0506388.com:[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.4.1正弦、余弦函数的图象

1.4.1 正弦、余弦函数的图象 教学目的: 知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? 2 ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象; (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工作精 神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) P 与原点的距离 r( r ? x ? y ? x2 ? y2 ? 0 ) y 记作: sin ? ? r x 记作: cos ? ? r r 2 2 y 则比值 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r P (x, y) ? 3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线,垂 足为 M,则有 sin ? ? y x ? MP , cos ? ? ? OM r r 向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法): 为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函 数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不 相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自 变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0, ? 6 , ? ? , ,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列 3 2 表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的 终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0,2 π ]的图象. 根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次 移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的 终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. (2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图 象? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ? ? 2 ) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 y 1 ? 2 单位即得余弦函 数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲线” ) y=sinx o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x -6? -5? -4? -3? -2? -? y=cosx ? 2? 3? 4? 5? 6? x 正 弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( (2 ?,0) 余弦函数 y=cosx x ?[0,2 ?]的五个点关键是哪几个?(0,1) ( ? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) 2 2 ? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) 2 2 (2 ?,1) 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正 弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx ●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 ● 探究3. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究4. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=2cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 ●探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画 出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π /2 )= sin[( x - 3π /2 )

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