云南省云大附中高三数学 考前60天辅导 第1篇 知识、方法2 函数与导数 理

云南省云大附中 2012 届高三考前 60 天理科数学辅导: 第 1 篇 知识、方法 2 函数与导数
二、函数与导数 1.你对幂的运算,对数运算的法则熟练掌握了吗? loga b 的值的大小会判断么?

a n ? n am , a

m

?m n

0 , , a ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , , ? 1 m n a

ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N 。
如: ( )

1 2

log

2

8

的值为________(答:

1 ) 64

如:.已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ?
2

? f (28 ) =



2 .二次函数问题①三种形式 : 一般式 f(x)=ax +bx+c( 轴 -b/2a,a ≠ 0, 顶点 ?); 顶点式 f(x)=a(x-h) +k;零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0 偶函数; ②三个二次问题熟悉了么?
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

? ?

3.反比例函数: y ? 4.函数 y ? x ?

c c (中心为(b,a)) ( x ? 0) 平移 ? y ? a ? x x?b

a 是奇函数, a ? 0时, 在区间 (? ?, 0), (0, ? ?)上为增函数 x

a ? 0时, 在(0,a ],[? a ,0)递减 在(??, ? a ],[ a ,??)递增

5.分段函数在近几年的高考中出现的频率比较高,你能正确理解分段函数的含义吗? 如:设函数 f ( x) ? ? A.

?1 ? x 2, x ≤1, ? 则 2 ? ? x ? x ? 2,x ? 1,
27 16
C.

? 1 ? f? ? 的值为( ? f (2) ?
D. 18



15 16

B. ?

8 9

6.函数的图象是每年高考的一个热点,你会知式选图,知图选式,图象变换,以及自觉 的运用图象解决一些方程,不等式的问题吗? 如: (1)函数 y ? ln cos x ? ? y y

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y



y

?

π 2

O A.

π x π ? 2 2

O B.

π x π ? 2 2

O C.

π x π ? 2 2

O D.

π x 2

(2)函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其
/ 图象如图,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ( x) ,

3 2

1 / 则不等式 f ( x) ? 0 的解集为___________ [? ,1] ? [2,3) 3

7.函数的单调性会判断吗①定义法; ⑴单调性的定义: f ( x ) 在区间 M 上是增(减) 函数 ? ?x1 , x 2 ? M , 当 x1 ? x 2 时
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0(? 0) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x 2

②导数法. 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ____(答: (??,3] )); 注意①: f ?( x ) ? 0 能推出 f ( x ) 为增函数, 但反之不一定。 如函数 f ( x ) ? x 3 在 (??,??) 上单调递增,但 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件。注意②:函数 单 调 性 与 奇 偶 性 的 逆 用 了 吗 ?. 如 : 已 知 奇 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ( ? 2,2 ) 上 的 减 函 数 , 若
f ( m ? 1) ? f ( 2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 (答: ?

1 2 ?m? ) 2 3

8.奇偶性:f(x)是偶函数 ? f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 ? f(-x)=-f(x);定义域 含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分 的条件。 如: (1) 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, f ( x ? 3) ? ?
f ( x ) ? 2 x ,则 f (113.5) 的值为(

1 ,又当 ?3 ? x ? ?2 时, f ( x)



A.

1 5

B. ?

1 5

C.

2 7

D. ?

2 7

(2) 设 f ( x ) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时 f ( x ) 是单调函数, 则满足 f ( x) ? f ? 所有 x 之和为( A. ? 3 ) B. 3 C. ?8 D. 8

? x?3? ?的 ? x?4?

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 (3)设奇函数 f ( x ) 在 (0,
解集为

f ( x) ? f (? x) ? 0的 x

, 0) A. (?1

(1, ? ?) (1, ? ?)

? 1) B. (??, , 0) D. (?1

(0, 1)

? 1) C. (??,

(0, 1)

9.函数的周期性的判断掌握了吗。 ① 若 函 数 f ( x ) 满 足 ? f ? x ? ? f ?a ? x ? , 则 f ( x ) 的 周 期 为 2 a ; ② 若

f ( x ? a) ?
T ? 2a .

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;③若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 f ( x) f ( x)
( f ? x ? T ? ? f ? x ? ? ?1 )

如 (1) 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若

? , ? 是 锐 角 三 角 形 的 两 个 内角 , 则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的 大 小 关 系 为 _________( 答 :
f (sin ? ) ? f (cos ? ) );
(2)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至 少有__________个实数根(答:5) 10.常见的图象变换掌握了吗? 如(1)要得到 y ? lg(3 ? x ) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向 ____ 平移 3 个单位而得到(答: y ;右); (2) 将函数 y ?
b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与 x?a

原图象关于直线 y ? x 对称,那么
( A)a ? ?1, b ? 0 ( B )a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D )a ? 0, b ? R

(答:C)

(3)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的

1 (纵坐标不变) ,再将此图像 3

沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____(答: f (3x ? 6) ); 11.函数的对称性掌握了吗?。 (1)函数 y ? f ? x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ? ; (2)函数 y ? f ? x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ? x ? ; (3)函数 y ? f ? x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; (4)曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为

f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。 曲 线 f ( x, y) ? 0 关 于 直 线 y ? x 的 对 称 曲 线 的 方 程 为 f ( y, x) ? 0 ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。如:

己知函数 f ( x) ?

x ?3 3 , ( x ? ) , 若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C 1 , 它关于直线 y ? x 对称图像 2x ? 3 2

是 C 2 , C 2 关 于 原 点 对 称 的 图 像 为 C 3 , 则C 3 对 应 的 函 数 解 析 式 是 ___________ ( 答 :

y??

x?2 ) ; 2x ?1

(5)曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。如若函

?x ? 7x ? 6 ) 数 y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点 (-2, 3) 对称, 则 g ( x) =______ (答:
2

①如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R , 都有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? , 或 f ?x ? ? f ?2a ? x ? 那 么函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? a 对称? y ? f ? x ? a ? 是偶函数;

? f(a ? x) ? 2b ,那么函数 ② 如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f(a ? x)

y ? f ?x ? 的图象关于点( a, b )对称.
③y=f(x)满足 f(x +a)=f(x-a)或 f(x±2a)=f(x)恒成立,2a 为周期; 12.你能画指数函数和对数函数的图象吗?理解指数函数,对数函数的图象通过的特殊点 吗? 如: ( 1) 已知实数 a , b 满足等式 2 a ? 3 b ,下列五个关系式:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③
0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其中可能成立的关系式有(

) D.③④⑤ )

A.①②③

B.①②⑤
b

C.①③⑤
c

?1? ?1? (2)设 a , b , c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log1 b , ? ? ? log2 c .则( ? 2? ? 2? 2 2
a

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

13.你对函数的最大值或最小值的概念正确理解了吗? 如: (1)设函数 f ( x ) 的定义域为 R ,有下列三个命题: ①若存在常数 M ,使得对任意 x ? R, 有 f ( x ) ? M , 则 M 是函数 f ( x ) 的最大值; ②若存在 x 0 ? R, 使得对任意 x ? R, x ? x 0 , 有 f ( x ) ? f ( x 0 ), 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最大 值;

③若存在 x 0 ? R, 使得对任意 x ? R, 有 f ( x ) ? f ( x 0 ), 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值. 这些命题中,真命题的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

(2)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 7 x ? 1, 若 f ( x ) ? f ( ?1) 对 x ? 0 恒成立,则 a 的值为 A. 3 B.

2

C .1

D. ? 1

14.什么是函数的零点?函数零点有什么性质?你能正确运用函数零点的性质解决有关方 程的根的分布问题吗? 练习 函数 y ? ln x ? A. (6,7)
9 的零点所在的大致区间是( x



B. (7,8)

C. (8,9)

D. ( 9,10)

15.你理解导数的几何意义吗?会求经过一点的曲线的切线方程吗? 过某点的切线不一定 只有一条
3 如:已知函数 f ( x) ? x ? 3x. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程;

(2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 16.你理解函数的单调性和导数的关系吗? 在应用导数研究函数的单调性时,往往需要解 含有参数的二次不等式,在进行讨论时,你考虑的全面吗,注意到特殊情况了吗?你是否注意 二次项系数为零的情况? 如;已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 17。 对于形如 f (ax ? b) 的复合函数导数的求法,你掌握了吗?这是正确应用导数解决问题 的前提. 如:若 f ( x) ? ? A. [?1, ??)

? 2 ? 3

1? 3?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2
B. (?1, ??) C. (??, ?1] D. (??, ?1)

18.你理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件吗?函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x ) ,则

一定要 f ' (a ) ? 0 是 f (a ) 为函数 f ( x ) 极值的必要不充分条件. 给出函数极大(小)值的条件, 既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用 完,这一点一定要切记。 如:设函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x ,其中 ab ? 0 .证明:当 ab ? 0 时, 函数 f ( x ) 没有极值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极值点,并求出极值. 19..在应用导数求参数的范围时,你注意到端点的取舍吗?讨论时遗漏特殊情况了吗? 设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(1)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。 20.你理解存在性问题和恒成立问题的区别与联系吗?在解题时切不可把二者混为一谈. 遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题,通常采用分离参数法,转化为求某函数 的最大值(或最小值) ;具体地:g(a)>f(x)在 x∈A 上恒成立 ? g(a)>f(x)max,g(a)<f(x) 在 x∈A 上恒成立 ? g(a)<f(x)min,(x∈A)。当参变量难以分离时,也可以用:f(a,x)>0 在 x∈A 上恒成立 ? f(a,x)min>0, (x∈A)及 f(a,x)<0 在 x∈A 上恒成立 ? f(a,x)max>0, (x∈A)来转化;还可以借助于函数图象解决问题。特别关注: “不等式 f(a,x)≥0 对所有 x ∈M 恒成立”与 “不等式 f(a,x)≥0 对所有 a∈M 恒成立”是两个不同的问题,前者是关于 x 的不等式,而后者则应视为是关于 a 的不等式。特别提醒: “判别式”只能用于“二次函 数对一切实数恒成立”的问题,其它场合,概不适用。 a≥f(x)恒成立 ? a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 ? a≤[f(x)]min; 如: 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a, x ?[0,1] . (1).若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 有解,则实数 a 的取 值范围是 是 . ;(2) 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ) ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

21.几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;

②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ?

x y

f ( x) ; f ( y) f ( x) ; f ( y)

③指数函数型: f ( x) ? a x ---------- f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ?

④对数函数型: f ( x) ? loga x --- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ;

x y

⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ?

f ( x) ? f ( y ) 。 1 ? f ( x) f ( y )

如: (1)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则

T f (? ) ? __(答:0) 2
(2)已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时,

y

f ( x) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集
是_____________(答: ( ?

O 3 x

1 2

?

, ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2

?


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