高考数学(人教a版,理科)题库:同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)

第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、选择题 ? 20π ? ?=( 1. cos?- ) 3 ? ? 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 2π ? π? 2π π ? 20π ? ? ? ? = cos ?6π + ? = cos 解析 cos ?- = cos ?π - ? =- cos =- 3 ? 3 ? 3? 3 3 ? ? ? 1 ,故选 C. 2 答案 C 2.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= 4 A.-3 5 B.4 3 C.-4 4 D.5 ( ).

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 解析 由于 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= sin2θ+cos2θ = tan2θ+tan θ-2 22+2-2 4 = 2 =5. tan2θ+1 2 +1

答案 D sin α+cos α 1 3.若 = ,则 tan 2α= sin α-cos α 2 3 A.-4 解析 由 3 B.4 4 C.-3 4 D.3 ( ).

sin α+cos α 1 tan α+1 1 =2,得 = ,所以 tan α=-3,所以 tan 2α= sin α-cos α tan α-1 2

2tan α 3 = . 1-tan2α 4 答案 B 4.已知 f(cos x)=cos 3x,则 f(sin 30°)的值为( A.0 解析 B.1 ∵f(cos x)=cos 3x, C.-1 ). D. 3 2

∴f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos 180°=-1.

答案

C ).

5.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( A.1+ 5 C.1± 5 解析 B.1- 5 D.-1- 5

由题意知:sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 2 4

m

m

又(sin θ +cos θ )2=1+2sin θ cos θ , ∴ =1+ , 4 2 解得:m=1± 5,又 Δ =4m2-16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 答案 B

m2

m

π 2π nπ 6.若 Sn=sin 7+sin 7 +…+sin 7 (n∈N*),则在 S1,S2,…,S100 中,正数的 个数是 A.16 B.72 C.86 D.100 ( ).

π 8π 2π 9π 6π 13π 7π 解析 由 sin 7=-sin 7 ,sin 7 =-sin 7 ,…,sin 7 =-sin 7 ,sin 7 =sin 14π 7 =0,所以 S13=S14=0.

同理 S27=S28=S41=S42=S55=S56=S69=S70=S83=S84=S97=S98=0, 共 14 个, 所以在 S1,S2,…,S100 中,其余各项均大于 0,个数是 100-14=86(个).故 选 C. 答案 C 二、填空题 7.已知 cosα =- 5 ,且 α 是第二象限的角,则 tan(2π -α )=________. 13 12 sinα 解析 由 α 是第二象限的角,得 sinα = 1-cos2α = ,tanα = = 13 cosα 12 12 - ,则 tan(2π -α )=-tanα = . 5 5 12 答案 5

8 .已知 α

为第二象限角,则 cos α

1+tan α + sin α

2

1+

1 = tan2α

________. 解析 原式=cos α 1+ sin2α +sin α cos2α 1+ cos2α sin2α

=cos α 0. 答案 0

1 +sin α cos2α

1 1 1 =cos α +sin α = 2 sin α -cos α sin α

π? 1 cos 2α ? 9.已知 sin α=2+cos α,且 α∈?0,2?,则 π?的值为________. ? ? ? sin?α-4? ? ? 1 解析 依题意得 sin α-cos α=2, 又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2, 即(sin π? 7 ?1? ? α+cos α)2+?2?2=2,故(sin α+cos α)2=4;又 α∈?0,2?,因此有 sin α+cos α ? ? ? ? cos2α-sin2α 7 cos 2α 14 = 2 ,所以 = =- 2(sin α+cos α)=- 2 . π ? ? 2 sin?α-4? ? ? 2 ?sin α-cos α? 14 答案 - 2 10. f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β 均为非零实数),若 f(2 012) =6,则 f(2 013)=________. 解析 f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)+4=asin α+bcos β+4= 6,∴asin α+bcos β=2,∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4= -asin α-bcos β+4=2. 答案 2 三、解答题 11.已知 1+tan π +α 1+tan 2π -α =3+2 2,

?3π ? ?π ? +α ??cos ? +α ?+2sin2(α -π )的值. 求 cos2(π -α )+sin ? ? 2 ? ?2 ? 解析 由已知得 1+tan α =3+2 2, 1-tan α

∴tan α =

2+2 2 1+ 2 2 = = . 4+2 2 2+ 2 2 ?π ? ? +α ?+2sin2(α -π ) 2 ? ?

?3π ? +α ?cos ∴cos2(π -α )+sin ? 2 ? ?

=cos2α +(-cos α )(-sin α )+2sin2α =cos2α +sin α cos α +2sin2α = = cos2α +sin α cos α +2sin2α sin2α +cos2α 1+tan α +2tan2α 2 1+tan α 1+ = 2 +1 2 4+ 2 = . 1 3 1+ 2

?3π ? 12.已知 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,求下列各式的值: ? ? (1) sin α-4cos α ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α ?3π ? 由 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,得 tan α=2. ? ? tan α-4 2-4 1 = =-6. 5tan α+2 5?2+2 sin2α+2sin αcos α sin2α+cos2α

解 法一 (1)原式=

(2)原式=sin2α+2sin αcos α= = tan2α+2tan α 8 =5. tan2α+1

法二 由已知得 sin α=2cos α. (1)原式= 2cos α-4cos α 1 =-6. 5?2cos α+2cos α

sin2α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 (2)原式= = =5. 1 sin2α+cos2α sin2α+4sin2α ? π π? ?π ? 13. 是否存在 α∈?-2,2?, β∈(0, π), 使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(- ? ? ? ? α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理

由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β. 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 π ? π π? ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 .∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件. π? ? 14.已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π? ? ?α? (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ? 解 π π π kπ (1)由 2x+ 4 ≠ 2 +kπ ,k∈Z,得 x≠ 8 + 2 , k∈ Z. 所以 f(x)的定义域为 ① ②

? ? π kπ π ?x∈R|x≠ + ,k∈Z?,f(x)的最小正周期为 . 8 2 2 ? ?

π? ?α? ? (2)由 f?2?=2cos 2α,得 tan?α+4?=2cos 2α, ? ? ? ? π? ? sin?α+4? ? ? 2 2 π?=2(cos α-sin α), ? cos?α+4? ? ? sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α π? ? 因为 α∈?0,4?,所以 sin α+cos α≠0. ? ?

1 1 因此(cos α-sin α)2=2,即 sin 2α=2. π? π? π π ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?.所以 2α=6,即 α=12. ? ? ? ?


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