人教版高中数学选修4-4-2.3.1直线的参数方程ppt课件_图文

2.3.1 直线的参数方程 问题情景 已知一条直线过点M 0 ( x0, y0 ),倾斜角?,求这条 直线的方程. 解:直线的普通方程为y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) sin ? 把它变成y ? y0 ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 令该比例式的比值为t,即 ? ? t. sin ? cos ? ? x ? x0 ? t cos ? 整理,得到 ? ( t是参数) ? y ? y0 ? t sin ? 解:在直线上任取一点M(x,y),则 M0 M ? ( x, y ) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0, y ? y0 ) 设 e 是直线 l 的单位方向向量,则e ? (cos ?, sin ? ) 因为M0 M // e,所以存在实数t ? R,使M 0 M ? te ,即 ( x ? x0, y ? y0 ) ? t (cos ?, sin ? ) 所以 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ? y 即 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ? 所以,该直线的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ? M0(x0,y0) M(x,y) e (cos ?, sin ? ) x ? O 探究思考 由M 0 M ? t e,你能得到直线l 的参数方程中参数 t 的几何意义吗? 解: M0 M ? te, ?| M 0 M | ? | te | , 又因为 e 是单位向量, ? | e | ? 1, y ?| M 0 M | ? | t || e | ? | t | . 所以,直线参数方程中参数t的绝对值 等于直线上动点 M 到定点 M 的距离 . 0 这就是 t 的几何意义, 要牢记 | t | = | M0M | M0 M e O x 由于? 是直线的倾斜角,因此,当 0 ? ? ? ? 时, sin ? ? 0,又因为 sin ? 表示 e 的纵坐标,所以 e 的纵坐标都大于0,那么 e 的终点就会都在第 一,二象限,所以 e 的方向就总会向上. 此时,若t ? 0,则 M 0 M 的方向向上; 若t ? 0,则 M 0 M 的方向向下; 若t ? 0,则 M 点与 M 0 重合. 辨析: 例: 动点M作等速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向分速度分别为 9, 12,运动开始时,点 M 位于A(1,1),求点 M 的轨迹的参数方程. ? x ? 1 ? 9t ( t为参数) y ? 1 ? 12t 请思考: 此时的t有没有 明确的几何意义? 没有 已知点A的坐标为(1,0),点M的极坐标为 求直线AM的参数方程. ( ? ? 3 3 , ) 2010年辽宁高考题23题 已知点A的坐标为(1,0),点M的极坐标为 求直线AM的参数方程. ( ? ? 3 3 , ) 解:点M的直角坐标为 AM ? ( ( 3? ) 6 ? 3? ,所以, 6 , 6 ) ? 6 ? 1, 2010年辽宁高考题23题 已知点A的坐标为(1,0),点M的极坐标为 求直线AM的参数方程. ( ? ? 3 3 , ) 解:点M的直角坐标为 AM ? ( ( 3? ) 6 ? 3? ,所以, 6 , 6 ) ? 6 ? 1, 故:直线AM的参数方程为: ? ? x ? 1 ? ( ? 1)t ? 6 ? ? ? y ? 3? t ? 6 ? 例1. 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线 y ? x 2交于 A, B两点,求线段AB的长度和点M ( ?1, 2)到A, B 两点的距离之积. 分析: 1.用普通方程去解还是用参 数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A M(-1,2) y O B x 例1. 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线 y ? x 2交于 A, B两点,求线段AB的长度和点M ( ?1, 2)到A, B 两点的距离之积. 解:因为把点M的坐标代入直线方程后, 符合直线方程,所以点M在直线上. A 易知直线的倾斜角为 3? , 4 所以直线的参数方程可以写成: ? x ? ?1 ? t cos 3? ? 4 ( t为参数 ) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ? 4 M(-1,2) y O B x ? x ? ?1 ? 2 t ? 2 即? ( t为参数 ) ?y ? 2? 2 t ? 2 y A M(-1,2) 把它代入抛物线方程y ? x , 2 得t ? 2 2t ? 2 ? 0. O B x 解得t1 ? ? 2 ? 10 ,t 2 ? ? 2 ? 2 2 由参数 t 的几何意义得 10 , | AB | ? | t1 ? t 2 | ? 10 , | MA | ? | MB | ? | t1 | ? | t 2 | ? | t1t 2 | ? 2. 探究思考 直线与曲线 f ( x, y ) ? 0交于M 1,M 2两点,对应的 参数分别为t1,t 2 . (1)曲线的弦M 1 M 2的长是多少? (2)线段M 1 M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少? (1) | M 1 M 2 | ?| t1 ? t 2 | ; t1 ? t 2 (2) t ? . 2 ? x ? x0 ? t cos ? 1. 直线 ? ( t为参数)上有参数 ? y ? y0 ? t sin a 分别为t1和t 2 对应的两点A和B,则A, B两点的 距离为 A. | t1 ? t 2 | C . | t1 | ? | t 2 | ( B

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