2013届高三数学第二轮:数列专题(学生)

2013 届西南模高三数学第二轮:数列专题(重要)
一.小题精选 1、设无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,首项是 a1 ,若 lim Sn=
n??

? 2? 1 ? , a1 ? ? 0, ? 2 ? ,则 a1 ? ?

公比 q 的取值范围是



2 . 在 等 差 数 列 {an } 中 , a1 ? ?10 , 从 第 9 项 开 始 为 正 数 , 则 公 差 d 的 取 值 范 围 是 __________________. 3、在等比数列 ?an ? 中,已知 a1a2 ? 32 , a3a4 ? 2 ,则 lim ( a1 ? a2 ? ? ? an ) ?
n??



4.在等比数列 ? an ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a 4 ? a 5 的最小值为 5.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3? n ? (?2)? n?1 ,则 lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______.
n ??

6.已知等差数列 ?an ? 的前 10 项之和为 30,前 20 项之和为 100,则 a3 ? a28 = 7 . 若

.

f ( n) ? 1 ?

f (k ? 1) ? f (k ) ?

1 1 1 ? ?? ? ( n ? N* ) 2 3 3n ? 1










k ? N*



8.若 1 ? 2

?

x 10

?

的展开式中的第 3 项为 90,则 lim x ? x ? ? ? x
1 2 n ??

?

n

? ? __________.

2 * 9.已知数列 ?an ? 为递增数列且 an ? n ? ? n n ? N ,则实数 ? 的取值范围为_______。

?

?

10.若不等式 ( ?1) n a ? 2 ?

( ?1) n ?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n

11.公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等 于 .

12、设 a1 , a2 ,?, an 是各项不为零的 n(n ? 4) 项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此数列 删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ( n, 合为_________________. 13.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ( n ? N * ) ,对任意正整数 n ,数列 ?bn ? 的项都满足 等式 an?1 ? 2an an?1bn ? an ? 0 ,则 bn =
2 2

a1 ) 所组成的集 d

.

1

14. 若实数 a、 c 成等差数列, P(–1, 0)在动直线 l: b、 点 ax+by+c=0 上的射影为 M, N(0, 3), 点 则线段 MN 长度的最小值是 . .

15、数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n} 的前 60 项和等于 16.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , an } 是公差为 { 则 [ f (a3 )]2 ? a1a5 ? .

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , 8
2n? (n ? N ? ) , 若数列 ?an ? 的前 n 项 3
[答] ( ) (D) 672

17. 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 和为 Sn ,则 S2012 的值为 (A) ?672 (B) ?671 (C) 2012

n, 当n ? 2k ? 1 ? 18、 数列 {an } 满足 an ? ? , 其中 k ? N , f (n) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n , 设 ? ak , 当n ? 2k ?
则 f (2013 ? f (2012 等于( ) ) ).

A. 22012

B. 22013

C. 4 2012

D. 42013

19 . 设 函 数 f ( x)? ( x? 3 )? x ? , 数 列 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , 3 1 ,则 f ( a )? f ( 2 ? ? ? ? ? f (7 a ) ? 1 4 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( a) 1 A、0 B、7 C、14 ) D、21

二.解答题题型: 题型一:通向公式与求和
1.设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

2

2.等比数列 ?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 n?1 , n ? N * ,数列 ?an ? 满足 cn ? 2 an .... (1)求 ?an ? 的通项公式; 分) (5 (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 分) (6

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 lim Tn ; 分) (5 n ?? an ? an ?1

3.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
0 1 2 n (2)求和 S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn ? ? ? Sn ?1 ? Cn ;

(3)设有 m 项的数列 ?bn ?是连续的正整数数列,并且满足:

lg 2 ? lg(1 ?

1 1 1 ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) ? lg(log2 am ) . b1 b2 bm

问数列 ?bn ?最多有几项?并求这些项的和.

3

题型二:单调性与作差法
4. 如果无穷数列 ? a n ?满足下列条件: ①

an ? an ? 2 ? a n ?1 ; ②存在实数 M , an ? M . 使 其 2

中 n ? N ? ,那么我们称数列 ? an ? 为 ? 数列. (1)设数列 ? bn ?的通项为 bn ? 5n ? 2n ,且是 ? 数列,求 M 的取值范围; (2) ? c n ?是各项为正数的等比数列,S n 是其前项和,c3 ? 设 是 ? 数列;

1 7 , S3 ? , 证明: 数列 ? Sn ? , 4 4

5.对数列 ?an ? 和 ?bn ? ,若对任意正整数 n ,恒有 bn ? a n ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“下 界数列”. (1) 设数列 an ? 2n ? 1 , 请写出一个公比不为 1 的等比数列 ?bn ? , 使数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“下界数列”;

n?2 ,求证数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“下界数列”; 2n ? 7 7, n ? 1 ? 1 ? (3)设数列 an ? 2 , bn ? ? 7 7 , n ? N ? ,构造: ? ,n ? 2 n ?n n ?1 ? Tn ? (1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) , Pn ? (1 ? b1 ) ? (1 ? b2 ) ? ? ? (1 ? bn ) ,求使 Tn ? kPn 对
2 (2)设数列 a n ? 2n ? 3n ? 10, bn ?

n ? 2, n ? N ? 恒成立的 k 的最小值.

4

题型三:定义及证明
6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2 n (n ? N * ) . (1)设 bn ?

an ? 2 n 证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

7. 已知数列 ?an ? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ?????? ?an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ?????? ?an?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ?????? ?an? 2 , (n ? 1, 2,3,......) ,并且对于任意 n ? N ? ,恒有 an ? 0 成立.

(1) a1 ? 1, a2 ? 5 , 若 且对任意 n ? N ? , 三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列, 求数列 ?an ? 的 通项公式; (2)证明:数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ? ,三个数
A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

5

题型四:存在性问题————整数除问题的解决
4 形式 t ?1 8.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? a13 ? 34 , S 3 ? 9 .

法 1:化成: k ? 3 ?

(1)求数列 {an } 的通项公式;

an ,问:是否存在正整数 t 和 k ( k ? 3 ) ,使 an ? t 得 c1 ,c2 , ck 成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对 (t , k ) ;若不存在,
(2)设数列 {cn } 的通项公式为 cn ? 请说明理由.

法 2:化成:

6m ? 1 3n ? 4 ? 形式,根据左右范围枚举 n m2
3

9. 设 f ( x) ? x , 等 差 数 列 ?an ? 中 a3 ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 , 记 S n = f

?

3

an ?1 , 令

?

1 bn ? an S n ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn . bn
(1)求 ?an ? 的通项公式和 S n ; (2)求证: Tn ?

1 ; 3

(3)是否存在正整数 m, n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的 值,若不存在,说明理由.

6

:10.设数列 ?an ?? n ? 1,2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之 和仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列” ,并说明理由? (2)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若公差 d ? 1, a1 ? 0 ,试问:是否存在这样的“封闭数 列” ,使 lim ? 由;

?1 1 1 ? 11 ? ? ? ? ? ? ;若存 在,求 ?an ? 的通项公式,若不存在,说明理 n ?? S Sn ? 9 ? 1 S2

&网]

题型五:分层推广型

11.已知各项为正数的等比数列 ?an ?( n ? N * )的公比为 q ( q ? 1 ) ,有如下真命题:若

n1 ? n2 ? p ,则 (an1 ? an2 ) 2 ? a p (其中 n1、n2、p 为正整数) . 2

1

n ? n2 1 ? p ? ,试探究 (an1 ? an2 ) 2 与 a p 、 q 之间有何等量关系,并给予证明; (1)若 1 2 2
(2)对(1)中探究得出的结论进行推广,写出一个真命题,并给予证明

1

7

题型六:数列新定义题
12.定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p) ? 0 成立, 那么我们称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列” .
n (1)设 an ? 2n ? 1,bn ? (? ) ,n ? N ? ,判断 {an } 、{bn } 是否为 p ? 摆动数列” “ ,

1 2

并 说 明理由; (2)设数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p ,求证:对任意正整数 m, n ? N * ,总有 ,

c2n ? c2m ?1 成立;

13.设 m ? 3 ,对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,令 bk 为 a1 , a2 ,?, ak (k ? m) 中最大值,称 数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列” .例如数列 3,5,4,7 的创新数列为 3,5,5,7.考查 自然数 1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 ?cn ? . (1)若 m ? 4 ,写出创新数列为 3,4,4,4 的所有数列 ?cn ? ; (2)是否存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不 存在,请说明理由. (3)是否存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列

?cn ?的个数;若不存在,请说明理由.

8

14.已知数列 {bn } ,若存在正整数 T ,对一切 n? N* 都有 bn?T ? bn ,则称数列 {bn } 为周期数 列, T 是它的一个周期.例如: 数列 a , a , a , a ,? ① 可看作周期为 1 的数列; 数列 a , b , a , b ,? ② 可看作周期为 2 的数列; 数列 a , b , c , a , b , c ,? ③ 可看作周期为 3 的数列?

?a n为正奇数, (1)对于数列②,它的一个通项公式可以是 an ? ? 试再写出该数列的一个通 ?b n为正偶数. 项公式;
(2)求数列③的前 n 项和 Sn ;

16【2012 文】对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ?( k ? 1, 2,..., m ) , 即 bk 为 a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控 制数列是 1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? ; (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2,..., m ) ,求证: ; bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )

9

17.【2012 理】对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , , ? 定 义 向 量 集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } , 若 对 任 意 a1 ? Y , 存 在 a2 ? Y , 使 得

a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P . (1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ;
题型七:数归法与放缩法 江苏 13.设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公 差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________.

18. 已 知 集 合 A ? { a1 , a2 , ? , an } 中 的 元 素 都 是 正 整 数 , 且 a1 ? a2 ? ? ? an , 对 任 意 的

x , y ? A ,且 x ? y ,都有 | x ? y | ?
(1)求证:

1 1 n ?1 ? ? ; a1 an 36

xy 。 36

(提示:可先求证 (2)求证: n ? 11 ;

1 1 1 ? ? (i ? 1, 2 , ? , n ? 1) ,然后再完成所要证的结论。 ) ai ai ?1 36

10


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