2019年人教版必修五高中数学1.1.2余弦定理优质课课件_图文

1.1.2 余弦定理 一、实际应用问题 隧道工程设计,经常需要测算山脚的长度,工程技术人员 先在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利 用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC的张角,最后通过计算 求出山脚的长度BC。 B C A 二、转化为数学问题 已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边。 例:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,∠BAC=A 求:a(即BC). C b A c a=? B 三、证明问题 b C a=? A 向量法: c B b A C a B c 四、余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。 b2 ? c2 ? a2 cos A ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 2 bc 2 2 2 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 或 a ?c ?b (推论) cos B ? 2 2 2 2 ac c ? a ? b ? 2ab cos C a2 ? b2 ? c2 cos C ? C 2 ab a=? b A c B 五、余弦定理基本应用 1.已知两边及它们的夹角,求第三边; 2.已知三边,求三个角。 例1:隧道工程设计,经常需要测算山脚的长度,工程技术人 员先在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再 利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC的张角,最后通过计 算求出山脚的长度BC。 转化:在 △ABC中, B 0 C AB ? 8km, AC ? 3km, A ? 60 , 求 a。 A B C ? A B ? A C ? 2 A B ? A C co s A 2 2 2 1 ? 8 ? 3 ? 2 ? 8 ? 3 ? cos 60 ? 64 ? 9 ? 48 ? 2 2 2 0 ? 49 ? B C ? 7 km 例2:在△ABC中,已知 a=2,b= 2 , c? 求A。 b ?c ?a cos A ? 解: 2 bc 2 2 2 3 ?1 ( 2 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2?4?2 3?4 2( 3 ? 1) ? ? 2 2 ? ( 3 ? 1) 2 2 ( 3 ? 1) 1 ? 2 2 ? 2 ∴A=45° 例3:在△ABC中,已知c ?a=2 3 ? 1 ,b= 解三角形。 2 解:由例2可知 A=45° 方法二: 方法一: , 思考 在解三角形的过程中,求某一个角有时 既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方法有 余弦定理 ? 什么利弊呢? ? ?正弦定理 在已知三边和一个角的情况下:求另一个角 ㈠用余弦定理推论,解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理,计算相对简单,但解不唯一,要进行 判断舍取。 练习1:在△ABC中,已知 解: a ? 3 3, c ? 2, B ? 150°求b b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (3 3 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 3 3 ? 2 c o s 1 5 0 ? ? 27 ? 4 ? 12 =31+18 =49 3 3 ? (? ) 2 ∴b=7 练习2: 在△ABC中, a ? 7, b ? 4 3, c ? 13 ,求△ABC的最小角。 cos C ? 2 2 2 a ? b 解: ?a c ?b ?c ?C为最小角 2ab 2 2 72 ? (4 13) ? ( 13) ? 2? 7? 4 3 3 ? 2 ?C ? 300 六、作业 1.在△ABC中,已知a=7,b= 5,c=3,求A。 2.在△ABC中,已知a B=45°,求b和A。 ? 2 3, c ? 6 ? 2, 2, 3.在△ABC中,已知 a ? 2 , b ? A=45°,求边长c,B,C。

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