广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编:数列 Word版含答案


广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学文试题分类汇 编 数列
一、选择、填空题 1、 (潮州市 2017 届高三上学期期末)设数列{an}是首项为 1,公比为 q(q≠﹣1)的











若 =(



等 )











A.4026

B.4028

C.4030

D.4032

2、 (东莞市2017届高三上学期期末) 《九章算术·均输》中有如下问题:“今有五人分五钱, 令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列, 问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) .这个问题中,乙所得为( ) A.

4 钱 3

B.

7 钱 6

C.

6 钱 5

D.

5 钱 4

3、 (广州市 2017 届高三 12 月模拟)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? S3 ? 0 ,则公 比 q ? ________. 4、 (江门市 2017 届高三 12 月调研)已知等差数列

满足





则 A.2016 B.2017 C.2018 D.2019

5、 (揭阳市 2017 届高三上学期期末) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 2S3 ? 3S2 ? 15 , 则数列 {an } 的公差为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

6、 (茂名市 2017 届高三第一次综合测试)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今 有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思 是: “现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下 1 尺,重 4 斤;在细的 一端截下 1 尺,重 2 斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由 粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( A. 6 斤 B. 9 斤 C. 9.5 斤 ) D. 12 斤

1

7、 (清远市清城区 2017 届高三上学期期末)数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如果数列 { 是等差数列,则 a11 ? A. 0 ( B. )

1 } an ? 1

1 11

C. ?

1 13

D. ?

1 7

8、 (汕头市 2017 届高三上学期期末) 设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 且 Sn ? ( A. )

1 1 ? an , 则 an ? 2 2 1 3

1 1 n ?1 ?( ) 3 2

B.

1 2 n ?1 ?( ) 2 3

C. 2 ? ( ) ?
n

1 3

1 3

D. ( )

n

9、 ( 肇 庆 市 2017 届 高 三 第 二 次 模 拟 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足

S17 ? 0, S18 ? 0 ,则
S7 a7

S S1 S2 , ,?, 15 中最大的项为 a1 a2 a15
S8 a8
(C)

(A)

(B)

S9 a9

(D)

S10 a10
3 9 , S3 ? , 2 2

10、 (肇庆市 2017 届高三第二次模拟) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 则公比 q = ▲ .

11、 (潮州市 2017 届高三上学期期末) S6=9, 已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn, 且 S3=8,

则公比 q=



二、解答题 1、 (东莞市2017届高三上学期期末)设 Sn 为各项不相等的等差数列 an 的前n 项和,已知

a3a8 ? 3a11 , S3 ? 9 .
(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求数列{

1 的前n 项和 Tn . an an ?1 }

2

2、 (佛山市 2017 届高三教学质量检测(一) )已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足

S n ? a n ? n 2 ? 1 (n ? N * )
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 3 ? ??? ? S1 S 2 Sn 4

3、 (广州市 2017 届高三 12 月模拟) 等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 12 , S7 ? 49 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [0.9] ? 0 , [2.6] ? 2 . 令 bn ? [lg an ] , 求数列 {bn } 的前 2000 项和.

4、 (惠州市 2017 届高三第三次调研)已知数列 ?an ? 中,点 (a n , a n ?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上, 且首项 a1 ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 , b2 ? a 2 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,请写出适合条件 Tn ? S n 的所有 n 的值.

5、 (江门市 2017 届高三 12 月调研) 在数列 (Ⅰ)设 (Ⅱ)求数列 ,求证:数列 的前 项和.

中,







是等比数列;

6、 (揭阳市 2017 届高三上学期期末)已知递增数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足
2 2Sn ? an ?n.

(I)求 an ; (II)设 bn ? an?1 ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

7、 (茂名市 2017 届高三第一次综合测试)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 ,前 4 项之和为 18. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
3

(Ⅱ)设 bn ? n ? 2

an ?2

,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .

8、 (清远市清城区 2017 届高三上学期期末)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且
a2 ? 4 , S5 ? 30 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2b2 ? … ? nbn ? an .

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 cn ? bn ? bn ?1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

9、 (汕头市 2017 届高三上学期期末) 已知 {an } 是等差数列, 满足 a1 ? 1, a4 ? ?5 , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1, b4 ? 21,且 {an ? bn } 为等比数列. (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

10、 (韶关市 2017 届高三 1 月调研)设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列, 且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 .
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

11、 (肇庆市 2017 届高三第二次模拟)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?1 ? 2an . (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 ,且数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求

1 1 1 ? ??? . T1 T2 Tn

12、 (珠海市2017届高三上学期期末)等比数列{ an }中, a3 ? a5 ? 10 , a4 ? a6 =20 (1)求{ an }的通项公式;

4

(2)设 bn ? (?1) log2 an ,求数列{ bn }的前29 项和 S29
n

参考答案 一、选择、填空题 1、 【解答】解:数列{an}是首项为 1,公比为 q(q≠﹣1)的等比数列,

可得 an=qn﹣1,由 即 ﹣

是等差数列, 为常数, =1, =2×2014=4028.

可得 q=1,即 an=1, 即有 故选:B.
2、B

3、详细分析: a1q ? a1 ? a1q ? a1q2 =0,即 q ? 2q ? 1 ? 0 ,所以,q=-1
2

4、B 5、c 6、依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项 a1=4,则 a5=2,由等差数列性质 得 a2+a4= a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为 6 斤,选择 A.

1 2 11、 【解答】解:∵等比数列{an}前 n 项和为 Sn,且 S3=8,S6=9,
7、a 8、D 9 、C 10、 1 或 ?

∴依题意, 解得 q= . 故答案为: .
二、解答题

=

=1+q3= ,

5

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 7d ? ? 3 ? a1 ? 10d ? ? 1、 (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则由题意知 ? ?????2 3? 2 3a1 ? d ?9 ? ? 2
分 解得 ?

∴ an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1 (2)∵

?d ? 0 ? d ?1 (舍去)或 ? , ? a1 ? 3 ? a1 ? 2

?????4 分 ?????6 分 ?????8分 ?????9 分

1 1 1 1 , ? ? ? an an?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2 1 1 1 ∴ Tn ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1
1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. ? 2 3? ? 3 5? ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 n ? ? ? 2 n ? 2 2 ? n ? 2?
2、

?????10分 ?????12 分

3、解: (Ⅰ)由 a3 ? a4 ? 12 , S7 ? 49 ,得 ? 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,

? 2a1 ? 5 d ?12, ? 7a1 ? 21 d ?49.

????????2 分

????????????????4 分

6

所以 an ? 2n ? 1 .

????????????????????????5 分 ????????????????6 分 ????????????????7 分 ????????????????8 分

(Ⅱ) bn ? [lg an ] ? [lg(2n ? 1)], 当 1 ? n ? 5 时, bn ? [lg(2n ? 1)] ? 0 ; 当 6 ? n ? 50 时, bn ? [lg(2n ? 1)] ? 1;

当 51 ? n ? 500 时, bn ? [lg(2n ? 1)] ? 2 ; ????????????????9 分 当 501 ? n ? 2000 时, bn ? [lg(2n ? 1)] ? 3 . ???????????????10 分 所以数列 {bn } 的前 2000 项和为 0 ? 5 ? 1 ? 45 ? 2 ? 450 ? 3 ? 1500 ? 5445 . ??12 分 4、解: (I)根据已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 即 an?1 ? an ? 2 ? d , 所以数列 {an } 是一个等差数列, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (II)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n
2

??2 分 ???4 分

?????6 分 ??8 分

n ?1 等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 ,所以 q ? 3 , bn ? 3

数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 ? 3n 3n ? 1 ? 1? 3 2

??10 分

Tn ? S n 即
5、解:⑴

3n ? 1 ? n 2 ,又 n ? N * ,所以 n ? 1 或 2 2
??1 分

?12 分

??5 分(每个等号 1 分,其他方法参照给分) 为以 1 为首项,以 4 为公比的等比数列??6 分 ⑵ , ??8 分 ??9 分 ??10 分

6、解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2S1 ? a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;--------------------------------------------1 分
2

7

2 2 当 n ? 2 时,由 2Sn ? an ? n ,得 2Sn?1 ? an ?1 ? n ?1 ,

2 2 两式相减,得 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? an ?1 ? 1 ,
2 即 ? an ? 1? ? an ?1 ? 0 ,即 (an ? an?1 ?1)(an ? an?1 ?1) ? 0 2

∵数列 ?an ? 为递增数列,∴ an ? an?1 ?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 1 ,------------------------------------------------------------------------------------------4 分 ∴ 数列 ?an ? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,故 an ? n ;---------------------------------6 分 (Ⅱ) bn ? (n ? 1)2n ,

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? ? ? ? ? ??n ? 1? ? 2n ,
Tn =
分 两式相减,得- Tn ? 4 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? ?n ? 1? ? 2n ?1
n ?1 n ?1

2 ? 22 ? 3? 23 ??? n ? 2n ? ? n ?1? ? 2n?1 , -------------------------------------------8

? ? 4 ?1 ? 2 ? ? 4? ? ? n ? 1? ? 2 1? 2

? ?n ? 2n?1 , ------------------------------------------------------------------------11


n ? N * .-------------------------------------------------------12 分 Tn ? n ? 2n ?1,
7、解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d.

?a1 ? d ? 4, ? 由已知得 ? ……………2 分 4?3 4a1 ? d ? 18, ? ? 2
所以 an=n+2.
n

解得 ?

? a1 ? 3, ? d ? 1.

………………4 分

……………………………………………………………………………5 分
2 3 n

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn= n ? 2 , …………………………………………………………6 分 ∴ Tn =b1 ? b2 ? b3 ???? ? bn = 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 2 Tn = 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ?? (n ?1) ? 2 ? n ? 2
2 3 4 n n?1



………………7 分

② …………………8 分

①-②得: ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n

n?1

…………………………………………9 分 …………………………………………11 分

?Tn ?

2?2 ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2
n?1

n ?1

∴ Tn ? (n ?1) ? 2

?2

…………………………………………………………………12 分

8、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a2 ? 4 , S5 ? 30 得

8

?a1 ? d ? 4 ? ? 5? 4 5a1 ? d ? 30 ? ? 2

解得 a1 ? 2 , d ? 2 , 所以 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n , n ? N * . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, b1 ? 2b2 ? … ? nbn ? 2n ,① 所以 n ? 2 时, b1 ? 2b2 ? … ? ? n ? 1? bn ?1 ? 2 ? n ? 1? ,③
① ? ② 得, nbn ? 2 , bn ?
2 ? ? *? , n 2 , n ? N* . n

又 b1 ? a1 ? 2 也符合(*)式,所以 bn ? 所以 cn ? bn ? bn ?1 ?

4 1 ? ?1 ? 4? ? ?, n ? n ? 1? n n ?1? ?

1 1 ? 1 ? 4n ? 1 1 1 ? 所以 Tn ? 4 ?1 ? ? ? ? … ? ? . ? ? 4 ?1 ? ?? 2 2 3 n n ? 1 n ?1? n ?1 ? ? ? 9、解: (1)设 ?an ?的公差为 d , ?an ? bn ?的公比为 q ,

?d ?

a4 ? a1 ? ?2 , 4 ?1

? an ? a1 ? (n ?1)d ,
? 1 ? (n ? 1) ? (?2) ? ?2n ? 3 .

? a1 ? b1 ? 2 , a4 ? b4 ? 16 ,
? q 4?1 ? a4 ? b4 ? 8 ?q ? 2 , a1 ? b1

?an ? bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,

?bn ? 2n ? an ? 2n ? 2n ? 3 .
(2) Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn

? (21 ?1) ? (22 ? 1) ? (23 ? 3) ? ? ? (2n ? 2n ? 3) ? (21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (?1 ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3)

9

?

2(1 ? 2n ) (?1 ? 2n ? 3)n ? 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2n ? 2
10 、 解 : ( 1 ) 设 ?an ? 的 公 差 为 d , ?bn ? 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q ? 0 且
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, ?????????????????? ??????2 分 ? 2 1 ? 4 d ? q ? 13 , ? ?

解得 d ? 2 , q ? 2 .?????????????????? ??????4 分 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .?????????????5 分 (2)

3 5 2n ? 3 2n ? 1 an 2n ? 1 ? n?1 . Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① ??????6 分 2 2 2 2 bn 2

5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② ???????????????7 分 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 2 2 2 2 2Sn ? 2 ? 3 ?

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

?????????9 分

1 n ?1 2n ? 1 ????????? ??????11 分 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 .?????????????????????12 分 2 11、解: (Ⅰ)由已知,有 Sn ? ?1 ? 2an ①, 1?
当 n ? 1 时, a1 ? ?1 ? 2a1 ,即 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, Sn?1 ? ?1 ? 2an?1 ②, (3 分) (5 分) (6 分) (8 分) (9 分) (1 分)

①-②得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ? n ? 2? . 所以 ?an ? 是 2 为公比,1 为首项的等比数列,即 an ? 2n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 bn ? log2 an?1 ? ln 2n ? n , 所以 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 所以

n(n ? 1) . 2

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ??? ? ??? T1 T2 Tn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?
10

= 2 ?1 ? = 2 ?1 ? = 12、

? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 ? 1 ? ? n ?1 ?

(10 分)

? ?

(11 分)

2n n ?1

(12 分)

11


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