《幂函数》PPT课件上课_图文
y?x 2 y?x
y?x
这五个函数可以统一写成个 一般形式
y ? x1
3
y ? x（? ? R）
?
2
y?x
?1
幂函数
y ? x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。
一、幂函数的定义： ? 一般地，我们把形如 y ? x 的函数叫做 x为自变量， ? 幂函数，其中 为常数。 ? ?
x ?2 2 2
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
1 (5) y ? x
（ 1 ）y ? 3 ; (2) y ? x ; (3) y ? 2 x ; (4) y ? x ? 1;
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？ 答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y ? 0.2
x
y?x
1 2
（指数函数）
（幂函数）
y?x
?1
y ?5
5
x
（幂函数）
（指数函数）
y ?3
?x
y? x
（幂函数）
（指数函数）
例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2
?
?
2 m ?3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
? m ? m ?1 ? 1
2
解之得: m ? ?2或m ? 1
? m ? ?2或m ? 1
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(3， 27)
?
3
?
? 27 ? 3 ,即3 ? 3 ?? ? 3 3 ? f ( x) ? x 3 3 ? f ( x)的定义域为R， f (? x) ? (? x) ? ? x
? f ( ? x) ? ? f ( x)
?
? f ( x)是奇函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)
(4) y ? x
1 2
(5) y ? x
?1
函数
y ? x的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y ? x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,??) 奇偶性： 在R上是偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性：
在(??,0]上是减函数
?1 y ? x 函数 的图像
定义域：{x x ? 0} 值 域：{ y
y ? 0}
在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性：
单调性： 在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数
如何画y ? x 和y ? x 的图像呢?
3
1 2
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8
0 0 0
1 1 1
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
函数 y ? x 的图像
3
定义域：
值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y ? x 的图像
1 2
定义域： [0,??)
值 域： [0,??) 奇偶性： 非奇非偶函数
单调性： 在[0,??)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y? x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R R 奇函数
y?x 0? ? （0，+?） ? ??， 0? ? （0，+?） ? ??，
奇函数
?1
奇偶性 奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是 增函数 公共点
在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 减函数 数
（1，1）
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)
(4) y ? x
1 2
(5) y ? x
?1
y?x
(-2,4)
2
4
y?x
3
3
(2,4)
y=x
2
y?x
(1,1)
2 4 6
1 2
(-1,1)
1
y?x
-4
?1
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例3. 证明幂函数 f ( x) ? x 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2; (2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (4). 下结论. 证明:任取 x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2
x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2
所以幂函数 f ( x) ? x 在［0，+∞）上是增函数.
证明幂函数 f ( x) ? x 在［0，+∞）上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2
所以
即
f ( x1 ) ? f ( x2 )
f ( x) ?
x在?0， ? ??为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。