2015届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件1.1集合与常用逻辑用语_图文

专题一 集合与常用逻辑用语、不等式

第1讲

集合与常用逻辑用语
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、 函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,
考 近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 情 解 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考 读

查充要条件的判断.

主干知识梳理
1. 集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性: 确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时 要根据互异性进行检验. (2) 集合与集合之间的关系: A?B , B?C?A?C ,空 集是任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.

2. 集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且x?A}. 重要结论:A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A.

3. 四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题 与否命题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的, 采用转化为反面情况处理.

4. 充分条件与必要条件

若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
若p?q,则p,q互为充要条件.

5. 简单的逻辑联结词 (1) 命题 p∨q ,只要 p , q 有一真,即为真;命 题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真 假对立的命题.

(2) 命 题 p∨q 的 否 定 是 ( 綈 p)∧( 綈 q) ; 命 题 p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).

6. 全称量词与存在量词
“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M, 綈p(x)”.

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三

集合的关系及运算
四种命题与充要条件 逻辑联结词、量词

热点一

集合的关系及运算

例1

(1)(2014· 四川)已知集合A={x|x2-x-2≤0},

集合B为整数集,则A∩B等于( ) A 思维启迪 A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0}

明确集合的意义 ,理解集合中元素 的性质特征.

解析
A.

因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},

又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选

(2)(2013· 广东)设整数n≥4,集合X={1,2,3,?,n},令 集合 S= {(x , y, z)|x , y, z∈X,且三条件 x<y<z , y<z<x ,

z<x<y 恰有一个成立 } .若 (x , y , z) 和 (z , w , x) 都在 S 中,
则下列选项正确的是( )

A.(y,z,w)∈S, (x,y,w)?S
B.(y,z,w)∈S, (x,y,w)∈S C.(y,z,w) ?S, (x,y,w)∈S D.(y,z,w) ?S, (x,y,w)?S

解析

因为 (x , y , z) 和 (z , w , x) 都在 S 中,不妨

令x =2,y=3,z=4,w=1,

则 (y , z , w) = (3,4,1)∈S , (x , y , w) = (2,3,1)∈S ,
故 (y , z , w)?S , (x , y , w)?S 的说法均错误,可 以排除选项A、C、D,故选B.

答案

B

(1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键, 要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验
思 维 (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性 升 质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知 华

结果.

识进行求解,也可利用特殊值法进行验证.

变式训练 1
(1)已知集合M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( C A.M?N B.N=M C.M∩N={2,3} D.M∪N=(1,4) )

解析

集合N是要求在(1,4)范围内取整数,

所以N={x∈Z|1<x<4}={2,3}, 所以M∩N={2,3}.

(2)(2013· 山东 ) 已知集合 A = {0,1,2} ,则集合 B= C {x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(

)

A.1
C.5 解析

B.3
D. 9

? ? ? ? x-y∈ ? ? ?-2,-1,0,1,2? ? ?

.

热点二

四种命题与充要条件

例2

(1)(2014·天 津 ) 设 a , b∈R , 则 “a>b” 是

“a|a|>b|b|”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

)
思维启迪 要明确四种命题 的真假关系;

D.既不充分又不必要条件

解析

当b<0时,显然有a>b?a|a|>b|b|;

当b=0时,显然有a>b?a|a|>b|b|; 当b>0时,a>b有|a|>|b|,所以a>b?a|a|>b|b|. 综上可知a>b?a|a|>b|b|,故选C. 答案 C

(2)(2014· 江西)下列叙述中正确的是(

)

A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是 “b2-4ac≤0” B. 若 a , b , c∈R ,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R, 有 x 2≥ 0 ” D.l是一条直线,α,β是两个不同的

平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β

思维启迪 充要条件的判断, 要准确理解充分条件、 必要条件的含义.

解析

由于 “ 若 b2 - 4ac≤0 ,则 ax2 + bx + c≥0” 是假

命题,所以 “ax2 + bx + c≥0” 的充分条件不是 “b2 - 4ac≤0”,A错; 因为ab2>cb2,且b2>0,所以a>c.而a>c时,若b2=0,则 ab2>cb2 不成立,由此知 “ab2>cb2” 是 “a>c” 的充分 不必要条件,B错;

“ 对任意 x∈R ,有 x2≥0” 的否定是 “ 存在 x∈R ,有

x2<0”,C错;
由l⊥α,l⊥β,可得α∥β,理由:垂直于同一条直线的 两个平面平行,D正确. 答案 D

(1)四种命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与
思 维 (2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧,即小范 升 华

否命题等价;

围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例.

变式训练 2 (1)命题“若 a, b 都是偶数,则 a+ b 是偶数”的逆否 命题是__________________________________. 若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数 解析 判断词“都是”的否定是“不都是”.

(2)设 a∈R,则“a = 1”是“直线 ax- y+ 1= 0 与直线 x -

ay-1=0平行”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

C

)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 若直线ax-y+1=0与直线x-ay-1=0平行, 则 a· (- a)= (- 1)×1?a2= 1,且 a×(- 1)≠1×1?a≠- 1, 故有 a = 1,即 “a= 1” 是 “ 直线 ax- y + 1 = 0与直线 x-

ay-1=0平行”的充要条件.

热点三

逻辑联结词、量词

例3

(1) 已 知命题 p : ? x∈R , x - 2>lg x ,命 题 q :

?x∈R,sin x<x,则(
A.命题 p∨q是假命题

)
思维启迪 先判断命题 p 、 q 的真假,

B.命题 p∧q是真命题
C.命题 p∧(綈q)是真命题 D.命题 p∨(綈q)是假命题

再利用真值表判断含逻辑联
结词命题的真假;

解析

对于命题p,取x=10,则有10-2>lg 10,即

8>1,故命题p为真命题;
对于命题q,取x=- ,则sin x=sin(- )=-1,

π 此时sin x>x,故命题q为假命题, 2

π 2

因此命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题

p∧(綈q)是真命题,命题p∨(綈q)是真命题,故选C.
答案 C

(2)(2013· 四川 )设 x∈Z,集合 A是奇数集,集合 B是

偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则(
A.綈p:?x∈A,2x∈B

D

)

B.綈p:?x?A,2x?B
C.綈p:?x?A,2x∈B

思维启迪 含量词的命题的否 定既要否定量词,还 要否定判断词.

D.綈p:?x∈A,2x?B
解析

命题p:?x∈A,2x∈B是一个全称命题,

其命题的否定綈p应为?x∈A,2x?B,选D.

(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的
否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立;
思 (2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的 维 升 真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的 华

角度来思考,将问题转化为集合间的运算.

变式训练 3
(1)已知命题p:在△ABC中,“C>B”是“sin C>sin B” 的充分不必要条件;命题 q :“a>b”是“ac2>bc2”的 充分不必要条件,则下列选项中正确的是( )

A. p真q假
C.“p∧q”为假

B. p假q真
D.“p∧q”为真

解析

△ABC 中 , C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R 为

△ABC外接圆半径),所以C>B?sin C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题p是假命题.

若c=0,当a>b时,则ac2=0=bc2,故a>b
若ac2>bc2,则必有c≠0,则c2>0,则有a>b,

ac2>bc2,

所以ac2>bc2?a>b,故 “a>b”是 “ac2>bc2”的必要不充分 条件,故命题q也是假命题,故选C. 答案 C

(2) 已知命题 p :“ ? x∈[1,2] , x2 - a≥0”,命题 q :
“?x0∈R, 2+2ax0+2-a=0”.若命题“(綈p)∧q”

是真命题,则实数a的取值范围是(
A.a≤-2或a=1

x0

)

B.a≤2或1≤a≤2

C.a>1

D.-2≤a≤1

解析 为真,

命题 p为真时 a≤1; “?x0∈R, 2 + 2ax0+ 2- a= 0” 0

x

即方程x2+2ax+2-a=0有实根,

故 Δ= 4a2- 4(2- a)≥0,解得 a≥1或 a≤ - 2.( 綈p)∧q为真
命题,

即綈p真且q真,即a>1.
答案 C

本讲规律总结
1. 解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化

简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何集合的
子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数 轴和Venn图加以解决.

2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根
据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用集 合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定

形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.

3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命
题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假

判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断.

4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联

系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一
真一假的.

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2013· 广东 ) 设集合 M = {x|x2 + 2x = 0 , x∈R} , N = {x|x2 -2x=0,x∈R},则M∪N等于( A.{0} 2,0,2} B.{0,2}

C.{-2,0}

D

) D.{ -

解析

∵M={x|x=0或x=-2}={0,-2},

N={0,2},

∴M∪N={-2,0,2}.

1

2

真题感悟

2.(2014· 重庆)已知命题 p:对任意x∈R,总有2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( ) D.p∧綈q A.p∧q B.綈p∧綈q D C.綈p∧q

1

2

真题感悟

解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题; 因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有 x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题, 则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈 p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故选D.

答案 D

1

2

3

押题精练

1. 若全集 U = R ,集合 M = {x|- x2 - x + 2<0} , N = {x|x - 1<0},则下图中阴影部分表示的集合是( )

A.(-∞,1]
C.(-∞,-2)

B.(1,+∞)
D.(-2,1)

1

2

3

押题精练

解析 M={x|x<-2或x>1},N={x|x<1}. 图中阴影部分表示的集合为 M∩(?RN)={x|x<-2或x>1}∩{x|x≥1}

={x|x>1}.
答案 B

1

2

3

押题精练

2 .若命题 p :函数 y = x2 - 2x 的单调递增区间是 [1 ,+
∞),命题q:函数 y=x- 的单调递增区间是[1,+∞), 则( )

1 x

A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.綈p是真命题 D.綈q是真命题

1

2

3

押题精练

解析

因为函数 y=x2-2x的单调递增区间是 [1,+∞),

所以p是真命题;

1 ∞),所以q是假命题. x
为真命题,故选D. 答案 D

因为函数 y=x- 的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+ 所以 p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题,綈q

1

2

3

押题精练

?log2x,x>0, 3. 函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不 ?-2 +a,x≤0

必要条件是( A.a<0 1 C. <a<1 2

) 1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

1

2

3

押题精练

解析 一个零点

因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有

?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点 ?函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.

由数形结合,可得a≤0或a>1.
所以函数 f(x) 有且只有一个零点的充分必要条件是

a≤0或a>1,应排除D;

1

2

3

押题精练

当0<a<时,函数y=-2x+a(x≤0)有一个零点,即函

数f(x)有两个零点,
此时0<a<是函数f(x)有且只有一个零点的既不充分也

不必要条件,应排除B;
同理,可排除C,应选A.

答案 A


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