高中数学函数的概念课件新人教必修_图文

第一章

集合与函数概念 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

第一章
1. 2 函数及其表示 Evaluation only.

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第一章
1. 2.1 函数的概念 Evaluation only.

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课前自主预习

名师辩误做答 方法警示探究

only. 基础巩固训练 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
探索延拓创新 能力强化提升

Evaluation 思路方法技巧

课前自主预习 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

温故知新 1.在初中,同学们已经学习了变量与函数的概念:在一 个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果给定了一个 x 值,相

Evaluation only. 应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 x 是自变量,y 是因变量. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

2.在初中我们还学习了几个特殊的函数;一次函数
2 y = ax +bx+c(a≠0) ,正比 ,二次函数 k 例函数 y=kx(k≠0) 和反比例函数 y=x(k≠0) ,并且知道了

y=kx+b(k≠0)

ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 性质) Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

only. 它们的图象和性质.Evaluation (在练习本上画出它们的图象,写出它的

新课引入 某人到一个水果店去买西瓜, 价格表上写的是: 6 斤以下, 每斤 0.4 元,6 斤以上 9 斤以下,每斤 0.5 元;9 斤以上,每

Evaluation only. 斤 0.6 元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说 5 元 1 角,1 角 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 就不要了,给 5 元吧.可这位聪明的顾客马上说,你不仅没 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
少要,反而多收了我的钱.当顾客讲出理由,店主只好承认 了错误,照实收了钱.同学们,你知道顾客是怎么晓得店主 骗人的吗?

[答案]

如果西瓜不超过 9 斤, 则价钱不会超过 0.5×9=

4.5(元); 如果西瓜超过 9 斤, 则价钱不会低于 0.6×9=5.4(元), 不会出现 5 元 1 角的情况.故该顾客认定店主骗人.

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自主预习 1.设在一个变化过程中有两个变量 x,y,如果对于 x 的 每一个值,y 都有 唯一 确定的值与它对应,那么就说 y 是 x

Evaluation only. 的函数,x 叫做自变量. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 2.我们已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
和二次函数等具体的函数.

思考:(1)y=1(x∈R)是函数吗? x2 (2)y=x 与 y= x 是同一个函数吗?

Evaluation only. [答案 ] (1)是 (2)不是 for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ted with Aspose.Slides Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

3.下面我们用集合与对应的观点来研究函数,先阅读教 材 P15~P16,再回答问题. 设 A、B 是 非空数集 ,如果按照某种确定的对应关系
任意一个数 x only. Evaluation f,使对于集合 A 中的 ,在集合 B 中都有 唯一

ted确定的数 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B Copyrighty= 2004-2011 Aspose 自变量 Pty Ltd. f(x),x∈A A
的一个函数.记作 ,其中 x 叫做 , 叫 做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ,函数 值的集合{y|y=f(x),x∈A} 叫做函数的值域.

4.对函数 y=f(x)涵义的理解,应明确以下几点: ①“A,B 是非空数集”,若求得自变量取值范围为?, 则此函数不存在.

Evaluation only. ②定义域、对应法则和值域是函数的三要素,实际上, ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 值域是由定义域和对应法则决定的,所以看两个函数是否相 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
等,只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同.

③y=f(x)中 f 为对应法则,当情况比较简单时,对应法则 f 可用一个解析式来表示.但在有些问题中,对应法则 f 也可 能不便用或不能用一个解析式来表示,这时就必须采用其他

Evaluation only. 方式,如数表或图象等. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

④函数符号“y=f(x)”是“y 是 x 的函数”的数学表示, 仅仅是函数符号,不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”,f(x)也不 一定是解析式.符号 f(a)与 f(x)既有区别又有联系,f(a)表示当

Evaluation only. 自变量 x=a 时函数 f(x)的值,而 f(x)是自变量 x 的函数.一般 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 情况下,f(x)是一个变量,f(a)是 f(x)的一个特殊值. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

通过以上所学,完成下列练习. (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的定义域为________; 值域为 ________.

Evaluation only. k (2) 反比例函数 y=x(k≠ 0)的定义域为 ________ ;值域为 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ________ .
(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为________; 值域为__________________.

(4)要使函数 y= 2x-1有意义,应有__________,∴此 函数的定义域为________. (5)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使

Evaluation only. 其解析式有意义,还要有实际意义;
y 之间的函数关系为 ________ ,其中 x 的允许取值范围是 ________.

ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 一种练习本的单价为 0.6 元, 买本子的个数 x 与应付钱数 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[ 答案 ]

(1)R

R

(2){x ∈ R|x≠0}

{y ∈ R|y≠0}

(3)R

4ac-b2 4ac-b2 a>0 时, {y|y≥ 4a } a<0 时, {y|y≤ 4a } (4)2x-1≥0

Evaluation only. 1 * {x|x≥ } (5)y=0.6x x∈N ted with 2Aspose.Slides for .NET 3.5

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5. 如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完全一致, 那么就称这两个函数相等. (1)只要两个函数的定义域相同,对应法则相同,其值域

ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 看对应法则. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
x 如 y=1 与 y=x不是相等函数,因为 定义域不同.y=3t +4 与 y=3x+4 是相等函数.

Evaluation only. 一定相同. 就 故判断两个函数是否相等时,一看定义域,二

(2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组 的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间 来表示.

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6.阅读教材 P17 填表.
区间 [a,b] (a,b) 不等式 a≤x≤b
a<x<b

数轴表示

Evaluation only. [a,b) a≤x<b ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (a,b] 2004-2011 Copyright a<x≤b Aspose Pty Ltd.
(-∞,b)
(a,+∞)
(-∞,+∞)

x<b

x>a -∞<x<+∞ 数轴上的所有点

区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应 的实数的取值集合, 如{x|a<x≤b}=(a, b], {x|x≤b}=(-∞, b].

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思路方法技巧 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

1

函数概念的理解

学法指导:判断一个对应关系是否是函数,要从以下 三个方面去判断:(1)A、B必须是非空数集;(2)A中任一个

Evaluation only. 元素在B中必须有元素与其对应; (3) A中任一元素在B中必须

ted 有唯一元素与其对应. with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[例1]

下列对应是否为A到B的函数:

(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;

Evaluation only. (3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[分析]

解答本题要充分利用函数的定义:对于集合A中

的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应.

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[解析] B的函数;

(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到

(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y
2

Evaluation only. =x ,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应,故是 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 集合A到集合B的函数; Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
(3)A中元素负整数没有平方根,故在B中没有对应的元 素,故此对应不是A到B的函数;

(4)对于集合A中一个实数x,按照对应关系f:x→y=0, 在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集 合B的函数.

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在下列从集合A到集合B的对应关系中不可以确定y是x的 函数的是( )

x ①A={x|x∈Z}, B={y|y∈Z},对应法则 Evaluation only. f:x→y=3;

ted with Client 5.2 ②Aspose.Slides A={x|x>0,x∈R},for B={.NET y|y∈R}3.5 ,对应法则 f:Profile x→y2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. =3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应法则f:x→y:x2+ y2=25;

④A=R,B=R,对应法则f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应法则f:(x, y)→S=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤ 1,x∈R},B= {0},对应法则f:x→y Evaluation only.

ted = with 0. Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. A .①⑤⑥ B.②④⑤⑥
C.②③④ D.①②③⑤

[答案] D

如图中,哪些是以x为自变量的函数的图象,为什么?

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[研析]

检验一个图象是否为一个以x为自变量的函数的

图象的方法是:作垂直于x轴的直线,若此直线与图象有唯 一一个交点,图象即为函数的图象.

Evaluation only. 图(1)不是以x为自变量的函数的图象.在(-1,1)内,任 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 意作一条垂直于x轴的直线,此直线与图象的交点不唯 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
一.或者说,因为当x=0时,由图(1)知,有两个y值(± 1)与它 对应.

图(2)与图(3)都是以x为自变量的函数的图象. 图(2)表示的函数的定义域为{-3,-2,-1,0,1,3,4}, 在此定义域内,任取一个x值,由图(2)知,可确定唯一的y值 与它对应;

Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 图(3)表示的函数的定义域为R,任取x∈R,由图(3)知, Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
可确定唯一的y值与它对应.

2

相等函数的判断

学法指导:确定两个函数是否相等,要紧紧抓住函数 的定义域和对应法则.根据函数的定义可知,定义域中的每

Evaluation only. 一个x都有唯一的y与它对应,所以值域实际上是由定义域和

ted 对应法则确定,因此,两个函数只要定义域和对应法则分别 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 相同,它们就是相等函数.

[例2] ________.

下列各对函数中,是相等函数的序号是

①f(x)=x+1与g(x)=x+x0

Evaluation only. 2 ②f(x)= ?2x+1? 与g(x)=|2x+1| ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ③f(n)=2n+1(n∈Z)与g(n)=2n-1(n∈Z) Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
④f(x)=3x+2与g(t)=3t+2

[分析]

解决此类问题,要充分理解相等函数的概念,

准确求出函数的定义域,认准对应关系,按判断相等函数的 步骤求解.

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[解析]

①中f(x)=x+1,x∈R,而y=x+x0中x≠0,它

们的定义域不相同,所以不是相等函数. ②中两个函数的定义域都是R,并且f(x)= ?2x+1?2=|2x

Evaluation only. +1|,所以它们是相等函数. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ③中f(n)=2n+1(n∈Z)与g(n)=2n-1(n∈Z)的定义域都 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
是Z,值域也相同(都是奇数集),但对应法则不同,所以不是 相等函数.

④中f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域都是R,尽管它们 表示自变量的字母不同,但是,对应法则都是“乘3加2”, 是相同的对应法则,所以是相等函数.

Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 [答案 ] ②④. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

规律总结:从函数的概念可知,函数有定义域、值 域、对应法则三要素,其中,定义域是前提,对应法则是核 心,值域是由定义域和对应法则确定的.因此,

Evaluation only. (1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同,它们就不 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 是同一个函数.只有当定义域和对应法则都相同时它们才是 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
相等函数.

(2)对应法则f是函数关系的本质特征,要深刻理解,准 确把握,它的核心是“法则”.通俗地说,就是给出了一个 自变量后的一种“算法”,至于这个自变量是用x还是用t或

Evaluation only. 者别的符号表示,那不是“法则”的本质,因此,对应法则 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 与自变量所用的符号无关. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

(3)从本题我们也得到这样的启示:在对函数关系变形或 化简时,一定要注意使函数的定义域保持不变,否则,就变 成了不同的函数.这也正说明了函数的定义域是函数不可忽

Evaluation only. 视的一个重要组成部分.例如f(x)=x2-x (x≥1),f(3)=32 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client 2Profile 5.2 -3=6,但f(-1)是无意义的,不能得出f(-1)=(-1) -(-1) Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
=2,因为只有当x取定义域[1,+∞)内的值时,才能按这个 法则x2-x进行计算.

下列各组式子是否表示相等函数?为什么? (1)f(x)=|x|,φ(t)= t2; (2)y= x2,y=(Evaluation x)2;

only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 2 (3)y= x+1· x-1,y= x -1; Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2
(4)y= 1+x· 1-x,y= 1-x .

[解析]

(1)f(x)=|x|,φ(t)=|t|,定义域和对应法则都相

同,故是相等函数. (2)y= x2 定义域为R;y=( x )2定义域为[0,+∞),故 不是相等函数.

Evaluation only. (3) y= x+1· x-1 定义域为 [1,+ ∞), y= x2- 1 定义 5.2 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 域为(Copyright -∞,-1]∪[1 ,+∞),故不是相等函数.
(4)y= 1+x· 1-x = 1-x2 ,故两函数对应法则相同, 又定义域都是[-1,1],故是相等函数.

3

求函数的定义域

学法指导:求函数的定义域: (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数

Evaluation only.0;②偶次根式的 有意义的准则一般有:①公式的分母不为

ted 被开方数非负;③ with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 y=x0要求 x≠0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、
积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共 部分的集合.

(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间 表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连 接.

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[例3]

求下列函数的定义域:

1 (1)y=2x+3;(2)f(x)= ; x+1

x+ 1 Evaluation only. (3)y= x-1+ 1-x;(4)y= 2 . x - 1 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 [Copyright 分析] 求函数的定义域,即是求使函数有意义的那些 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 自变量x的取值集合.

[解析]

(1)函数y=2x+3的定义域为{x|x∈R}.

(2)要使函数有意义,即分式有意义,则x+1≠0,x≠- 1.故函数的定义域为{x|x≠-1}.

Evaluation only. ? ? ?x-1≥0 ?x≥1 ? ? Client (3) 要使函数有意义,则 ,即 ,所以 x= 5.2 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Profile ? ? ?1-x≥0 ?x≤1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
1,从而函数的定义域为{x|x=1}.

x+1 (4)因为当x -1≠0,即x≠± 1时, 2 有意义,所以原 x -1
2

函数的定义域是{x|x≠± 1,x∈R}.

Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[易错警示] 求函数的定义域时,不能对解析式变 x+1 1 形.题(4)易出现这样的错误:y= 2 = ,使得函数有 x -1 x-1

only. 意义的x满足x-1≠0Evaluation ,即x≠1,故函数的定义域为 {x|x≠1,x

ted ∈ with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 R}. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

求下列函数的定义域: 1 (1)f(x)= ; x+2 Evaluation

only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (2) f(x)= 3x+2; Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1
(3)f(x)= x+1+ . 3-x

[解析] 2};

(1)x+2≠0,∴x≠-2,∴定义域为{x|x≠-

2 2 (2)3x+2≥0,∴x≥- ,∴定义域为{x|x≥- }. 3 3 Evaluation only.

? ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ?x+1≥0 (3) ? ,∴x≥-1且x≠3,∴定义域为:{x|x≥- ? Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ?3-x≠0

1且x≠3}.

4

区间

学法指导:对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必须小于右端点,有时我们将b-a称

Evaluation only. 之为区间长度,对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来

ted 表示,如 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 {a}. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)注意开区间(a,b)与点(a,b)在具体情景中的区别.
若表示点(a,b)的集合,应为{(a,b)}.

(3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心圈的 区别. (4)对于一个不等式的解集,我们既可以用集合形式来表

Evaluation only. 示,也可以用区间形式来表示. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (5)区间是实数集的另一种表示方法,要注意区间表示实 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
数集的几条原则,数集是连续的,左小,右大,开或闭不能 混淆.

[例4]

试用区间表示下列实数集:

(1){x|5≤x<6}; (2){x|x≥9};

Evaluation only. (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}; ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (4){x|x<-9}∪{x|9<x<20}. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
[分析] 注意区间的开与闭,能取端点值时为闭,不能 取端点值时为开.

[解析]

(1){x|5≤x<6}=[5,6).

(2){x|x≥9}=[9,+∞). (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}={x|-5≤x≤-1}=[-5,

Evaluation only. -1]. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (4){x|x<-9}∪{x|9<x<20}=(-∞,-9)∪(9,20). Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

把下列实数集转化为用区间表示的形式. (1){x|-1≤x≤2};

Evaluation only. (2){x|0<x≤10}; ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (3){x|-1≤x≤5}; Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
(4){x|x≥-3};

(5){x|x≤9}; (6){x|x≥2}∪{x|x<0}; (7)(-1,5]∩[-1,5).

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[解析]

(1){x|-1≤x≤2}=[-1,2].

(2){x|0<x≤10}=(0,10]. (3){x|-1≤x≤5}=[-1,5].

Evaluation only. (4){x|x≥-3}=[-3,+∞). ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (5){x|x≤9}=(-∞,9]. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
(6){x|x≥2}∪{x|x<0}=(-∞,0)∪[2,+∞). (7){x|-1<x≤5}∩{x|-1≤x<5}=(-1,5).

探索延拓创新 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

4
[例5]

据解析式求函数值

(2011-2012学年郑州一中高一月考)

Evaluation only. 1 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (1)计算f(a)+f(a)的值; Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
1 1 1 (2)计算f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )的值. 2 3 4

x2 已知f(x)= 2,x∈R. 1+x

[分析]

(1)将函数的自变量代入计算即可,(2)可以分别

1 1 1 将f(1),f(2),f( 2 ),f(3),f( 3 ),f(4),f( 4 )的函数值算出再相 加,也可以根据待求式中数据的特征,结合 Evaluation only. (1)中所得结果求

ted 解. with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[解析] =1.

a2 1 1 1 (1)由于f(a)= ,f( )= ,所以f(a)+f( ) a 1+a2 a 1+a2

ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 12 12 Aspose Pty Ltd. ?2? Copyright 2004-2011 ?3? 1 32 9 1 1
1 2=5,f(3)=1+32=10,f(3)= 1 2=10,f(4)= 1+?2? 1+?3?

2 2 1 1 2 4 1 Evaluation only. (2)方法一:因为f(1)= = ,f(2)= = ,f( )= 2 1+12 2 1+22 5

12 ? ? 2 4 4 16 1 1 1 = ,f( )= = ,所以f(1)+f(2)+f( )+f(3)+ 4 1 2 17 2 1+42 17 1+? ? 4

1 1 1 Evaluation 4 1 9 1 only. 16 1 7 f(3)+f(4)+f(4)=2+5+5+10+10+17+17=2. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client

Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

1 1 1 方法二:因为f(a)+f( )=1,从而f(2)+f( )=f(3)+f( )= a 2 3 1 1 1 1 f(4)+f( 4 )=1,即[f(2)+f( 2 )]+[f(3)+f( 3 )]+[f(4)+f( 4 )]=3,

Evaluation only. 1 1 1 1 7 f(1)= f(2)+ f(3)+f(3.5 (4)+f(4)= ted 而 with Aspose.Slides .NET Profile 5.2 2,所以f(1)+f(2)+for 3)+fClient 2. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[点评]

方法二相比方法一的求解更为简捷,关键在于

1 1 发现x× x =1这一特征,并利用f(a)+f( a )=1求解,要注意体 会从一般到特殊的思维方式. Evaluation

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规律总结:此类求值问题,一般要求的式子较多,不 能逐个求解,求解时,注意观察所要求的式子,发掘它们之 间的关联,进而去验证,从而得到问题的解决方法.

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Evaluation only. ted ________. with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
[答案] -9

x2-1 f?2? f?10? 已知函数f(x)= 2 ,则f(1)+ +…+ = 1 1 x +1 f? ? f? ? 2 10

[解析]

x2-1 x2-1 2 2 f?x? x +1 x +1 = 2=-1, 1 =1 1-x f?x? x2-1 1+x2 1 +1 x2Evaluation only.

ted with Aspose.Slides f?2? f?3? f?10? for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ∴ = =…= =-1, 1 1 1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. f? ? f? ? f? ?
2 3 10 f?2? f?10? 又∵f(1)=0,∴f(1)+ +…+ =-9. 1 1 f?2? f?10?

名师辩误做答 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

1.判别函数是否相等时,只注意对应关系,忽视定义 域 [例6] 函数f(x)= x-2 · x+2 与g(x)= x2-4 是否表示

Evaluation only. 同一函数? ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 [错解] 由题意,得f(x)= x+2· x-2= x2-4=g(x), Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
∴f(x)与g(x)是同一函数.

[错因分析] 该解法中只注意到对应法则可化为相同, 而忽视了定义域.在变形过程中,f(x)的定义域发生了变化, 在f(x)=
2

x-2 · x+2 中,f(x)的定义域是{x|x≥2},变形为

Evaluation only. x -4时,定义域扩大为{x|x≥2或x≤-2}. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[思路分析] 要解决这类问题,首先要判断两个函数的 定义域是否相同,在定义域相同的条件下,再看表达式能否 化为相同.如果这两者都满足,那么就是两个相等的函数,

Evaluation only. 只要有一个不相同,就是两个不同的函数. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[正解]

由题意,得f(x)=

x-2 · x+2 的定义域是

{x|x≥2},而g(x)= x2-4的定义域为{x|x≥2或x≤-2}. ∵两个函数的定义域互不相同,∴f(x)与g(x)是两个不相

Evaluation only. 等的函数. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

2.忽视区间中的隐含条件 [例7] 表示吗? 集合B={x|m-1≤x≤2m}可以用区间A[m-1,2m]

Evaluation only. [错解] 由区间的定义,可知B=A,即两集合表示的是 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 同一意义. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
[错因分析] 该解法中忽视了区间[a,b]中的隐含条件 a<b.因此区间A中有2m>m-1,即m>-1这个隐含条件;而集 合B={x|m-1≤x≤2m}中的m没有这个隐含条件.

[思路分析] 用区间表示含字母的集合时,字母就有了 隐含条件,但用集合表示时,却没有这个限制.因此在面对 B={x|m-1≤x≤2m}这样的集合时,就要注意讨论m的范

Evaluation only. 围,B可能为空集或只有一个元素的集合. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 2004-2011 Aspose PtyB不能用区 Ltd. [Copyright 正解] 当m>- 1时,A=B,但 m≤-1时集合
间A表示.

基础巩固训练 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

1.符号y=f(x)表示( A.y等于f与x的积 B.y是x的函数

)

Evaluation only. C.对于同一个x,y的取值可能不同 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 D.f(1)表示当x=1时,y=1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
[答案] B

[解析]

依据函数的定义,A,C错误,f(1)表示当x=1

时的函数值,所以D错误,故答案为B.

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2.下列对应: 2 ①x→x ,x≠0,x∈R; ②x→y,这里y2=x,x∈N,y∈R; ③A={(x,y)|x, y∈R},B=R,对任意的 Evaluation only. (x,y)∈A,

ted (with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 x,y)→ x+y. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 能成为函数的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

[答案] B

[解析]

2 ①对于任意一个非零实数x, 被x唯一确定,所 x

Evaluation only. y=2或y=-2,不是有唯一值和x对应,所以x→y(y2=x)不是 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 函数.③因为集合A不是数集,所以不是函数. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

2 以,x≠0时,x→ x 是函数.②当x=4时,y2=4时,y2=4,得

3.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是( A.0 C.6a2-2 B.3a2-1 D.6a2

)

Evaluation only. [答案 ] A ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[解析] f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.

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4.(河南南阳一中2012~2013高一月考试题)y= 1-x + x的定义域为( A.{x|x≤1} ) B.{x|x≥0}

Evaluation only. C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1} ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. [答案] D

[解析]

函数y= 1-x+ x有意义满足 ∴0≤x≤1 故选D.

? ?1-x≥0 ? ? ?x≥0

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5.(河南安阳一中分校2012~2013月考试题)下列四组函 数中表示同一函数的是( A.f(x)= x2,g(x)=x B.f(x)=(x-1)0
2

)

Evaluation only. x CAspose.Slides .f(x)= ,g(x)=x for .NET 3.5 Client Profile 5.2 ted with x Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ?
?x?x≥0? D.f(x)={x},g(x)=? ? ?-x?x<0?

g(x)=1

[答案] D

[解析]

选项A中f(x)=

x2 ≥0,而g(x)=x可为负值,对

2 x 于选项B中f(x)=(x-1)0,x≠1,对于选项C中,f(x)= x ,

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x≠0,故选D.

6.(2012· 高考数学理科试题安徽卷)下列函数中,不满 足:f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| ) B.f(x)=x-|x|

Evaluation only. C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. [答案] C

[解析] f(x)=kx与f(x)=k|x|均满足:f(2x)=2f(x)得:A, B,D满足条件.

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1 7.已知函数f(x)= ,g(x)=x2+2. 1+x (1)求f(2),g(a-1)的值; (2)求f(g(2)),g(fEvaluation (2))的值.

only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[解析] +3.

1 1 (1)f(2)= = ;g(a-1)=(a-1)2+2=a2-2a 1+2 3

1 1 Evaluation only. (2)f(g(2))=f(6)= = . 7 1 + 6 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 1 2004-2011 12 19 Aspose Pty Ltd. Copyright g(f(2))=g( )=( ) +2= . 1+2 3 9

8.求下列函数的定义域,并用区间表示结果. 3 (1)y=2+ ; x-2 (2)y= 3-x· x- 1; Evaluation

only. ted with Aspose.Slides 2 for .NET 3.5 Client Profile 5.2 0 (3)y=(x-1) + . x + 1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

[解析]

(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数y=2+

3 有意义,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}=(-∞,2) x-2 ∪(2,+∞).

Evaluation only. ted with Aspose.Slides for? .NET 3.5 Client Profile 5.2 ?3-x≥0, ? (2) 函数有意义,当且仅当 解得 1≤Ltd. x≤3,所 Copyright 2004-2011 Aspose Pty ? ?x-1≥0,
以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}=[1,3].

?x-1≠0, ? (3)函数有意义,当且仅当? 2 >0, ? ?x+1 解得x>-1,且x ≠1, Evaluation

only. ted with Aspose.Slides for 3.5 Client 5.2 所以这个函数的定义域为 {x.NET |x>-1,且 x≠ 1}=(-Profile 1,1)∪ Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (1,+ ∞).


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