高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》课件2_图文

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【课标要求】 1.掌握向量数乘运算的定义,理解向量数乘的几何意义. 2. 掌握向量数乘的运算律, 并会根据运算律熟练进行有关的计 算. 3.理解并掌握向量共线定理,能判断两个向量是否共线,能灵 活运用向量判断点共线、线共点等. 【核心扫描】 1.向量的数乘运算及其几何意义(重点). 2.向量共线定理的应用(难点).

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

自学导引 1.向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个 记作 λa
向量 , 这种运算叫做向量的

数乘 ,

,其长度与方向规定如下: . 时,与a方向相同 λ<0 时,与a方向相反 ;
λ>0

(1)|λa|= |λ||a|

?当 ? (2)λa(a≠0)的方向? ?当 ?

特别地,当 λ=0 或 a=0 时,0a=0 或 λ0 =0. 想一想:数乘向量与原向量之间有什么关系? 提示 数乘向量与原向量共线.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

2.向量数乘的运算律 (1)λ(μa)= (λμ)a . . .

(2)(λ+μ)a=λa+μa (3)λ(a+b)= λa+λb

特别地,有(-λ)a= -(λa) λ(a-b)= λa-λb .

λ(-a) =



课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线, 当且仅当有唯一一个实数 λ, 使得 b=λa . 想一想:如何用符号语言表述共线向量定理? 提示 a∥b?b=λa(a≠0,λ∈R).

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

4.向量的线性运算 向量的









数乘 运算统称为向量的

线性运算,对于任意向量 a、b,以及任意实数 λ,μ1,μ2,恒 有 λ(μ1a+μ2b)= λμ1a+λμ2b .

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

名师点睛 1.向量数乘的几何意义 由实数与向量的积的定义可以看出,它的几何意义就是将表示 向量 a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|>1 时,表示 a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍; 当|λ|<1 时,表示 a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上缩小为原来的|λ|倍.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

2.准确理解共线向量定理 共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题 提供了理论依据.理解时应注意以下几点: (1)定量本身包含了正反两个方面:若存在一个实数 λ,使 b= λa(a≠0),则 a 与 b 共线;反之,若 a 与 b 共线(a≠0),则必存 在一个实数 λ,使 b=λa. (2)定理中限定 a≠0 的原因是:若 a=b=0,虽然 λ 仍然存在, 可是 λ 不唯一,定理的正反两个方面不成立. (3)若 a,b 不共线,且 λa=μb,则必有 λ=μ=0.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

3.三点共线的判定 → → 对于平面内任意三点 A, C, B, 若存在一个实数 λ, 使得AB=λAC → → → → 则根据共线向量基本定理, → AC → (或AB=λBC或AC=λBC), 可知AB, → BC → → BC → 共线(或AB, 共线或AC, 共线), 又由于它们具有公共点 A(或 B 或 C),则可知 A,B,C 三点共线.除此之外我们又有: 对于平面内任意三点 A,B,C,O 为不同于 A,B,C 的任意一 → → → 点,若OC=λOA+μOB,实数 λ,μ 满足 λ+μ=1,则三点 A,B, C 共线.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

→ → → 证明方法如下: λ+μ=1 可得 λ=1-μ, 由 代入OC=λOA+μOB中 → → → → → → → → 可得OC=(1-μ)OA+μOB,即OC-OA=μ(OB-OA),也即AC= → μAB,从而 A,B,C 三点共线.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型一 向量的数乘运算
? 1?1 【例 1】 (1) ?2?2a+8b?-?4a-2b??的结果是( 3? ?

).

A.2a-b B.2b-a

C.b-a D.a-b

(2)设向量 a=3i+2j.b=2i-j,
?1 ? ? 2 ? 则?3a-b?-?a-3b?+(2b-a)=________. ? ? ? ?

[思路探索] 根据向量加、减、数乘的运算法则和运算性质即可 得到答案.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

解析

? 1?1 (1)3?2?2a+8b?-?4a-2b?? ? ?

1 1 1 4 4 2 =6(2a+8b)-3(4a-2b)=3a+3b-3a+3b =2b-a. 5 5 5 5 (2)原式=- a+ b=- (3i+2j)+ (2i-j) 3 3 3 3 5 =- i-5j. 3 答案 (1)B 5 (2)-3i-5j

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

规律方法

向量的初等运算类似于实数的运算,其化简的方法

与代数式的化简类似,可以进行加、减、数乘等运算,也满足 运算律,可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

? 1 1 2? 【变式 1】 化简3??4a-3b?+3b-4?6a-7b??. ? ?

1 3 7 ? 2? 解 原式=3?4a-3b+3b-2a+4b? ? ?
? 1 7? ? 2?? 3? =3??4-2?a+?-3+3+4?b? ?? ? ? ? ?

11 ? 5 2?5 11 ? a- b?= a- b. =3 2 12 18 ? ? 3

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型二 向量共线的判定及应用 【例 2】 (2011· 长春高一检测)已知非零向量 e1,e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),求证:A、 B、D 三点共线. (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值. [思路探索] 对于(1),欲证 A、B、D 共线,只需证存在实数 λ, → → 使BD=λAB即可;对于(2),若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则一定 存在 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2).

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

→ 解 (1)∵AB=e1+e2, → → → → BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB. → → ∴AB,BD共线,且有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线 ∴存在 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2, 由于 e1 与 e2 不共线,
?k-λ=0, ? 只能有? ?λk-1=0, ?

∴k=± 1.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

规律方法 线

(1)本题充分利用了向量共线定理,即 b 与 a(a≠0)共

b=λa,因此用它既可以证明点共线或线共线问题,也可

以根据共线求参数的值. (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表 示,进而互相表示,从而判断共线.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

→ 【变式 2】 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线,如果AB=2e1+ → → 3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2.求证:A、B、D 三点共线. → → → → 证明 ∵AD=AB+BC+CD =2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2 → =12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6AB, → → ∴向量AD与向量AB共线. → → 又∵AB和AD有共同的起点 A,∴A、B、D 三点共线.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型三 向量法解决共线问题 【例 3】 如图所示,已知在?ABCD 中, 点 M 为 AB 的中点,点 N 在 BD 上, 且 3BN=BD. 求证:M、N、C 三点共线. → → 审题指导 利用向量共线定理证明MC=λMN即可.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

→ → [规范解答] 设AB=a,AD=b, → → → 则BD=BA+AD=-a+b, → =1BD=-1a+1b,MB=1a,BC=AD=b, → → → BN 3 → 3 3 2 → =MB+BC=1a+b, ∴MC → → 2 → =MB+BN=1a-1a+1b=1?1a+b?, ? ? MN → → 2 3 3 3?2 ? → 1→ → → ∴MN=3MC,∴MN∥MC,又 M 为公共点. ∴M、N、C 三点共线.
课前探究学习 课堂讲练互动

(2 分)

(6 分) (8 分)

(10 分)
活页规范训练

【题后反思】 利用共线向量基本定理可以证明平面几何中的直 线平行或三点共线问题.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式 3】 如图所示,在△ABC 中, 1 在 AC 上取点 N,使得 AN=3AC, 1 在 AB 上取点 M,使得 AM= AB, 3 1 在 BN 的延长线上取点 P,使得 NP=2BN,在 CM 的延长线上 → → → → 取一点 Q,使得MQ=λCM时有AP=QA成立,试确定 λ 的值.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练



→ → → 1 → → AP=NP-NA=2(BN-CN)

1 → → 1→ = (BN+NC)= BC, 2 2 → =MA-MQ=1BM-λCM=1BM+λMC, → → → → → ∵QA → 2 2 → =QA,∴1BM+λMC=1BC, → → → 且AP → 2 2 → → → ∵BM+MC=BC, 1 ∴λ=2.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

方法技巧 数形结合思想 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种思想方法.数形结合思想通 过“以形助数,以数释形”使复杂的问题简单化,抽象问题具 体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本 质,它是数学的规律性表现. 本节中的数形结合主要体现在:(1)让向量的分解更加直观;(2) 让向量的计算小巧、有趣.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【示例】 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是 → → → 线段 OD 的中点,若AC=a,BD=b,则AE=( 1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b ). 2 1 B.3a+3b 1 2 D.3a+3b

[思路分析] 根据题意画出满足条件的图形,边结合图形边运用 三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算,注意转 化的目标方向.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

→ =1(AO+AD), 解析 如图,∵AE 2 → → → =1a,AD=AO+OD=1a+1b. → → → 且AO 2 2 2 → =1?1a+1a+1b?=1a+1b.故选 C. ∴AE 2?2 2 2 ? 2 4 ? ? 答案 C 方法点评 本题能灵活利用向量的两种运算法则: 三角形法则和 → 平行四边形法则的逆向运算.以向量AE为目标利用运算法则一 步步分解成向量 a 和 b.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

单击此处进入

活页限时训练

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练


相关文档

高中数学新课标人教A版必修四《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》课件2
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.1向量加法运算及其几何意义》课件2
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》课件
最新新课标人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义(二)公开课课件
最新新课标人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)公开课课件
最新新课标人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义——习题课公开课课件
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.1向量加法运算及其几何意义》课件
新课标人教A版高中数学必修四2.2.3-向量数乘运算及其几何意义优质课件
高中数学向量加法运算及其几何意义课件新课标人教A版必修4
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.2向量减法运算及其几何意义》课件2
电脑版