高中数学 化归思想教案

转化与化归思想方法的运用
在高中数学的学习中,我们常常会遇到这样一类问题,直接解决较为困难,但若把问题加 以转化, 就能使问题的解答过程变得较为简单。 这类问题的解决方法就是转化与化归的思想 方法。 转化与化归不只是一种重要的解题方法, 更是一种基本的思维策略。 数学中的转化与化归 思想方法,指在研究和解决有关数学问题时,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或比 较容易解决的问题, 最终求得问题的解答的一种手段和方法。 转化与化归的思想方法的特点 是实现问题的规范化,模式化,以便应用已知的理论,方法和技巧达到问题的解决。在转化 思维过程中,我们对原来问题中的条件进行了简化,分化,转化,特殊化的变形,最后将原 问题归结为简单的,熟悉的问题而得到解决。因此,我们转化的方向应该是由未知到已知, 由难到易,由繁到简,把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题,通过不断的转 化,把复杂、不规范、不熟悉的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。实现这种 转化的方法是多种多样的,例如我们熟悉的配方法,待定系数法,整体代入法等等。 而就不同的功能,转化与化归方法的运用于又可以分为几种不同的类型 一.由特殊到一般 一般成立则特殊也成立,由特殊可以得到一般的普遍规律,这是一种基本的化归思想的 体现,在平时解题过程中经常运用,普遍涉及。一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简 单。特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批的 处理问题的效果。 例 1:若 OA ? (cos?1 , sin ?1 ), OB ? (cos ? 2 , sin

? 2 ) ,满足 OA ? OB ? 0 ,?OAB 的面积

S ?OAB 等于多少?
解: 可取 ?1 , ? 2 的某些特殊值代人求解。 由条件 OA ? OB ? 0 可得 cos(?1 ? ? 2 ) ? 0 。 利用特殊值,如设 ? 1 ?

?
2

, ? 2 ? 0 代 入,则 A(0,2), B(1,0) ,故面积为 1。

例 2:已知函数 f ( x) ?

1 2 99 ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ,求 f ( ( a ? 0 且 a ? 1 ) 100 100 100 ax ? a

ax

的值. 解:直接代入计算较为复杂,可寻求 f(x)与 f(1-x)的关系 .: f ( x) ? f (1 ? x) ?

ax a ? a
x

?

a 1? x a
1? x

? a
=

=

ax a ? a
x

?

a a ? ax a

=

ax ax ? a

?

a a ? ax

a ? ax ax ? a

?1

于是 f (

1 2 99 )? f( ) ??? f ( ) 100 100 100

=?f (

? ?

1 99 ? ? 2 98 ? 51 ? 50 ? 49 )? f( )? ? ? f ( )? f( )? ? ? ? f ( )? f( )? ? f ( ) 100 100 ? ? 100 100 ? 100 ? 100 ? 100

= 1 ? 49 ?

1` 99 ? 2 2

二.由数到形的转化 在许多数学问题中,许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义,往往变得直观形象, 有利于解题途径的探求;另一方面,一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究,又可以 获得简捷而一般的解法。 这就是数形结合的相互转化。 虽然在做大题目时要求我们给出具体 的运算过程, 不能直接由图给出答案, 但是数与形转化思想的培养对于我们思维能力的提升 有重要意义,而且在做选择题,填空题时,也可以帮助我们快捷准确地得出答案。 例 3:在直角坐标系平面内,与点 A(1,2) 距离为 2,且与点 B(4,6) 距离为 3 的直的线共有几 条? 解:与点 A 距离为 2 的点的集合为圆 ?x ?1? ? ( y ? 2)2 ? 4 ,与点 B 距离为
2

3 的点的集合为圆 ( x ? 4) ? ( y ? 6) ? 9 ,则题目所求转化为求二圆的公切线。
2 2

由于二圆相切,由图可得共有 3 条。 例 4: 数。 解:本题直接求解较为困难,但是将方程转化为 lg t ? ?lg t ? ? 2 ,设 x ? t 画
2

?t ? 表示不超过 t 的最大整数,求方程

lg 2 t ? [lg t ] ? 2 ? 0 的实根个

出图象,如右图,直接得到共有 A, B, C 三个交点。 例 5:如图, AB 是平面 ? 的斜线段, A 为斜足,若点 P 在平面 ? 内 运动,使得 ?ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是什么? 解:可以看作有一个圆柱体,以 AB 为轴,而点 P 就在该圆柱的侧面 上,而圆柱的侧面与平面的交线即为轨迹。所以根据图,可以得到该轨迹 为椭圆。 例 6; 已知向量 OB ? (2,0),OC ? (2,2), AC ? ( 2 cosa, 2 sin a) 求向量 OA, OB 的夹角范围。 解:画出图象,如右图,点在圆 C 上移动,夹角最大时 OA 与圆相切,最小时 OA, AC 在同

一直线上时,根据各角度条件,得出范围为 ?

π? ?π 5 ? ?12, 12 ?

三.由常量到变量 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数) ,将 其看做是“主元” ,而把其它变元看做是常量,从而达到减少变元简化运算 的目的。在处理这类问题时应该注意将所求向已知转化,由常量到变量转 化,易于得出答案。

例 7:设 AD 是半径为 5 的半圆 O 的直径(如图) , B, C 是半圆上的两点,已 知 AB ? BC ? 10 ,求 DC ? DB 的值。 解 :
2

DC ? DB ? (OC ? OD )( OB ? OD ) ? OC ? OA ? OA ? OB ? OB ? OC ? OA ? 7 ? 20 ? 20 ? 25 ? 72
例 8 : 已 知 曲 线 系 Ck 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ,试证明:坐标平面内任一点 9?k 4?k

( a, b)(a, b ? 0) ,在 C k 中总存在一椭圆和一双曲线过该点. 解:若从曲线的角度去考虑,即以 x,y 为主元,思维受阻.若从 k 来考虑,不难看出,当

k ? 4或4 ? k ? 9时,C k 表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间 (??,4)
和 (4,9) 内分别存在 k 值 , 使曲线 C k 过点 (a,b). 设点 ( a, b)(a, b ? 0) ) 在曲线 C k 上 , 则

x2 y2 ? ? 1 整理得 9?k 4?k

k 2 ? (a 2 ? b 2 ? 13)k ? (36 ? 4a 2 ? 9b 2 ) ? 0



令f (k ) ? k 2 ? (a 2 ? b 2 ? 13)k ? (36 ? 4a 2 ? 9b 2 ), ? f (4) ? ?5b 2 ? 0, f (9) ? 5a 2 ? 0.
可知 f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在 (??,4) 和(4,9)内分别有一根,即对 平面内任一点(a,b),在曲线系 C k 中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。 例 9:对于任意 a ? ?? 1,1?, 函数 g ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值大于零,求 x 的取值
2

范围。 解: f ( x) ? g (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4) ,只要 g (?1) ? 2 ? x ? x ? 4 x ? 4 ? 0
2 2

g (1) ? x ? 2 ? x 2 ? 4x ? 4 ? 0 ,解得 x 的取值范围为 ?? ?,1? ? ?3,??? 。
四.由陌生到熟悉 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程,注意类比以前解决过的问 题,找出其共性和差异性,应用解题中,通常表现为构造熟悉的事例模型,在待解决问题和 已解决问题之间进行转化。 把看似陌生而复杂的题型转化为我们熟悉的模式, 运用我们熟练 运用的方法解答实际问题。 例 10 :
2







0 ? x ? 1,0 ? y ? 1
?2 2





x 2 ? y 2 ? x 2 ? ?1 ? y ? ?

?1 ? x ?2 ? y 2 ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? y ?2

证明:可视 ? x, y ? 为在以 ? 0,0? , ? 0,1? , ?1,0? , ?1,1? 为四顶点的正方形中到四顶点的距离 之和,由两点之间线段最短得:当其位于正方形中心时所求的式子构成正方形的两条对 角线长之和,长为 2 2 ,∴原式 ? 2 2 得证 例 11:对任意函数 f ( x), x ? D 可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下: ① 输入数据 x0 ? D ,经数列发生器输出 x1 ? f ( x 0 ) ; ② 若 x1 ? D ,则数列发生器结束工作;若 x1 ? D 则将 x1 反馈回输入端,再输出

x2 ? f ( x1 ) ,并依此规律继续下去,现定义 f ( x ) ?
⑴若输入 x 0 ?

4x ? 2 。 x ?1
f

49 ,则由数列发生器产生数列 ?xn ? ,请写出 ?xn ? 的所有项; 65

⑵若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据 x0 的值; ⑶若输入 x0 时,产生的无穷数列 ?xn ? ,满足对任意正整数 n 均有 xn ? xn?1 , 求 x0 的取值范围。 解:解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。 (1)? f ( x ) 的定义域 D ? (??,?1) ? (?1,??) ,

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xi ? D
N 结束

Y

? 数列 ?xn ? 只有三项, x1 ?
(2)? f ( x ) ?

1 11 , x 2 ? , x3 ? ?1 5 19

4x ? 2 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , x ?1

? x ? 1或x ? 2,即x 0 ? 1或2时,xn?1 ?

4 xn ? 2 ? xn xn ? 1

故当 x0 ? 1时,xn ? 1, 当 x0 ? 2 时, xn ? 2(n ? N ? ) (3)解不等式 x ?

4x ? 2 ,得 x ? ?1 或 1 ? x ? 2 ,要使 x1 ? x 2 ,则 x1 ? ?1 或 x ?1

1 ? x1 ? 2
对于函数 f ( x) ?

4x ? 2 6 ? 4? , 若 x1 ? ?1 则 x2 ? f ( x1 ) ? 4, x3 ? f ( x2 ) ? x2 ; x ?1 x ?1

若 1 ? x1 ? 2 则 x2 ? f ( x1 ) ? x1 且 1 ? x2 ? 2 依此类推可得数列 ?xn ? 的所有项均满足 xn?1 ? xn (n ? N )
?

综上所述, x1 ? (1,2) 由 x1 ? f ( x 0 ) ,得 x0 ? (1,2) 例 12:为了考察冰川的融化状况,已知科考队在某冰川 上相距 8km 的 A, B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线 为 y 轴,建立平面直角坐标系,在直线 x ? 2 的右侧,考察范围

为到点 B 的距离不超过

6 5 km 区域;在直线 x ? 2 的左侧,考 5

察范围为到 A, B 两点距离之和不超过 4 5 km 区域。 (1)求考察区域边界的方程。 (2)如图所示,设线段 P ,当融化时, 1P 2, P 2P 3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线) 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为 前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 解: (1)由题设条件联想到圆和椭圆的定义,故考察区域边界曲线的方程(如图)为

36 x2 y2 C1 : ( x ? 4) ? y ? ( x ? 2)和C2 : ? ? 1( x ? 2) 5 20 4
2 2

8、 设过点 P 1, P 2 的直线为 l1 , 过点 P 1, P 2 的直线为 l2 , 则直线 l1 , l 2 的方程分别为

y ? 3x ? 13, y ? 6 ,设直线 l 平行于直线 l1 , 其方程为 y ? 3x ? m 代入椭圆方程
x2 y2 ? ? 1 ,消去 y 得 16x2 ?10 3mx? 5(m2 ? 4) ? 0 。 20 4
2 2 由 ? ? 100? 3m ? 4 ?16? 5 m ? 4 ? 0 解得 m ? 8 或 m ? ?8

?

?

从图中可以看出,当 m ? 8 时,直线 l 与 C2 的公共点到直线 l1 的距离最近,此时直线 l 的方

程为 y ? 3x ? 8 , l 与 l1 之间的距离 d ?

14 ? 8 1? 3

? 3,

又直线 l 2 到 C1 和 C2 的最短距离 d1 ? 6 ?

6 5 ? 3 ,所以考察区域边界到冰川边界线的最短 5

距离为 3, 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 n 年,则由题设及等比数列求和公式,

0.2(2 n ? 1) ? 3 解得 n ? 4 , 得 2 ?1
故冰川边界线移动到考察区域的最短时间为 4 年 . 一、等价代换 在许多题目中在同等条件下或是相似条件下,可以由已知的或是已经得出的直接得到相 同或是相似的结论, 可以为我们节省比较多的时间。 其实转化与化归的方法分为等价转化与 非等价转化, 前者要求转化过程中前因后果是充分必要的, 才保证转化后的结果仍为原问题 的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理 方程要求验根)我们讨论的是等价转化的方法,而等价代换就是等价转化中的等价转化,考 察我们是否具备足够的类比和转化能力。 有的时候题目中等价代换的解法有一定的思维挑战 性,需要我们突破常规解法的局限性,将解题能力和技巧提升到一个新的高度。 例 13 : 已 知 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? 1 和 l2 : A2 x ? B2 y ? 1 相 交 于 点 P(2,3) , 求 过 点

P 2 ( A2 , B2 ) 的直线方程。 1( A 1, B 1) 与 P
解: 两直线都过点 P , 则满足 2 A1 ? 3B1 ? 1,2 A2 ? 3B2 ? 1 , 可以看成点 ? A1 , B1 ?, ? A2 , B2 ? 都在直线 2 x ? 3 y ? 1 上,故所求直线方程为 2 x ? 3 y ? 1 。 例 14 : 若 f ( x ? 2) 为 奇 函 数 , 且 满 足 f (6 ? x) ? f ( x) , f (3) ? 2 , 求

f (2 0 0 )? 8 f (2 0 0 ) 的值。 9
解:本题中的等价代换是常规解法,为我们提供了一种解这种函数问题的一般方法。 由于 f ( x ? 2) 是奇函数,得 f (? x ? 2) ? ? f ( x ? 2)

? f (?(2 ? x) ? 2) ? f ( x) ? ? f (2 ? x ? 2) ? ? f (4 ? x) f (4 ? x) ? f (6 ? (4 ? x)) ? f (2 ? x) ? ? f ( x) f (2 ? x) ? ? f (4 ? ( x ? 2)) ? ? f (2 ? x) ? ? f ( x) ? f ( 2 ? x ) ? f ( x ) ? f (6 ? x ) f ( x) ? f ( x ? 4)
故其为周期为 4 的周期函数。

? f (2008 ) ? f (2009 ) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? f (4) ? f (2) ? f (?20 ? 0 f (1) ? ? f (4 ? 1) ? ?2 ? f (2008 ) ? f (2009 ) ? ?2
著名的数学家 C.A.雅洁卡娅指出: “解题就是把要解题转化为已经解过的题。 ”因此数学 的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。我们在应用转化与化归的 思想方法时应当审清他它的三个基本要素转化的对象、 转化的目标和转化的方法即把什么转 化、 转化到何处和如何进行转化。 在解答数学问题时实施转化与化归过程中我们应当遵循熟 悉化、简单化、直观化、标准化、和谐化和正难则反的原则,即在遇到陌生,困难的问题时 联想到我们熟悉的模型,将较为繁琐,复杂的问题转化得较为简单,将抽象问题具体化以便 准确把握问题的求解过程,当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的发面,设法从问 题的反面去探求,使问题获得解决,或证明问题的可能性。 转化思想方法的运用灵活多样,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,可 以 在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译; 它可以在符号系统内部实施转换,即我们所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、 求值求范围问题等等,都体现了转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等 价转化。 转化在我们的数学学习中无处不在, 转化意识的培养有利于我们数学技能的不断提 升。

问题 1 函数与方程的转化 例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+2x-2a-1,其中 x=2sinθ (0<θ ≤ =0 恰有两个不相等的实根 x1 和 x2,求实数 a 的取值范围.? 【解析】 由题意可知二次方程 ax2+2x-2a-1=0 在区间[-1,2]上恰有两个不相等的实 根,由 y=f(x)的图象(如图 1 所示) ,得等价不等式组: Δ =4+4a(2a+1)>0,? -1< ?

7? ) .若二次方程 f(x) 6

2 <2,? 2a

af(-1)=a(-a-3)≥0,? af(2)=a(2a+3)≥0.? 解得实数 a 的取值范围为?[-3, ?

3 ] .? 2

图1

问题 2 例2

空间与平面的转化 如图 2 所示,图(a)为大小可变化的三棱锥 P-ABC.?

(1)将此三棱锥沿三条侧棱剪开,假定展开图刚好是一个直角梯形 P1P2P3A,如图(b)所 示.求证:侧棱 PB⊥AC;

图2 (2)由(1)的条件和结论,若三棱锥中 PA=AC,PB=2,求侧面 PAC 与底面 ABC 所 成角的余弦值;? (3)将此三棱锥沿三条侧棱剪开,假定其展开图刚好是一个三角形 P1P2P3,如图(c) 所示.已知 P1P3=P2P3,P1P2=2a,若三棱锥相对棱 PB 与 AC 间的距离为 d,求此三棱锥的 体积. 【解析】 (1)在平面图中 P1A⊥P1B,P2B⊥P2C.故三棱锥中,PB⊥PA,PB⊥PC, ∴PB⊥平面 PAC,∴PB⊥AC. (2)由(1)在三棱锥中作 PD⊥AC 于 D,连结 BD.由三垂线定理得 BD⊥AC, ∴∠PDB 是所求二面角的平面角,在展开图中,连 BP3 得 BP3⊥AC,作 AE⊥CP3 于 E, 得 AE=P1P2=4.

x 2 = x - 4 ,∴EP3=2. 3 8 2 故 CP3= 2 2 ,P2P3= 4 2 ,由 AC·DP3=CP3·AE ? DP3= ,又 BP3= BP2 2+P2P3=6,∴ 3 10 4 BD= .在△PDB 中,cos∠PDB= ,? 3 5 4 ∴侧面 PAC 与底面 ABC 所成的角的余弦值为 .? 5
设 PA=AC=x,则 P1A=AC=P3A=x,由 P2C=CP3,CE=EP3= (3)在平面图中,由剪法知,A、B、C 分别是三角形三边的中点.? 由此得:AB=BC,AC=a.在三棱锥中,取 AC 中点 D.连 PD、BD ? AC⊥PD,AC⊥BD, 1 故 AC⊥平面 PDB,且 D 到 PB 的距离为异面直线 PB 与 AC 之间的距离 d,?∴S△PDB= ad, 2 ∴V=

1 2 a d.? 6

问题 3 变量与常量的转化
2 例 3 对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立,试求 x 的取值 范围. 2 【解析】设函数 f ( p) ? ( x ? 1) p ? ( x ? 4x ? 3) ,显然 x ? 1 ,则 f ( p ) 是 p 的一次函数,

要 使 f ( p) ? 0 恒 成 立 , 当 且 仅 当 f (0) ? 0 , 且 f (4) ? 0 时 , 解 得 x 的 取 值 范 围 是

(??,?1) ? (3,??) .
问题4 数与形的转化 例5 求函数 f ( x) ? 【解析】

x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 12x ? 37 的最小值.

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 12x ? 37 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2 ?
( x ? 6) 2 ? (0 ? 1) 2 ,设 A?2,3?, B(6,1), P( x,0) ,则上述问
题转化为求 PA ? PB 的最小值,如图点 A 关于 x 轴的对称 点 为

y

A(2,3)
P

C (2,?3)

,





O

B(6,1) x

PA ? PB ? PC ? PB ? BC ? 4 2 ,
所以 f ( x) 的最小值为 4 2 . 问题 5 正与反的转化 例 5 给定实数 a , a ? 0 且 a ? 1 ,设函数 y ?

C (2,?3)
x ?1 1 (其中 x ?R 且 x ? ) ,证明:经过 ax ? 1 a

这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴. 【证明】设 M 1 ?x1 , y1 ? 、 M 2 ?x2 , y2 ? 是函数图象上任意两个不同的点,则 x1 ? x 2 .假设直

x1 ? 1 x ?1 , 整理得 a?x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 . ? 2 ax1 ? 1 ax2 ? 1 由 x1 ? x 2 ,得 a ? 1 ,这与已知条件“ a ? 1 ”矛盾,因此假设不成立,即直线 M 1 M 2 不平 行于 x 轴.
线 M 1 M 2 平行于 x 轴, 则必有 y1 ? y2 , 即 问题 6 抽象与具体的转化 例 6 设 f ( x) 定于在实数集 R 上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x, y 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,同时 f (1) ? 2 ,解不等式 f (3x ? x 2 ) ? 4 .
2 【解析】由 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中取 x ? y ? 0, 得 f (0) ? f (0) ,若 f (0) ? 0 ,则令

x ? 0, y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 与 x ? 0 时, f ( x) ? 1 矛盾.所以 f (0) ? 1 . 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? 1 ? 0 ,而 f ( x) ? f (? x) ? 1 所 1 ? 0 又因 f (0) ? 1 ,所以 x ? R, f ( x) ? 0 ,设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 以 f ( x) ? f ( ? x) 则 x2 ? x1 ? 0, f ( x2 ? x1 ) ? 1 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?x1 ? ( x2 ? x1 )? ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )? f ( x2 ? x1 ) ? 1? ? 0 所以 y ? f ( x) 在 R 上为单调增函
2 数.又因 f (1) ? 2 ,所以 f (3x ? x ) ? f (1) ? f (1) ? f (1 ? 1) ? f (2) .由 f ( x) 得单调性可得

3x ? x 2 ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 .
四、专题小结 1.掌握转化和化归的思想方法,在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题,依 据问题本身提供的信息,去寻求有利于解决问题的变换途径和方法,进行合理的选择.? 2.转化时要注意转化的方向性,使转化的目的明确,以致解题思路自然流畅,此外还 要注意转化前后的等价性.? 3.在训练中应重视数学化归思想,强化在解决数学问题中的应变能力,提高解决数学 问题的思维能力和技能. 五、临阵磨枪

1、 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax–y=0, 其中 a∈R, 当这两条直线所夹的锐角在(0, a 的取值范围是( A. (0,1) C )

? )内变动时, 2

3 ,1)∪(1, 3 ) D. (1, 3 ) 3 ??? ? ???? ??? ? 2、已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 OB =a1 OA +a 200 OC ,且 A、B、C 三点共
B. ( C. ( 线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( A.100 B. 101
2
4

3 , 3) 3

A ) C.200

D.201 A )

3、若关于 x 的不等式 (1 ? k ) x ≤ k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k ,总有( A.2∈M,0∈M; B.2 ? M,0 ? M; C.2∈M,0 ? M; D.2 ? M,0∈M.

4、 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则( C ) B. 0 ? a ? 2 C. ?

3 1 ?a? 2 2 5、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( B ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3
A. ? 1 ? a ? 1 D. ? 6、若 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? x ? y ? 3 ? 0 ,则点 M ( x, y ) 的轨迹是(
2 2

1 3 ?a? 2 2

C

)

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

7、 若关于 x 的方程 cos2x+4asinx+a-2=0 在区间 [0, ? ] 上有两个不同的解, 则实数 a 的取值范 围是 . a=

1 3 或 <a≤1 2 5

C A B

8、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面为直角三角形,?ACB=90?,AC=6,BC=CC1= 2 , P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是____. 5 2

P A1 B1
an } n ?1

C1

9、 对正整数 n, 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 { 的前 n 项和的公式是_____________.2n+1-2 10、直线 y=a 与函数 y=x3–3x 的图象有相异三个交点,求 a 的取值范围 解:f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1) 易确定 f(–1)=2 是极大值,f(1)=–2 是极小值 当–2<a<2 时有三个相异交点
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11、已知 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R 是参数) (1)当 t=–1 时,解不等式 f(x)≤g(x); (2)如果 x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数 t 的取值范围
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?x ? 1 ? 0 1 ? ? ?x ? 即? (1)原不等式等价于 ?2 x ? 1 ? 0 2 ? x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ?4 x 2 ? 5 x ? 0 ? ?

1 ? x? ? ? 2 即? ? x ? 0或x ? 5 ? 4 ?

∴x≥

5 5 ∴原不等式的解集为{x|x≥ } 4 4

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(2)x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立

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?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? ∴x∈[0,1]时 ?2 x ? t ? 0 恒成立 即 ?t ? ?2 x 恒成立 ?( x ? 1) ? (2 x ? t ) 2 ? ? ?t ? ?2 x ? x ? 1
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即 x∈[0,1]时,t≥–2x+ x ? 1 恒成立, 于是转化为求–2x+ 1 ? x ,x∈[0,1]的最大值问题? 令 μ= x ? 1 ,则 x=μ2–1,则 μ∈[1, 2 ]
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∴2x+ x ? 1 =–2(μ–
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1 2 17 )+ 4 8

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当 μ=1 即 x=0 时,–2x+ x ? 1 有最大值 1∴t 的取值范围是 t≥1

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12、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像上. (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的 20 a n a n ?1

最小正整数 m. 解: (1)依题意得,

Sn ? 3n ? 2, 即 Sn ? 3n2 ? 2n . n
2 2

当 n≥2 时,a an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ;

?

?

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 × 1 -2×1-1-6×1-5
2

所以 an ? 6n ? 5(n ? N? ) . (2)由(1)得 bn ?

3 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?



n 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? b ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?. ? ? = ?1 ? Tn ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? 2 ? 6 n ? 1 ? 1?1

因此,使得

1 m 1? 1 ? m ?1 ? ? ﹤ 20 ? n ? N ?? 成立的 m 必须满足 2 ≤ 20 ,即 m≥10,故满足要求 2 ? 6n ? 1 ?

的最小整数 m 为 10.


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