??)

值 域: [0,??) 奇偶性: 非奇非偶函数
单调性: 在[0,??)上是增函数

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞)

1 2

R R 奇函数

y?x 0? ? (0,+?) ? ??, 0? ? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

非奇非偶 函数

在(-∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数,在(0, 数 +∞)上是 增函数 公共点

在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 减函数 数

(1,1)

下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

-3

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3

(3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

例3. 证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论. 证明:任取 x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;

x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2
所以



f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ?

x在?0, ? ??为增函数

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。


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