kxx66:2017_2018学年高中数学第二章参数方程4平摆线和渐开线学案北师大版选修4_420180224222

§4 平摆线和渐开线 [对应学生用书 P35] [自主学习] 1.平摆线 (1)平摆线的概念: 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时, 我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平 摆线(或旋轮线). (2)摆线的参数方程: ①定点 M 在滚动过程中满足的几何条件: 在平面直角坐标系中,设圆的半径为 r,圆在 x 轴上滚动,开始时点 M 在原点 O(如图). 设圆转动的角度为 α 时,圆和 x 轴的切点是 S,圆心是 N,M 的坐标为(x,y),取角度 α 为参数. 连接 NM,NS,过 M 作 x 轴的垂线 MP,垂足为点 P,过 M 作 NS 的垂线 MQ,垂足 为 Q. 因为∠MNQ=α ,所以 OS= S M =rα .这就是圆周上的定点 M 在圆 N 沿直线滚动过程中 满足的几何条件. ②摆线的参数方程: 如图(1),由①分析可得:x=OP=OS-PS= S M -MQ=rα -rsin α =r(α -sin α ), y=PM=SQ=SN-QN=r-rcos α =r(1-cos α ). 图(1) 所以摆线的参数方程是? 2.渐开线 (1)渐开线的相关概念: 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上, 将铅笔系在绳的外端, 把绳拉紧逐 渐地展开, 要求绳的拉直部分和圆保持相切, 此时, 我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线, ?x=r ? ? ?y=r α -sin α -cos α , (-∞<α <+∞). 1 相应的定圆叫作渐开线的基圆. (2)渐开线的参数方程: ①动点(笔尖)所满足的几何条件: 如图(2), 我们把圆盘抽象成一个圆, 把铅笔尖抽象成一个动点 M, 它的初始位置记作 A, 绳子离开圆盘的位置记作 B,随着绳子逐渐展开,动点 B 从点 A 出发在圆周上运动,动点 M 满足以下条件: (Ⅰ)MB 与圆相切于 B; (Ⅱ)MB 的长度与 B 在圆周上走过的弧长相等,即 MB= A B . 图(2) ②渐开线的参数方程: 图(3) 如图(3),以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系.设圆的半径为 r,则动点 M 的初始位置 A 的坐标为(r,0),设动点 M 的坐标为(x,y),φ 是以 OA 为始边、 OB 为终边的正角,令 φ 为参数,此时 A B 的弧长为 rφ . 作 ME⊥Ox,BC⊥Ox,垂足分别为 E,C; 作 MD⊥ BC,垂足为 D,则∠ MBD =∠ AOB=φ ,由此可得圆的渐开线的参数方程是: ?x=r ? ? ? ?y=r φ +φ sin φ φ -φ cos φ , (其中 φ 是参数). [合作探究] 1.在摆线的参数方程中 α 的取值范围是什么? 提示:α 的取值范围为(-∞,+∞) 2.在图(1)中点 O,E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少? 提示: 这一个拱的宽度等于滚动圆的周长 2π r, 拱高等于圆的直径 2r.其中 r 为滚动圆 的半径. [对应学生用书 P35] 求圆的平摆线、渐开线的参数方程 [例 1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该平摆线的参 2 数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程. [思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解, 解答此题, 根据圆的平摆 线的参数方程? ?x=r ? ? ? ?y=r ? ?x=r ?y=r ? α -sin α -cos α , , (α 为参数)和渐开线的参数方程 φ +φ sin φ φ -φ cos φ (φ 为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达 式,根据表达式求出 r 的最大值,再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可. [精解详析] 令 y=0,可得 r(1-cos α )=0,由于 r>0,即得 cos α =1,所以 α = 2kπ (k∈Z). 代入 x=r(φ -sin φ ), 而 φ =α 得 x=r(2kπ -sin2kπ ). 又因为 x=2, 所以 r(2kπ -sin2kπ )=2,即得 r= 1 kπ (k∈Z). 1 1 (k∈N+)易知,当 k=1 时,r 取最大值为 . kπ π 又由实际可知 r>0,所以 r= 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 1 x= ? ? π ? 1 ? ?y=π α -sin α -cos α , (α 为参数). 1 x= ? ? π 圆的渐开线的参数方程为? 1 y= ? ? π (φ 为参数). φ +φ sin φ φ -φ cos φ , 根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程, 关键记住推导圆的平摆线、 渐开线的 参数方程的过程及得到的方程,确定出待定系数即可. 1.基圆直径为 10,求其渐开线的参数方程. 解:取 φ 为参数,φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角. 3 ∵直径为 10,∴半径 r=5. 代入圆的渐开线的参数方程得: ? ?x= ? ?y= ? φ +φ sin φ φ -φ cos φ , (φ 为参数). 这就是所求的圆的渐开线的参数方程. 圆的平摆线、渐开线参数方程的应用 [例 2] 设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动 点为 M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线,求 此曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴. [思路点拨] ?x=r ? ? ?y=r ? 本题考查圆的平摆线参数方程的应用,解答此题需要根据 , (α 为参数),确定出 r,α 的值,再求 y 的最值及对称轴即可. α -sin α -cos α [精解详析] 轨迹曲线的参数方程为 ? ?x= ? ?y= ? α -sin α -cos α , (0≤α ≤2π ), 即 α =π 时,即 x=8π 时,y 有最大值 16. 第一

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