2.2.2对数函数及其性质_图文

2.2.2对数函数 及其性质

复习引入
1. 指数与对数的互化关系
b a =N

? logaN=b.

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象 定义域 R;值域(0,+∞)

0< a< 1

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在 R 上是减函数

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在 R 上是减函数

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1
y= a x (0<a<1) y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在 R 上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1
y= a x (0<a<1) y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在 R 上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1
y= a x (0<a<1) y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在 R 上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1
y= a x (0<a<1) y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在 R 上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y y= a x (a>1) x

0< a< 1
y= a x (0<a<1) y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y

0< a< 1
y= a x y= a x (0<a<1) (a>1) y= 1 x y

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

O

x

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y

0< a< 1
y= a x y= a x (0<a<1) (a>1) y= 1 x y y= 1 x

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

O

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y (0,1)

0< a< 1
y= a x y= a x (0<a<1) (a>1) y= 1 x y (0,1) O y= 1 x

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y (0,1)

0< a< 1
y= a x y= a x (0<a<1) (a>1) y= 1 x y (0,1) O y= 1 x

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1

2. 指数函数的图象和性质
a> 1
图 象
y (0,1)

0< a< 1
y= a x y= a x (0<a<1) (a>1) y= 1 x y (0,1) O y= 1 x

O

定义域 R;值域(0,+∞)
在R上是减函数

性 质

过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 x>0时,0<ax<1; x<0时,ax>1

3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数,这个函数可 以用指数函数y=2x表示.

3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数,这个函数可 以用指数函数y=2x表示.
这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞?

3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数,这个函数可 以用指数函数y=2x表示.
这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞? 分裂次数x就是要得到的细胞个 数y的函数.这个函数写成对数的形 式是x=log2y.

x=log2y

x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

讲授新课
1. 对数函数的定义:

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,(0,+∞),

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,定义域为(0,+∞),

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,定义域为(0,+∞),

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,定义域为(0,+∞),

值域为

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,定义域为(0,+∞), 值域为(-∞,+∞).

对数函数的概念

一般地,函数y = (a>0,且a≠1) 叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意:
1.对数函数对底数的限制条件:a>0,且a≠1

2.函数的定义域是(0,+∞).

典例展示
一、对数函数的概念 例1:判断以下函数是对数函数的是 (
A.y=2log5x+1
C.y=log5x

c



B.y=log(a-1)x
D.y=ln(x-1)

注意:
1.对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,
注意辨别。 (a?0,且a ?1) 2. 对数函数对底数的限制:

二、对数函数的定义域
例2 求下列函数的定义域: 2 (a ? 0, 且a ? 1) (1)y ? loga x 解: ∵x2 ﹥0 即x ≠ 0 ∴函数y= logax2 的定义域是{x| x ≠ 0} (2) y ? loga (4 ? x) 解:∵ 4-x﹥0即x﹤4

∴函数y=loga (4-x) 的定义域是{x|x﹤4 }

变式

1.求下列函数的定义域:y=log2x-1 3x-2.

?3x-2>0, ? 解:函数中的 x 需满足?2x-1>0, ?2x-1≠1, ? 2 ∴x>3且 x≠1.

? 2 ?x>3, ? 即? 1 ?x>2, ? ? x ≠1 ,

? ? ? 2 故原函数的定义域为?x?x>3且x≠1? ? ? ?

.

2. 求下列函数的定义域:

(1) y ? log a (9 ? x )
2

2. 对数函数的图象:

对数函数的图像与性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? lo g 2 x 和 y ? lo g 1 x 的图象。
2

作图步骤: ① 列表 ② 描点

③ 连线

作y=log2x的图象
列 表 描 点 连 线 x 1/4 1/2 1 2 4 …

y=log2x
y 2 1
0
11 42

-2

-1

0

1

2



1

2 3

4

x

-1 -2

y

认真观察函数 y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

在(0,+∞)上是: 增函数

列 表 y ? log2 x …
2

x



1/4

1/2

1

2

4

… …

y ? log1 x …

-2
2

-1
1

0
0

1
-1

2
-2



描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1

2 3

4

x

这两个函数 的图象有什 么关系呢?

-1 -2

关于x轴对称

认真观察函数

y 2 1 11
42

y ? log 1 x
的图象填写下表 图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
2

0 -1 -2

1 2 3

4

x

定义域 : ( 0,+∞)

值 域 :

R

在(0,+∞)上是: 减函数

对数函数的基本性质
对数函数y=logax (a>0,且a≠1)的图象与性质

a>1
图 象 性 质
y

0<a<1
y 0 (1,0) x

0

(1,0)

x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过定点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

例3 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log (1) 解法1:画图找点比高低 log28.5 log23.4
0 1 3.4 8.5

0.3

1.8与 log

0.3

2.7

y

y ? log2 x

解法2: 利用对数函数的单调性 考察函数y=log 2 x ,

x

∵a=2 > 1, ∴函数在区间(0,+∞)上是增函 数; ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

例3 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2)log (2) 解法1:画图找点比高低

0.3

1.8与 log

0.3

2.7

解法2:考察函数y=log
∵a=0.3< 1,

0.3

x

,

∴函数在区间(0,+∞)上是减函数; ∵1.8<2.7 ∴ log
0.3

1.8> log

0.3

2.7

3 例 4.比较 log43,log34,log4 4的大小. 3

练习:已知 log a (3a ? 1) ? 1, 求a的取值范围.
解:由 log a (3a ? 1) ? 1得 log a (3a ? 1) ? log a a,
?3a ? 1 ? a 若a ? 1, 有 ? , 此时无解. ?3a ? 1 ? 0 ?3a ? 1 ? a 1 若0 ? a ? 1, 有 ? , 得a ? ? , 所以0 ? a ? 1. 3 ?3a ? 1 ? 0
综上,a的取值范围为(0,1 ).

反函数

思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动,分别以位移s和时间t
为自变量,可以得到哪两个函数?这两个函数相同吗?

思考2:设 2 ? y ,x、y分别为自变量可以得到哪两个函数?这两个函
数相同吗?

s 和s=3t 得到 t ? 3 x

y ? 2 x 和y ? log2 x
这时:我们就说 y ? 2 和y ? log2 x互为反函数。
x

下面我们从图像的角度来观察一下反函数之间的关系:

如图示:

y

y ? 2x

y=x

A(m,n)
y ? log2 x
1
0 1

B(n,m)
x

(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数; (2)反函数的图像关于y=x对称; (3)反函数上对称点的横纵坐标互换;定义域、值域互换。

1. 两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两

对数值的大小.

2. 类比指数函数,请同学们归纳指数函数和对 数函数的区别与联系.

课后练习

课后习题


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