2019年人教版必修五高中数学2.4.1等比数列精讲优练课型优质课课件_图文

2.4 等比数列 第1课时 等比数列 【知识提炼】 1.等比数列的定义及通项公式 2 它的前一项 比 常数 q(q≠0) a1qn-1(a1≠0)(q≠0) 2.等比中项 (1)前提:三个数________组成等比数列. a ,G ,b (2)结论:__叫做_____的等比中项. G a 和b (3)满足的关系式:G=_____. ? ab 【即时小测】 1.判断 (1)等比数列的公比可以为任意实数.( (2)若b2=ac,则a,b,c成等比数列.( ) ) (3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常 数,则这个数列是等比数列.( ) ) (4)常数列既是等差数列又是等比数列.( 【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零. (2)错误.如02=3×0,但是3,0,0不成等比数列. (3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数, 不符合等比数列的定义,因而是错误的. (4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 2.下列各数列成等比数列的是( ①1,-2,-4,-8; ②1 , 1 1 1 ,, ; ③-1, -1,1; 31 9, 27 ④ (a为常数且a≠0). C.①②④ ) 1 1 1 1 A.②③④ ①③④ , 2 , 3 ,B. 4 a a a a D.①②③ 【解析】选A. ①因为 -2 -4 所以1,-2,-4,-8不 ? , 1 -2 是等比数列; ② 1, 是首项为1,公比为 的等比数列; 1 1 1 1 ,, 3 1 9, 27 ③-1, -1,1是首项为-1,公比为 -1的等比数列; 3 ④ (a为常数且a≠0)是首项为 ,公比为 的 1 1 1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 等比数列, a a a a a a 综上可知②③④是等比数列. 3.已知{an}是一个等比数列,若a1=3,a5=12,则公比 q=( ) 2 2 A. B.因为 ? a =a q4C. 2 【解析】选 D. , 2 2 5 1 所以 4 D. ? 2 . 所以q=± a 5 12 q ? ? ? 4, a1 3 2 4.等比数列{an}的首项为2,公比为5,则数列{an}的 通项公式为________. 【解析】数列{an}通项公式为an=2×5n-1. 答案:an=2×5n-1 5.-1与-25的等比中项为________. 【解析】-1与-25的等比中项为 ? ? ?1? ? ? ?25? ? ?5. 答案:±5 【知识探究】 知识点1 等比数列的概念 观察图形,回答下列问题: 问题1:图中的细胞分裂组成的数列1,2,4,8, 16,…是等比数列吗? 问题2:等比数列中相邻项之间有什么关系? 【总结提升】 1.从三个方面剖析等比数列的概念 (1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义: 其一,第1项前面没有项,无法与后续条件中的“与它 的前一项的比”相吻合; 其二,定义包括首项这一基本量,且必须从第2项起保 证数列中各项均与其前面一项作商. (2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求 的含义也有两个:其一是作商的顺序,即后面的项比 前面的项;其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”,否则这个数列不是 等比数列. 2.等比数列定义的符号表示 在数列{an}中,若 a =q(n∈N*),q为不为0的常数, n ?1 an . 则数列{a }是等比数列 n 知识点2 等比中项 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:任意两个实数都有等比中项吗? 问题2:两个正数的等比中项是唯一的吗? 【总结提升】对等比中项的三点认识 (1)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (2)“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b均 不为0),要特别注意限定的条件,否则是不等价的.可 以用它来判断或证明三个数成等比数列.同时还要注意 到“a,G,b成等比数列”与“G=± (3)同号的两个实数才有等比中项. ”是不等价的. ab 知识点3 等比数列的通项公式 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:等比数列的通项公式与指数函数有什么关系? 问题2:由等比数列的定义如何推导等比数列的通项公 式? 【总结提升】 1.推导等比数列通项公式的常见方法 (1)迭代法: 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由等比数列的 定义得,an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a2qn-2=a1qn-1. (2)归纳法: a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…, an=an-1q=a1qn-1. (3)累乘法: =q·q·q·…·q,即 =qn-1,故an=a1qn-1. a2 a3 a4 an ??? a1 a 2 a 3 a n ?1 an a1 2.理解等比数列通项公式应注意的三点 (1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式. (2)根据等比数列的通项公式,已知四个量a1,n,q, an中的三个,就可以求出第四个. (3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列 的项. 【拓展延伸】用函数的观点看等比数列的通项 等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1,可以改写为an= a1 y= q ·qx是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等 a1 x的图象上的一群孤立 比数列 {a } 的图象是函数y= ·q n q a1 的点. q ·qn.当q>0,且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而 例如,当a1=1,q=2时,an= 1·2n,表示这个数列各项 2 的点就都在函数y= 1·2x的图象上,如图所示: 2 【题型探究】 类型一 等比数列通项公式的应用 【典例】1.

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