四川省德阳市中江县龙台中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

四川省德阳市中江县龙台中学 2014-2015 学年高一上学期期中数 学试卷
一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项当中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={2,5},则 Venn 图中阴影部 分表示的集合是()

A.{5}

B.{1,3}

C.{2,4}

D.{2,3,4}

2. (5 分)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+2) B. C. D.

3. (5 分)下列四组函数中,表示同一个函数的是() A.f(x)=|x+1|,g(x)= B. f(x)= ,g(x)=( )
2

C. f(x)=

,g(x)=x﹣1

D.f(x)=2

,g(x)=x

4. (5 分)化简 A.

的结果是() B. x C. 1 D.x
2

5. (5 分)设 A.2 B. 3 C. 9

则 f[f(2)]=() D.18

6. (5 分)下列各图形中,是函数的图象的是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)函数 y= ]

的定义域是()

A.[﹣ ,﹣1)∪(1, ﹣1)∪(1,2] D.

B.(﹣ ,﹣1)∪(1, (﹣2,﹣1)∪(1,2)



C. [﹣2,

8. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) ,则当 x<0 时 f(x)上的表达式为() A.y=x(x﹣2) B.y=x(x+2) C.y=﹣x(x﹣2) D.y=﹣x(x+2) 9. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,0] C.[﹣3,0) D.[﹣2,0] 10. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 xf(x)>0 的解集为() A. C. B. D. ,且在(0,+∞)上单调递减,则
2

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相 应位置(只填结果,不写过程) 11. (5 分)已知 a=3 ,b=0.4 ,c=log0.43,则 a,b,c 的大小关系为.
0.4 3

12. (5 分)幂函数 13. (5 分)已知函数 f(x)与函数 g(x)= 的单调递减区间是.

在(0,+∞)是减函数,则 m=. x 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 f(x)

14. (5 分)函数 f(x)=loga(x ﹣x)在[2,4]上是增函数,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)给出以下结论: ①f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数; ②g(x)= 既不是奇函数也不是偶函数;

2

③F(x)=f(x)f(﹣x) (x∈R)是偶函数; ④h(x)=lg 是奇函数.

其中正确的序号是.

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程) 2 2 2 16. (12 分)设 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},其中 x∈R,如果 A∩B=B,求 实数 a 的取值范围. 17. (12 分)计算: (1)log89?log2732﹣( ) +log535﹣log57;
lg1

(2)0.027



﹣(﹣ ) +256

﹣2

0.75

﹣ +( ) .

0

18. (12 分)已知函数



(1)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f(x)在 内是增函数.

19. (12 分)目前,成都市 B 档出租车的计价标准是:路程 2km 以内(含 2km)按起步价 8 元收取, 超过 2km 后的路程按 1.9 元/km 收取, 但超过 10km 后的路程需加收 50%的返空费 (即 单价为 1.9×(1+50%)=2.85 元/km) . (现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算 时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用 f(x) (元)表示为行程 x(0<x≤60,单位:km)的 分段函数; (2)某乘客行程为 16km,他准备先乘一辆 B 档出租车行驶 8km,然后再换乘另一辆 B 档出 租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆 B 档出租车完成全部行程更省钱? 20. (13 分)已知函数 f(x)=2 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)﹣f(x+2) . (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 21. (14 分)已知函数 f(x) ,当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) .当 x>0 时,f(x) >0 (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若 ,试求 f(x)在区间[﹣2,6]上的最值; 对于任意 x∈[1,
x

(3) 是否存在 m, 使 2]恒成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

四川省德阳市中江县龙台中学 2014-2015 学年高一上学期 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项当中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={2,5},则 Venn 图中阴影部 分表示的集合是()

A.{5}

B.{1,3}

C.{2,4}

D.{2,3,4}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 常规题型;数形结合. 分析: 对于 venn 图表示的集合,如果元素个数比较少时,可首先在图中确定每个集合具体 的元素,然后再进行集合运算 解答: 解:由图象知,阴影部分表示的集合的元素为从集合 M 中去掉集合 M、N 的公共元 素后剩余的元素构成的集合 又 N={2,5} ∴M∩N={5} ∴阴影部分表示的集合为{1,3} 故选 B 点评: 本题考察 venn 表示的集合的运算,一般采用数形结合的方法解决问题,可在图中具 体写出每一个集合的元素,再解决问题 2. (5 分)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+2) B. C. D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确; 利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误; 利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单调性 解答: 解:A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正 确; B, C, D, 故选 A 在[﹣1,+∞)上为减函数;排除 B 在 R 上为减函数;排除 C 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 D

点评: 本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函 数的单调性,属基础题 3. (5 分)下列四组函数中,表示同一个函数的是() A.f(x)=|x+1|,g(x)= B. f(x)= ,g(x)=( )
2

C. f(x)=

,g(x)=x﹣1

D.f(x)=2

,g(x)=x

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 解答: 解:A.g(x)= =|x+1|,两个函数的定义域和对应法则相同,∴f(x)

和 g(x)表示同一函数. B.f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,不表示同一函 数. C.f(x)= =x﹣1,的定义域为{x|x≠﹣1},两个函数的定义域不同,不表示同一函数.

D.f(x)的定义域为{x|x>0},两个函数的定义域不同,不表示同一函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查判断两个哈市是否为同一函数的应用,判断的主要依据是判断两个函 数的定义域 和对应法则是否相同即可.

4. (5 分)化简 A.

的结果是() B. x C. 1 D.x
2

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 利用有理数指数幂的运算性质和运算法则,把

等价转化为

,由此能

求出结果. 解答: 解:

=

= =x =1. 故选 C. 点评: 本题考查有理数指数幂的运算性质和运算法则,是基础题.解题时要认真审题,仔 细解答.
0

5. (5 分)设 A.2 B. 3 C. 9

则 f[f(2)]=() D.18

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的性质求出 f(2) ,再把 f(2)作为一个整体代入 f(x) ,进行求解; 解答: 解:因为
1﹣1

,可得 f(2)=

=1,1<2,

f(1)=2e =2, ∴f[f(2)]=2; 故选 A; 点评: 此题主要考查分段函数的性质及其应用,解题的过程中用到了整体代换的思想,是 一道基础题; 6. (5 分)下列各图形中,是函数的图象的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数是特殊的映射,对每一个 x 值,只能有唯一的 y 与之对应,函数 y=f(x)的图 象也是,由此逐一分析四个图象,可得答案. 解答: 解:函数 y=f(x)中,对每一个 x 值,只能有唯一的 y 与之对应, ∴函数 y=f(x)的图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点 故 A,B,C 均不正确

故选 D 点评: 深刻理解函数的概念是解决问题的关键,并不是任意一个图都可以作为函数图象 的.这一点要特别注意

7. (5 分)函数 y= ]

的定义域是()

A.[﹣ ,﹣1)∪(1, ﹣1)∪(1,2] D.

B.(﹣ ,﹣1)∪(1, (﹣2,﹣1)∪(1,2)



C. [﹣2,

考点: 函数的定义域及其求法;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数表达式知,被开方数大于或等于 0,故对数的真数大于 0 且对数值小于或等于 2 2 1,x ﹣1>0,且 x ﹣1≤1;解可得答案.

解答: 解:

﹣ ∴y=

≤x<﹣1 或 1<x≤

. 的定义域为[﹣ ,﹣1)∪(1, ].

答案:A 点评: 考查对数的定义域和单调性. 8. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) ,则当 x<0 时 f(x)上的表达式为() A.y=x(x﹣2) B.y=x(x+2) C.y=﹣x(x﹣2) D.y=﹣x(x+2) 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题利用函数的奇偶性,将自变量“x”转化为“﹣x”,然后利用条件当 x≥0 时,f(x) =x(x﹣2) ,求出函数解析式,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∵当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) , ∴当 x<0 时,﹣x>0, f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[(﹣x)?(﹣x﹣2)]=﹣x(x+2) . 故选 D. 点评: 本题考查了函数的奇偶性与解析式,本题难度不大,属于基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,0] C.[﹣3,0) D.[﹣2,0]
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于函数解析式的二次项系数 a 不确定,故要分 a=0,a>0 和 a<0 时,三种情况结 合二次函数和一次函数的图象和性质进行分析,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣6x+1, ∵﹣6<0,故 f(x)在 R 上单调递减 满足在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a>0 时,二次函数在对称轴右侧递增,不可能在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a<0 时,二次函数在对称轴右侧递减, 2 若函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减, 仅须 ,解得﹣3≤a<0

综上满足条件的实数 a 的取值范围是[﹣3,0] 故选 B 点评: 本题考查的知识点是一次函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,其中易忽略 a=0 时的情况,而错解为 C 10. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 xf(x)>0 的解集为() A. C. B. D. ,且在(0,+∞)上单调递减,则

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f ( )=0,且在(0,+∞)上单调递减,可得 f (﹣ )=0,且在区间(﹣ ∞,0)上单调递减,分类讨论后,可得 xf(x)>0 的解集 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( )=0, ∴f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减, ∵当 x<0,当﹣ <x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x>0,当 0<x< 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 综上 xf(x)>0 的解集为 故选 B

点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,判断出 f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减是解题的关键.

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相 应位置(只填结果,不写过程) 11. (5 分)已知 a=3 ,b=0.4 ,c=log0.43,则 a,b,c 的大小关系为 a>b>c. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: 考查指数函数 y=3 ,y=0.4 ,对数函数 y=log0.4x 的性质,并与 1 和 0 比较,得出 a, b,c 的大小 解答: 解:∵y=3 是定义域上的增函数,∴3 >3 =1; x 3 0 ∵y=0.4 是定义域上的减函数,∴0<0.4 <0.4 =1; ∵y=log0.4x 是定义域上的减函数,∴log0.43<log0.41=0; ∴a>b>c. 故答案为:a>b>c. 点评: 本题考查了应用指数函数与对数函数的性质比较函数值的大小,是基础题.
x 0.4 0 0.4 3

12. (5 分)幂函数

在(0,+∞)是减函数,则 m=﹣1.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 利用幂函数的概念可得到关于 m 的关系式,解之即可. 解答: 解:∵f(x)=(m ﹣2m﹣2)
2

在(0,+∞)是减函数,



∴m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查幂函数的概念、解析式及其单调性,考查解不等式组的能力,属于中档题. 13. (5 分)已知函数 f(x)与函数 g(x)= 的单调递减区间是(﹣∞,+∞) . 考点: 对数函数的图像与性质;函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. x 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 f(x)

分析: 由函数 f(x)与函数 g(x)=

x 的图象关于直线 y=x 对称,可得函数 f(x)与

函数 g(x)=

x 互为反函数,即 f(x)=

,根据指数函数的性质可得函数的单调

减区间. 解答: 解:∵函数 f(x)与函数 g(x)= ∴函数 f(x)与函数 g(x)= ∴f(x)= ,

x 的图象关于直线 y=x 对称,

x 互为反函数,

∴函数 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,+∞) 故答案为(﹣∞,+∞) 点评: 本题考查的知识点是反函数,以及指数的单调性,属于基础题 14. (5 分)函数 f(x)=loga(x ﹣x)在[2,4]上是增函数,则实数 a 的取值范围是{a|a>1}. 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 t 在[2,4]上是增函数,且 t>0,函数 f(x)=loga(x ﹣x)在[2,4]上是增 函数,结合复合函数的单调性可得 a>1. 解答: 解:令 t=x ﹣x=
2 2 2

﹣ >0,求得 x<0,或 x>1,

故函数的定义域为{x|x<0,或 x>1}且 f(x)=logat. 2 由于函数 t 在[2,4]上是增函数,且 t>0,函数 f(x)=loga(x ﹣x)在[2,4]上是增函数, 则 a>1, 故答案为:{a|a>1}. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 15. (5 分)给出以下结论: ①f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数; ②g(x)= 既不是奇函数也不是偶函数;

③F(x)=f(x)f(﹣x) (x∈R)是偶函数; ④h(x)=lg 是奇函数.

其中正确的序号是①③④. 考点: 函数奇偶性的判断;命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①,利用奇函数的概念,判断 f(﹣x)是否等于﹣f(x)即可;

②,依题意知﹣1≤x≤1,于是可得 g(x)=

,利用奇偶函数的概念判断即可;

③,利用奇函数的概念可判断 F(x)=f(x)f(﹣x)是偶函数; ④,利用对数的运算性质及奇函数的概念可判断 h(x)=lg 是奇函数.

解答: 解:对于①,∵f(﹣x)=|﹣x+1|﹣|﹣x﹣1|=﹣(|x+1|﹣|x﹣1|)=﹣f(x) , ∴f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数,①正确; 2 对于②,由 1﹣x ≥0 得:﹣1≤x≤1, ∴g(x)= = = ,满足 g(﹣x)=﹣g(x) ,故 y=g(x)是奇函数,

②错误; 对于③,∵F(x)=f(x)f(﹣x) , ∴F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) (x∈R) ,∴F(x)=f(x)f(﹣x)是偶函数,③正确; 对于④,由 又 h(﹣x)=lg >0 得,﹣1<x<1, =lg =﹣lg =﹣h(x) ,∴h(x)=lg 是奇函数,④

正确. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,主要考查函数的奇偶性判断与应用,属于中档题. 三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (12 分)设 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},其中 x∈R,如果 A∩B=B,求 实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 先由题设条件求出集合 A,再由 A∩B=B,导出集合 B 的可能结果,然后结合根的判 别式确定实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:A={x|x +4x=0}={0,﹣4}, ∵A∩B=B 知,B?A, ∴B={0}或 B={﹣4}或 B={0,﹣4}或 B=?, 若 B={0}时,x +2(a+1)x+a ﹣1=0 有两个相等的根 0,则
2 2 2 2 2

,∴a=﹣1,

若 B={﹣4}时, x +2 (a+1) x+a ﹣1=0 有两个相等的根﹣4, 则 ∴a 无解,

2

2



若 B={0, ﹣4}时, x +2 (a+1) x+a ﹣1=0 有两个不相等的根 0 和﹣4, 则

2

2



∴a=1, 2 2 2 2 当 B=?时,x +2(a+1)x+a ﹣1=0 无实数根,△ =[2(a+1)] ﹣4(a ﹣1)=8a+8<0,得 a< ﹣1, 综上:a=1,a≤﹣1. 点评: 本题考查集合的包含关系的判断和应用,解题时要认真审题,注意公式的合理应用. 17. (12 分)计算: (1)log89?log2732﹣( ) +log535﹣log57;
lg1

(2)0.027



﹣(﹣ ) +256

﹣2

0.75

﹣ +( ) .

0

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的性质和运算法则求解. (2)利用分数指数幂的性质和运算法则求解. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)log89?log2732﹣( = = = . ﹣1+1 ) +log535﹣log57
lg1

(2)0.027 =



﹣(﹣ ) +256

﹣2

0.75

﹣ +( )

0

=32. 点评: 本题考查对数、指数化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意运算性质的合 理运用.

18. (12 分)已知函数



(1)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f(x)在 内是增函数.

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数奇偶性的定义去判断. (2)利用函数单调性的定义去证明. 解答: 解: (1)函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞) (1 分) ∵ ∴f(x)是奇函数. (5 分) (2)设 则 = ,且 x1<x2 (6 分) ,

, (7 分) ∵ ,

∴x1﹣x2<0,x1x2﹣2>0,x1x2>0(10 分) ∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) (11 分) 故 f(x)在 内是增函数. (12 分) 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断,利用函数单调性和奇偶性的定义 是解决本题的关键. 19. (12 分)目前,成都市 B 档出租车的计价标准是:路程 2km 以内(含 2km)按起步价 8 元收取, 超过 2km 后的路程按 1.9 元/km 收取, 但超过 10km 后的路程需加收 50%的返空费 (即 单价为 1.9×(1+50%)=2.85 元/km) . (现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算 时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用 f(x) (元)表示为行程 x(0<x≤60,单位:km)的 分段函数; (2)某乘客行程为 16km,他准备先乘一辆 B 档出租车行驶 8km,然后再换乘另一辆 B 档出 租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆 B 档出租车完成全部行程更省钱? 考点: 分段函数的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题. 分析: (1)仔细审题,由成都市 B 档出租车的计价标准,能够列出乘客搭乘一次 B 档出租 车的费用 f(x) (元)表示为行程 x(0<x≤60,单位:km)的分段函数. (2)只乘一辆车的车费为:f(16)=2.85×16﹣5.3=40.3 元,换乘 2 辆车的车费为:2f(8)=2× (4.2+1.9×8)=38.8 元,由此能得到该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. 解答: 解: (1)由题意得,车费 f(x)关于路程 x 的函数为:

=

. (6')

(2)只乘一辆车的车费为:f(16)=2.85×16﹣5.3=40.3(元) , (8') 换乘 2 辆车的车费为:2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元) . (10') ∵40.3>38.8, ∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. (12') 点评: 本题考查分段函数有生产实际中的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐 含条件,合理地进行等价转化. 20. (13 分)已知函数 f(x)=2 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)﹣f(x+2) . (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 考点: 指数函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)由 f(x)=2 ,知 g(x)=f(2x)﹣f(x+2)=2 ﹣2 是[0,3],所以
x 2 x 2x x+2 x

.因为 f(x)的定义域

,由此能求出 g(x)的定义域.
x x 2 x

(2)设 g(x)=(2 ) ﹣4×2 =(2 ﹣2) ﹣4.由 2 ∈[1,2],能求出函数 g(x)的最大值和 最小值. 解答: 解: (1)∵f(x)=2 , 2x x+2 ∴g(x)=f(2x)﹣f(x+2)=2 ﹣2 . (3') 因为 f(x)的定义域是[0,3], 所以 ,
x

解之得 0≤x≤1. 于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}. (或写成[0,1],否则扣 1 分) (6') x 2 x x 2 (2)设 g(x)=(2 ) ﹣4×2 =(2 ﹣2) ﹣4. (8') ∵x∈[0,1], x 即 2 ∈[1,2], x ∴当 2 =2 即 x=1 时, g(x)取得最小值﹣4; (10') x 当 2 =1 即 x=0 时, g(x)取得最大值﹣3. (12') 点评: 本题考查指数函数的综合题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化 思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题 时要认真审题,仔细解答. 21. (14 分)已知函数 f(x) ,当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) .当 x>0 时,f(x) >0 (1)求证:f(x)是奇函数;

(2)若

,试求 f(x)在区间[﹣2,6]上的最值; 对于任意 x∈[1,

(3) 是否存在 m, 使 2]恒成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

考点: 指、对数不等式的解法;函数奇偶性的判断;抽象函数及其应用;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)在给出的等式中取 x=y=0,求得 f(0)=0,再取 y=﹣x 可证明 f(x)是奇函数; (2)利用函数单调性的定义,借助于已知等式证明函数 f(x)为增函数,从而求出函数在给 定区间上的最值; (3)由奇偶性把给出的不等式变形,然后利用单调性去掉 “f”,换元后利用分离变量法求 m 的取值范围. 解答: 解: (1)令 x=0,y=0,则 f(0)=2f(0) , ∴f(0)=0.令 y=﹣x,则 f(0)=f(x)+f(﹣x) , ∴f(x)=f(﹣x) ,即 f(x)为奇函数; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2 ∵f(x+y)=f(x)+f(y) , ∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1) , ∵当 x>0 时,f(x)>0,且 x1<x2, ∴f(x2﹣x1)>0, 即 f(x2)>f(x1) , ∴f(x)为增函数, ∴当 x=﹣2 时,函数有最小值,f(x)min=f(﹣2)=f(2)=2f(1)=1. 当 x=6 时,函数有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3; (3)∵函数 f(x)为奇函数, ∴不等式 , 又∵f(x)为增函数,∴ 令 t=log2x,则 0≤t≤1, 2 问题就转化为 2t ﹣4>2t﹣4m 在 t∈[0,1]上恒成立, 2 即 4m>﹣2t +2t+4 对任意 t∈[0,1]恒成立, 2 令 y=﹣2t +2t+4,只需 4m>ymax, 而 ∴当 时, ,则 . . (0≤t≤1) , , 可化为

∴m 的取值范围就为

点评: 本题考查了抽象函数及其应用,考查了函数奇偶性及单调性的判断,该类问题常采 用取特值的办法,关键在于灵活变化,训练了分离变量法及配方法求变量的范围,是中档题.


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