第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性_图文

第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.3 函数的奇偶性与周期性

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数 都有___________ 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,

y轴 对称 关于____

奇函数

f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 都有____________

关于____ 原点对称

答案

2.周期性
(1) 周期函数:对于函数 y = f(x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得 当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

答案

知识拓展
1.如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. 2.如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). 3.对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; 1 (2)若f(x+a)= ,则T=2a. f?x? 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象 关于直线x=a对称;

(2) 若对于 R 上的任意 x 都有f(2a - x) = f(x) 或 f( - x) = f(2a + x) ,则 y = f(x) 的图象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x) 关于点(b,0)中心对称.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )

(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期
函数.( √ )

(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ )
(5) 如果函数 f(x) , g(x) 为定义域相同的偶函数,则 F(x) = f(x) + g(x) 是偶函

数.( √ )
(6)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
答案

2
A.y= x

考点自测

1.(2015· 福建)下列函数为奇函数的是( D ) B.y=|sin x| D.y=ex-e-x

C.y=cos x
解析

对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),

故y=ex-e-x为奇函数.

而 y= x的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,
故 y= x为非奇非偶函数.

y=|sin x|和y=cos x为偶函数.故选D.

1 2 3 4 5

解析答案

1 2.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(-1)等于( A ) x
2

A.-2
解析

B.0

C.1

D.2

f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

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解析答案

3.(2015· 天津) 已知定义在 R上的函数f(x) =2|x-m|-1(m为实数) 为偶函数,
记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( B )

A.a<b<c
C.a<c<b

B.c<a<b
D.c<b<a

解析

由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0,

所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数,

log0.53=-log23,所以log25>|-log23|>0,
所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选B.
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解析答案

1 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)= ,且对任意的 x 都有 f(x+3) 5 1 1 -5 = ,则 f(7)=________ ;f(2 014)=________. 5 -f?x?

解析

1 1 由 f(x+3)= ,得 f(x+6)= =f(x), -f?x? -f?x+3?

1 故函数 f(x)是周期为 6 的周期函数.故 f(7)=f(1)=5,
1 1 f (2 014)=f(6×335+4)=f(4)= = 1=-5. -f?1? - 5
1 2 3 4 5
解析答案

5. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x) = x(1 + x) ,则 x(1-x) x<0时,f(x)=________. 解析 当x<0时,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)(1-x).

又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),

∴f(x)=x(1-x).

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 解 定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x) =-f(x), ∴函数为奇函数.

解析答案

(2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x



1-x 由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x

∵函数定义域不关于原点对称,

∴函数为非奇非偶函数.

解析答案

2 ? x ? +x, (3)f(x)=? 2 ? ?-x +x,

x<0, x>0.



当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,

∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x =-(-x2+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x, ∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x =-(x2+x)=-f(x). ∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 均有f(-x)=-f(x).∴函数为奇函数.
思维升华 解析答案

跟踪训练1
(1) 设函数 f(x) , g(x) 的定义域都为 R ,且 f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数,则 下列结论中正确的是( C )

A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数

解析

易知f(x)|g(x)|定义域为R,

∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,
∴f(x)|g(x)|为奇函数.
解析答案

(2)函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1),则函数F(x)=f(x)
+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( B )

A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数
B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数

C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数
D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数

解析

F(x),G(x)定义域均为(-2,2),

由已知F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x),

G(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x),
∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.
解析答案

题型二

函数的周期性
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)

例2

=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017)= ________.

解析答案

1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- ,当 2≤x≤3 f?x?

2.5 时,f(x)=x,则 f(105.5)=______.
解析 由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
1 1 =- =- 1 =f(x). f?x+2? - f?x?

故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f
1 ?23π? ? ? 2 ? ?=___________. 6 ? ?

解析

∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),
?5π? ? ? ? ?=0, ?6?

∴f(x)的周期T=2π,
又∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f
即f
? ? π ? ? - + π ? ?=f 6 ? ?

? ? π? π? ? ? ? ? - - + sin ? ? ? ?=0, 6? 6? ? ?

∴f

? π? 1 ? ? ?- ?= ,∴f 6? 2 ?

?23π? ? ? ? ?=f 6 ? ?

? π? ? ? ?4π- ?=f 6? ?

? π? 1 ? ? ?- ?= . 6? 2 ?
解析答案

题型三

函数性质的综合应

命题点1 函数奇偶性的应用
例3 A.-3 解析 (1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x) B.-1 =x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( C ) C.1 D.3 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.故选C.

解析答案

(2)(2015· 课标全国 Ⅰ) 若函数 f(x) = xln(x + a+x2 ) 为偶函数,则 a =

1 ________.

解析

f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数,
2 2

所以 ln(x+ a+x )+ln(-x+ a+x )=0,

即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.

解析答案

命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合
例4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 若 f(1)<1, ) 2a-3 f(5)= ,则实数 a 的取值范围为( a+1 A.(-1,4) C.(-1,0)

B.(-2,0) D.(-1,2)

解析答案

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是

增函数,则(

)

A.f(-25)<f(11)<f(80)

B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)

解析答案

3 -2 (1)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.

跟踪训练3

解析

函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,

故f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,

1+e 化简得 ln 3x 6x=2ax=ln e2ax, e +e
3x

1+e3x 即 3x 6x=e2ax, e +e

整理得e3x+1=e2ax+3x(e3x+1),所以2ax+3x=0,
3 解得 a=- . 2
解析答案

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x的解集用区间表示为________.

解析答案

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易错警示系列

易错警示系列

2.忽视定义域致误

典例

k-2 (1)若函数 f(x)= x在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k· 2
x

易错分析 解题中忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1.

易错分析

解析答案

2 ? x ? +1,x≥0, 2 ? (2)已知函数 f(x)= 则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x ? ?1,x<0,

的取值范围是________.

易错分析

本题易出现以下错误:由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1

-x2>0导致解答失误.

易错分析

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称. 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 ①求函数值;②求解析式;③求函数解析式中参数的值;④画函数 图象,确定函数单调性. 3.在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期”的应用.

失误与防范

1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.应用时 要注意函数的定义域并进行检验. 2.判断分段函数的奇偶性时,要以整体的观点进行判断,不可以利 用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义 域的奇偶性.

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练出高分

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1.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( A ) A.y=log2|x| 2x-2-x C.y= 2 B.y=cos 2x

解析

2-x D.y=log2 2+x 对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;

对于B,函数y=cos 2x在区间(1,2)上不是增函数;
2x-2-x 对于 C,函数 y= 2 不是偶函数;

2-x 对于 D,函数 y=log2 不是偶函数,故选 A. 2+x
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? ? ?lg ?

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2.已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f A.-1
解析

1? ? 等于( D ) 2? ?

B.0

C.1

D.2

设 g(x)=ln( 1+9x2-3x)=f(x)-1,
2

1 g(-x)=ln( 1+9x +3x)=ln =-g(x). 2 1+9x -3x
∴g(x)是奇函数,∴f(lg 2)-1+f
? ? ?lg ? ? ? 1? 1 ? ? ? lg - 1 = g (lg 2) + g ? ?=0, 2? 2 ? ? ?

因此 f(lg 2)+f

? ? ?lg ?

1? ? =2. 2? ?
解析答案

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3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2, 则f(2 019)等于( A ) A.-2 解析 B.2 ∵f(x+4)=f(x), C.-98 D.98

∴f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, 即f(2 019)=-2.
解析答案

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f?x2?-f?x1? 4.定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 x2-x1 <0,则( A )

A.f(3)<f(-2)<f(1)
C.f(-2)<f(1)<f(3)

B.f(1)<f(-2)<f(3)
D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析

由题意知f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),

又x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且3>2>1,

∴f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(1),故选A.
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5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),

则实数a的取值范围是( C )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)

C.(-2,1) 解析 ∵f(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,
结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,

解得-2<a<1.
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6.函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)
- -x-1 =_________________.

解析

∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1,

∴当 x<0 时,-x>0,f(-x)= -x+1=-f(x),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.

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7.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不
(-∞,1]∪[3,+∞) 等式f(x-2)≥0的解集是____________________.

解析

由已知可得x-2≥1或x-2≤-1,解得x≥3或x≤1,

∴所求解集是(-∞,1]∪[3,+∞).

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8.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x) =f(x+2); ③当 0≤x≤1 时, f(x)=2 -1, 则f
x ?1? ? ? ? ?+f(1)+f ?2? ?3? ? ? ? ?+f(2)+f ?2? ?5? ? ? ? ? ?2?

2 =________.

解析

依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2, ?1? ?3? ?5? ?1? ? ?1? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f ?2?+f(1)+f ?2?+f(2)+f ?2?=f ?2?+f(1)+f ?-2?+f(0)+f ?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? =f ?2?+f(1)-f ?2?+f(0)+f ?2?=f ?2?+f(1)+f(0) ? ? ? ? ? ? ? ?
= 2 -1+21-1+20-1= 2.
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2 ? ?-x +2x,x>0, ? 9.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? 2 ? ?x +mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数m的值; 解 设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2.
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(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,

? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ? ?a-2≤1,

所以1<a≤3, 故实数a的取值范围是(1,3].
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10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x), 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; 证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数.

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(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,

又f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,

即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016). 解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=? =f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0.

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11.已知 f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且 f(x)是减函数,如果 f(m- 2)+f(2m-3)>0,那么实数 m 的取值范围是(
? ? 5 ? 1 , A.? ? 3? ? ?

)

? ? 5 ? - ∞ , B.? ? 3? ? ? ?5 ? ? D.?3,+∞? ? ? ?

C.(1,3)

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12.已知f(x)是定义在 R上且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)= x2 ,如果直线 y= x+ a 与曲线 y= f(x) 恰有两个不同的交点,则实数 a 的 值为( )
1 B.2k 或 2k+4 (k∈Z) 1 D.2k 或 2k-4(k∈Z)

A.2k (k∈Z) C.0

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13. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ -1,1] 上,f(x)=
?ax+1,-1≤x<0, ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

其中 a,b∈R.若 f

?1? ? ? ? ?=f ?2?

?3? ? ? ? ? ,则 ?2?

a+3b 的值为

________.

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14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,

给出下列关于f(x)的结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1
对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).

其中正确结论的序号是________.

解析答案

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15. 函数 f(x) 的定义域为 D = {x|x≠0} ,且满足对于任意 x1 , x2∈D ,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; 解 ∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0.
解析答案

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(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;



f(x)为偶函数.

证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
1 ∴f(-1)=2f(1)=0.

令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.
解析答案

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(3) 如果 f(4) =1 ,f(x-1)<2 ,且f(x) 在(0 ,+ ∞) 上是增函数,求x的取值
范围.



依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

由(2)知,f(x)是偶函数,

∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.

∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
解析答案 返回

本课结束
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