黑龙江省大庆铁人中学2011-2012学年高一下学期期末考试 数学理

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大庆铁人中学 2012 年上学期期末高一(理科)
数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.已知-1,a,b,-4 成等差数列,-1,c,d, e,-4 成等比数列,则b-d a=(

)

1 A.4

B.-12

1 C.2

D.12或-12

2.如图所示,棱长皆相等的四面体 S-ABC 中,D 为 SC 的中点,则 BD 与 SA 所成角的余弦

值是( )

3 A. 3

2 B. 3

3 C. 6

2 D. 6

3.已知 x<54,则函数 y=4x-2+4x-1 5的最大值是(

)

A.2

B.3

C.1

1 D.2

4.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的

侧视图可能是( )

5.若 a,b∈(0,+∞),且 a,b 的等差中项为12,α=a+1b,β=b+1a,则 α+β 的最小值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

6.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=-12,则

l 与 α 所成的角为( )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前 7 项和等于( )

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A.7

B.8

C.27

D.28

8.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方

体的一条棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到平面图形,则标“△”的面的方位是( )

A.南

B.北

C.西

D.下

9.在△ABC 中,bcos A=acos B,则三角形为( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

10.直线 l 过点(-1,2),且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( )

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

11.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( )

A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α

C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α

D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β

12.直线经过 A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( )

A.[0,π)

B.??0,π4??∪??2π,π??

C.??0,π4??

D.??π4,π2??∪??π2,π??

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列{an}的公比为________.
14.已知 x>1,y>1,且 lg x+lg y=4,则 lg x·lg y 的最大值是________.

15.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应三边长分别为 a,b,c.若 C=3B,bc的取值范围________.

16. 如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这

个正四面体中,

①GH 与 EF 平行;②BD 与 MN 为异面直线;③GH 与 MN 成 60°角;④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 三、解答题: 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10 分)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acos A=ccos B+bcos C. (1)求 cos A 的值; (2)若 a=1,cos B+cos C=2 3 3,求边 c 的值. 18.(12 分)已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 A(1,3)到直线 l 的距离为 2,求直线
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l 的方程. 19.(12 分)已知等差数列{an}满足:a4=6,a6=10.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}的各项均为正数,Tn 为其前 n 项和,若 b3=a3,T2=3,求 Tn.
20.(12 分)解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
21.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 22.(12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H ⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.
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大庆铁人中学 2012 年上学期期末高一

数学试题答案

1.已知-1,a,b,-4 成等差数列,-1,c,d, e,-4 成等比数列,则b-d a=(

)

1 A.4

B.-12

1 C.2

D.12或-12

解析 C

2.如图所示,棱长皆相等的四面体 S-ABC 中,D 为 SC 的中点,则 BD 与 SA 所成角的

余弦值是( )

3 A. 3
解析 C

2 B. 3

3 C. 6

2 D. 6

3.已知 x<54,则函数 y=4x-2+4x-1 5的最大值是(

)

A.2

B.3

C.1

1 D.2

解析 C

4.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱

锥的侧视图可能是( )

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解析 B

5.若 a,b∈(0,+∞),且 a,b 的等差中项为12,α=a+1b,β=b+1a,则 α+β 的最小

值为( )

A.3 解析 C

B.4

C.5

D.6

6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是 4π,则其侧

棱长为 ( )

23 A. 3
解析 A

3 B. 3

22 C. 3

2 D. 3

6.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=-12,

则 l 与 α 所成的角为( )

A.30°

B. 60°

C.120°

D.150°

解析 A

7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前 7 项和等于( )

A.7

B.8

C.27

D.28

解析 A 8.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该 正方体的一条棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到平面图形,则标“△”的面的方位是

()

A.南

B.北

C.西

解析 B

9.在△ABC 中,bcos A=acos B,则三角形为( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形

D.下 D.等边三角形

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解析 C

10.直线 l 过点(-1,2),且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( )

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

解析 A

11.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( )

A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α

C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α

D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β

解析 C

12.直线经过 A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( )

A.[0,π)

B.??0,π4??∪??2π,π??

C.??0,π4??

D.??π4,π2??∪??π2,π??

解析 B

13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列{an}的公比为

________.【答案】

1 3

14.已知 x>1,y>1,且 lg x+lg y=4,则 lg x·lg y 的最大值是________.【答案】 4

15.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应三边长分别为 a,b,c.若 C=3B, bc的取值范

围________.(1,3)

16. 如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,

在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行;②BD 与 MN 为异面直线;③GH 与 MN 成 60°角;④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.【答案】 ②③④ 17.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acos A=ccos B+bcos C. (1)求 cos A 的值; (2)若 a=1,cos B+cos C=2 3 3,求边 c 的值.
解析 (1)由 3acos A=ccos B+bcos C 和正弦定理得 3sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C),即 3sin Acos A=sin A,所以 cos A=13.(5 分)
(2)由 cos B+cos C=23 3,得 cos(π-A-C)+cos C=2 3 3,展开易得 cos C+ 2sin C= 3
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?sin

C=

36,由正弦定理:sina A=sinc C?c=

3 2.

(10 分)

18.已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 A(1,3)到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程.

解析 当直线过原点时,设直线方程为 y=kx,则由点 A(1,3)到直线 l 的距离为 2,

|k-3| = 1+k2

2,解得 k=-7 或 k=1.∴直线 l 的方程为 y=-7x 或 y=x. (6 分)

当直线不过原点时,设直线方程为ax+ay=1,则由点 A(1,3)到直线 l 的距离为 2,得

??1a+3a-1??= 2,解得 a=2 或 a=6.∴直线 l 的方程为 x+y-2=0 或 x+y-6=0.
a12+a12

综上所述,直线 l 的方程为 y=-7x,y=x,x+y-2=0,x+y-6=0. (12 分)

19.已知等差数列{an}满足:a4=6,a6=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}的各项均为正数,Tn 为其前 n 项和,若 b3=a3,T2=3,求 Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

∵a4=6,a6=10,∴?????aa11+ +35dd= =61, 0,

解得???a1=0, ??d=2,

∴数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d=2n-2. (6 分) (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q(q>0).∵an=2n-2,∴a3=4,即

??b1q2=4,
?

解得??? q=2,

??b1?1+q?=3,

??b1=1

或???q=-32, ??b1=9

(舍去),

∴Tn=b1?11--qqn?=11--22n=2n-1. (12 分)

20.解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).

解析 原不等式化为 ax2+(a-2)x-2≥0?(x+1)(ax-2)≥0.

①若-2<a<0,2a<-1,则2a≤x≤-1; ②若 a=-2,则 x=-1;

③若 a<-2,则-1≤x≤2a. 综上所述,当-2<a<0 时,

不等式的解集为???x??2a

≤x≤-1??;
?

当 a=-2 时,不等式的解集为{x|x=-1};

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当 a<-2 时,不等式的解集为???x??-1≤x≤a2

?
?.

(12

分)

?

21.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥

DC,∠BCD=90°.

(1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
解析 (1)∵PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC.由∠BCD=90°,得 BC ⊥DC.又 PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PCD.∵PC?平面 PCD,∴PC⊥BC. (5 分)
(2)如图,连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. ∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°. 从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V=13S△ABC·PD=13. ∵PD⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD,∴PD⊥DC.又 PD=DC=1,∴PC= PD2+DC2 = 2.由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC= 22.由 V =13S△PBC·h=13× 22h=13,得 h = 2.因此点 A 到平面 PBC 的距离为 2. (12 分) 22.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥ 平面 AA1B1B,且 C1H= 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.
解析 如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题意得 A(2 2,0,0), B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),
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C1( 2, 2, 5).

(1)易得A→C=(-

2,-

2, 5),A→1B1=(-2

2,0,0),于是

cos〈A→C,A→1B1〉=

→→ AC·A1B1 →→

|AC|·|A1B1|

=3×42

= 2

32.所以异面直线

AC



A1B1 所成角的余弦值为

32.(理科

4

分;文科普通法

6

分)

(2)易知A→A1=(0,2 2,0),A→1C1=(- 2,- 2, 5).

设平面 AA1C1 的法向量为 m=(x,y,z),则?????mm··AA→→A1C1=1=00,,

即??- 2x- 2y+ 5z=0, ?2 2y=0.

不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2).同样地,设平面 A1B1C1 的法向量为 n=(x1,y1,

z1),则有?????nn··AA→→11CB11==00,,

即??- 2x1- 2y1+ ?-2 2x1=0.

5z1=0,

不妨令 y1=

5,可得 n=(0,

5,

2).于是 cos〈m,n〉=|mm|··n|n|=

2 7×

7=27,从而

sin〈m,n〉=3

7

5 .

所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为3 7 5.(理科 8 分;文科普通法 12 分)

(3) 由

N

为棱

B1C1

的中点,得

N

? ?

22,3 2 2,

5? 2?





M(a



b,0)





→ MN



? ?

22-a,3 2 2-b,

25??,由

MN⊥平面

A1B1C1,得?????MM→ →NN··AA→→11CB11==00,.

?? ?
?

22-a??·?-2

2?=0,

?a= 22,

?

解得?



???
?

22-a??·?-

2?+??32 2-b??·?-

2?+ 25×

5=0.

?b=

2 4.

M?? 22, 42,0??.因此B→M=?? 22, 42,0??,所以线段 BM 的长|B→M|= 410.(理科 12 分)

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