精品高中数学(苏教版,必修一) 第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1习题课 课时作业(含答案)

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3.4.1 习题课
课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程 的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式.

1.函数 f(x)在区间(0,2)内有零点,则下列正确命题的个数为________. ①f(0)>0,f(2)<0; ②f(0)·f(2)<0; ③在区间(0,2)内,存在 x1,x2 使 f(x1)·f(x2)<0. 2.函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数 y=f(x)的零点个数 是________. 3.设函数 f(x)=log3x+x 2-a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是________. 4.方程 2x-x-2=0 在实数范围内的解的个数是________.
5.函数 y=(12)x 与函数 y=lg x 的图象的交点的横坐标是________.(精确到 0.1) 6.方程 4x2-6x-1=0 位于区间(-1,2)内的解有________个.

一、填空题

1.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,每一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其

中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 2.函数 f(x)=x5-x-1 的一个零点所在的区间可能是________.(填你认为正确的一个区

间即可)

3.函数 f(x)=11-+xx2的零点是________.

4.已知二次函数 y=f(x)=x2+x+a(a>0),若 f(m)<0,则在(m,m+1)上函数零点的个数

是______________.

5.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),并且 α,β(α<β)是函数 y=f(x)的两个零点,则实

数 a,b,α,β 的大小关系是________.

6.若函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅

有一个实数根,则 f(-1)·f(1)的值________.(填“大于 0”,“小于 0”,“等于 0”或

“无法判断”)

7.已知偶函数 y=f(x)有四个零点,则方程 f(x)=0 的所有实数根之和为________.

8.若关于 x 的二次方程 x2-2x+p+1=0 的两根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 p 的取值

范围为______________.

9.已知函数 f(x)=ax2+2x+1(a∈R),若方程 f(x)=0 至少有一正根,则 a 的取值范围为

________.

二、解答题

10.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)≈-0.984

f(1.375)≈-0.260

f(1.437 5)≈0.162

f(1.406 25)≈-0.054

求方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1).

11.分别求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2+2x+m+1=0, (1)有两个负根; (2)有两个实根,且一根比 2 大,另一根比 2 小; (3)有两个实根,且都比 1 大.
能力提升 12.已知函数 f(x)=x|x-4|. (1)画出函数 f(x)=x|x-4|的图象; (2)求函数 f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值; (3)当实数 a 为何值时,方程 f(x)=a 有三个解?
13.当 a 取何值时,方程 ax2-2x+1=0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上.

1.函数与方程存在着内在的联系,如函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是方程 f(x)=0 的解;两个函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交点的横坐标就是方程 f(x)=g(x)的解等.根 据这些联系,一方面,可通过构造函数来研究方程的解的情况;另一方面,也可通过构 造方程来研究函数的相关问题.利用函数与方程的相互转化去解决问题,这是一种重要 的数学思想方法. 2.对于二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 根的问题,从函数角度解决有时比较简洁.一般地, 这类问题可从四个方面考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴 x=-2ba与区间端点的关 系;④区间端点函数值的正负.
习题课
双基演练 1.0 解析 函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到 x1,x2∈(a,b),满足 f(x1)·f(x2)<0,故①、②、③都是错误的. 2.1 或 2 解析 当 f(x)的图象和 x 轴相切与 y 轴相交时,函数 f(x)的零点个数为 1,当 f(x)的图象与 y 轴交于原点与 x 轴的另一交点在 x 轴负半轴上时,函数 f(x)有 2 个零点. 3.(log32,1) 解析 f(x)=log3(1+2x)-a 在(1,2)上是减函数, 由题设有 f(1)>0,f(2)<0,解得 a∈(log32,1). 4.2 解析 作出函数 y=2x 及 y=x+2 的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个不 同的根. 5.1.9 解析 令 f(x)=(12)x-lg x,则 f(1)=12>0,f(3)=18-lg 3<0,∴f(x)=0 在(1,3)内有一解,利 用二分法借助计算器可得近似解为 1.9. 6.2 解析 设 f(x)=4x2-6x-1,由 f(-1)>0,f(2)>0,且 f(0)<0,知方程 4x2-6x-1=0 在 (-1,0)和(0,2)内各有一解,因此在区间(-1,2)内有两个解. 作业设计 1.(0,0.5),f(0.25) 解析 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0, 故 f(x)在(0,0.5)必有零点,利用二分法, 则第二次计算应为 f(0+20.5)=f(0.25). 2.[1,2](答案不唯一) 解析 因为 f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 所以存在一个零点 x∈[1,2]. 3.1 解析 由 f(x)=0,即11-+xx2=0,得 x=1,即函数 f(x)的零点为 1. 4.1 解析 二次函数 y=f(x)=x2+x+a 可化为 y=f(x)=(x+12)2+a-14,则二次函数对称轴为 x

=-12,其图象如图.
∵f(m)<0,由图象知 f(m+1)>0, ∴f(m)·f(m+1)<0,∴f(x)在(m,m+1)上有 1 个零点. 5.a<α<β<b 解析 函数 g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是 a,b. 由于 y=f(x)的图象可看作是由 y=g(x)的图象向上平移 2 个单位而得到的,所以 a<α<β<b. 6.无法判断 解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.故填“无法判断”. 7.0 解析 不妨设它的两个正零点分别为 x1,x2. 由 f(-x)=f(x)可知它的两个负零点分别是-x1,-x2,于是 x1+x2-x1-x2=0. 8.(-1,0) 解析 设 f(x)=x2-2x+p+1,根据题意得 f(0)=p+1>0, 且 f(1)=p<0,f(2)=p+1>0,解得-1<p<0. 9.a<0 解析 对 ax2+2x+1=0,当 a=0 时,x=-12,不符题意; 当 a≠0,Δ=4-4a=0 时,得 x=-1(舍去). 当 a≠0 时,由 Δ=4-4a>0,得 a<1, 又当 x=0 时,f(0)=1,即 f(x)的图象过(0,1)点, f(x)图象的对称轴方程为 x=-22a=-1a, 当-1a>0,即 a<0 时, 方程 f(x)=0 有一正根(结合 f(x)的图象); 当-1a<0,即 a>0 时,由 f(x)的图象知 f(x)=0 有两负根, 不符题意.故 a<0. 10.解 ∵f(1.375)·f(1.437 5)<0, 且 1.375 与 1.4375 精确到 0.1 的近似值都是 1.4, 故方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根为 1.4. 11.解 (1)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1,x2,
??Δ=4-4?m+1?≥0, 则有两个负根的条件是?x1+x2=-2<0,
??x1x2=m+1>0,
解得-1<m≤0.
方法二 (函数思想) 设函数 f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点均在 y 轴左侧, 结合函数的图象,有

Δ=4-4?m+1?≥0,
???-2ba=-1<0, ??f?0?=m+1>0,
解得-1<m≤0.

(2)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1,x2,则令 y1=x1-2>0,y2=x2-2<0,问题转化为求方程(y+2)2+ 2(y+2)+m+1=0,即方程 y2+6y+m+9=0 有两个异号实根的条件,故有 y1y2=m+9<0, 解得 m<-9.
方法二 (函数思想) 设函数 f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点分别在 2 的两侧,
结合函数的图象,有 f(2)=m+9<0,解得 m<-9.

??Δ=4-4?m+1?≥0, (3)由题意知,?x1-1+x2-1>0,
???x1-1??x2-1?>0

(方程思想),

Δ=4-4?m+1?≥0,
??? 或 -2ba=-1>1, ??f?1?=m+4>0

(函数思想),

因为两方程组无解,故解集为空集.

12.解

(1)f(x)=x|x-4|=?????-x2-x2+4x,4x,

x≥4, x<4.

图象如图所示.
(2)当 x∈[1,5]时,f(x)≥0 且当 x=4 时 f(x)=0,故 f(x)min=0; 又 f(2)=4,f(5)=5,故 f(x)max=5. (3)由图象可知,当 0<a<4 时, 方程 f(x)=a 有三个解. 13.解 ①当 a=0 时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意. ②当 a>0 时,设 f(x)=ax2-2x+1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,

??f?0?>0 ∴?f?1?<0
??f?2?>0

??1>0 ,即?a-2+1<0
??4a-4+1>0

,解得34<a<1.

③当 a<0 时,设方程的两根为 x1,x2, 则 x1x2=1a<0,x1,x2 一正一负不符合题意.

综上,a 的取值范围为34<a<1.


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