南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.已知集合 A ? ?x | x( x ? 4) ? 0? , B ? ?0,1,5? ,则 A I B ? ▲ . 2.设复数 z ? a ? i(a ? R, i 为虚数单位) ,若 (1 ? i) ? z 为纯虚数,则 a 的值为 ▲ . 3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级 4000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六 年级学生中每天用于阅读的时间在 [70,80) (单位:分钟)内的学生人数为 ▲ . 频率 组距
0.035 a 0.020 0.010 0.005 50 60 70 80 90 100 时间(单位:分钟)

Read x If x ? 0 Then

y ? ln x

Else

y ? ex
End If Print y 第 3 题图 第 4 题图

4.执行如图所示的伪代码,若 x ? 0 ,则输出的 y 的值为 ▲ . 5.口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出 2 个球, 则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 ▲ . 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则实数 p 的值为 ▲ . 4 5
▲ .

1 ? a 的值域为 A ,若 A ? [0, ??) ,则实数 a 的取值范围是 ex 8.已知锐角 ? , ? 满足 ? tan ? ?1?? tan ? ?1? ? 2 ,则 ? ? ? 的值为 ▲ .
7.设函数 y ? e x ? 9.若函数 y ? sin ? x 在区间 [0, 2? ] 上单调递增,则实数 ? 的取值范围是 则 S2017 的值为 ▲ . ▲



10.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 ?an ? 的前 2017 项中的奇数项和为 2018,

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? x(3 ? x), 0 ? x ? 3, ? 11.设函数 f ( x) 是偶函数,当 x≥0 时, f ( x) = ? 3 ,若函数 y ? f ( x) ? m 有四个不同 ? ? 1, x >3 ? ? x
的零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 12.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? k ( x ? 3 3) 上存在一点 P ,圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 上存在一点 Q , 满足 OP ? 3OQ ,则实数 k 的最小值为 ▲ . 13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为 1,正六边形的顶 点”.若 A, B, C , D 四点均位于图中的“晶格点”处,且 A, B 的位置所 ▲ . AB ? CD 的最大值为 2 14.若不等式 k sin B ? sin A sin C ? 19sin B sin C 对任意 ?ABC 都成立, 小值为 ▲ .

??? ?

????

A

点称为“晶格 图 所 示 , 则 则实数 k 的最

B 第 13 题图

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演 算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB ,点 M , N 分别是 AB, A1B1 的中点. (1)求证: BN ∥平面 A1MC ; (2)若 A 1M ? AB 1 ,求证: AB 1 ? AC 1 . A1 N B1 A 16.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 c ? (1)若 C ? 2 B ,求 cos B 的值; (2)若 AB ? AC ? CA ? CB ,求 cos( B ? B 第 15 题图 M C C1

5 b. 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

?
4

) 的值.

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17.(本小题满分 14 分) 有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计) ,一边 AB 长为 6 分米,另一边足够长.现从中截 取矩形 ABCD (如图甲所示) ,再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好 能折卷成一个底面是弓形的 .. 柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计) ,其中 OEMF 是以 O 为圆心、 ?EOF ? 120? 的扇形,

? , GH ? 分别与边 BC , AD 相切于点 M , N . 且弧 EF (1)当 BE 长为 1 分米时,求折卷成的包装盒的容积; (2)当 BE 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大? N M B M C
E O F E F

G A N

H D 第 17 题-图甲

G

N

H

第 17 题-图乙

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 B ,点 M , N 是椭圆上 a 2 b2 异于点 B 的动点,直线 BM , BN 分别与 x 轴交于点 P, Q ,且点 Q 是线段 OP 的中点.当点 N 运动到
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

3 2 3 ) 处时,点 Q 的坐标为 ( , 0) . 2 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; ???? ???? ? (2)设直线 MN 交 y 轴于点 D ,当点 M , N 均在 y 轴右侧,且 DN ? 2 NM 时,求直线 BM 的方程.
点 ( 3, y D N Q O B 第 18 题图 P M x

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19.(本小题满分 16 分)

2 ,且 n ? N , ? 为常数. 设数列 ?an ? 满足 an 2 ? an?1an?1 ? ? (a2 ? a1 )2 ,其中 n…
(1)若 ?an ? 是等差数列,且公差 d ? 0 ,求 ? 的值; (2)若 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 ,且存在 r ? [3, 7] ,使得 m ? an卪 n ? r 对任意的 n ? N 都成立,求 m 的
* * (3)若 ? ? 0 ,且数列 ?an ? 不是常数列,如果存在正整数 T ,使得 an?T ? an 对任意的 n ? N 均成立.

最小值;

求所有满足条件的数列 ?an ? 中 T 的最小值.

20.(本小题满分 16 分)

b ? c ( a, b, c ? R ). x (1)当 c ? 0 时,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象在 x ? 1 处有相同的切线,求 a , b 的值; ( 2 )当 b ? 3 ? a 时,若对任意 x0 ? (1, ??) 和任意 a ? (0, 3),总存在不相等的正实数 x1 , x2 ,使得
设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x0 ),求 c 的最小值; (3)当 a ? 1 时,设函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 两点.求证: x1 x2 ? x2 ? b ? x1x2 ? x1 .

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南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指 定区域内) A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,已知 AB 为⊙ O 的直径,直线 DE 与⊙ O 相切于点 E , AD 垂直 DE 于点 D . 若 DE ? 4 ,求 切点 E 到直径 AB 的距离 EF . D A E · FO 第 21(A)图 B.(选修 4-2:矩阵与变换) 已知矩阵 M ? ?

B

?2 0? ,求圆 x 2 ? y 2 ? 1在矩阵 M 的变换下所得的曲线方程. ? ?0 1 ?

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线 ? cos(? ?

?

3

) ? 1与曲线 ? ? r ( r ? 0 )相切,求 r 的值.

D.(选修 4-5:不等式选讲)
2 2 已知实数 x, y 满足 x ? 3 y ? 1 ,求当 x ? y 取最大值时 x 的值.

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[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22. (本小题满分 10 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, AC 与 BD 交于点 O , OP ? 底面 ABCD ,点 M 为 PC 中点, AC ? 4, BD ? 2, OP ? 4 . (1)求直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值. P M D O A B 第 22 题图 C

23. (本小题满分 10 分) 0 1 1 2 r ?1 r n?1 n 已知 n ? N ? , nf ? n? ? Cn Cn ? 2Cn Cn ????? rCn Cn ????? nCn Cn . (1)求 f ?1? , f ? 2? , f ? 3? 的值; (2)试猜想 f ? n ? 的表达式(用一个组合数表示) ,并证明你的猜想.

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南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. ?1? 8. 2.1 9. (0, ] 3.1200 4.1 11. [1, ) 5.

3? 4

2 3

6.6 13.24

7. (??, 2] 14.100

1 4

10.4034

9 4

12. ? 3

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15.证明: (1)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 AB / / A1B1 ,且 AB ? A1B1 , 又点 M , N 分别是 AB, A1B1 的中点,所以 MB ? A1 N ,且 MB / / A1 N . 所以四边形 A 1M / / BN . 1 NBM 是平行四边形,从而 A 又 BN ? 平面 A1MC , A1M ? 平面 A1MC ,所以 BN ∥面 A1MC . (2)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1 ? 底面 ABC ,而 AA1 ? 侧面 ABB1 A 1, 所以侧面 ABB1 A1 ? 底面 ABC . 又 CA ? CB ,且 M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB . 则由侧面 ABB1 A1 ? 底面 ABC ,侧面 ABB1 A 1 ? 底面 ABC ? AB , ……………4 分 ……………6 分

CM ? AB ,且 CM ? 底面 ABC ,得 CM ? 侧面 ABB1 A1 .
又 AB1 ? 侧面 ABB1 A 1 ? CM . 1 ,所以 AB 又 AB1 ? A 1M , A 1MC ,且 A 1M ? MC ? M , 1M , MC ? 平面 A 所以 AB1 ? 平面 A1MC . 又 AC ? 平面 A1MC ,所以 AB1 ? AC 1 1 .

……………8 分 ……………10 分 ……………12 分 ……………14 分 ……………2 分 ……………4 分 ……………6 分

5 5 b ,则由正弦定理,得 sin C ? sin B . 2 2 5 sin B ,即 4sin B cos B ? 5 sin B . 又 C ? 2 B ,所以 sin 2 B ? 2 5 又 B 是 ?ABC 的内角,所以 sin B ? 0 ,故 cos B ? . 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)因为 AB ? AC ? CA ? CB , 所以 cb cos A ? ba cos C ,则由余弦定理, 2 2 2 2 2 2 得 b ? c ? a ? b ? a ? c ,得 a ? c . 2 c 2 ? c 2 ? ( c)2 2 2 2 a ?c ?b 3 5 ? ? , 从而 cos B ? 2 2ac 2c 5 4 2 又 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? . 5 ? ? ? 3 2 4 2 2 ? ? ?? 从而 cos( B ? ) ? cos B cos ? sin B sin ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
16.解: (1)因为 c ? 17.解: (1)在图甲中,连接 MO 交 EF 于点 T .设 OE ? OF ? OM ? R , 在 Rt ?OET 中,因为 ?EOT ?

……………10 分

……………12 分

……………14 分

1 R R ?EOF ? 60? ,所以 OT ? ,则 MT ? OM ? OT ? . 2 2 2
高三数学试题第 7 页(共 4 页)

B C 1 1 4? ? ? R 2 ? R 2 sin120? ? ? 3. ……………4 分 T 3 2 3 E F 又所得柱体的高 EG ? 4 , O 16? ?4 3 . 所以 V ? S ? EG ? 3 答:当 BE 长为 1 分米时,折卷成的包装盒的容积 H G 16? ? 4 3 立方分米. 为 …………………6 分 3 D A (2)设 BE ? x ,则 R ? 2 x ,所以所得柱体的底面积 1 1 4? S ? S扇形OEF ? S?OEF ? ? R 2 ? R 2 sin120? ? ( ? 3) x 2 . 3 2 3 又所得柱体的高 EG ? 6 ? 2 x , 8? ? 2 3)(? x 3 ? 3 x 2 ) ,其中 0 ? x ? 3 . 所以 V ? S ? EG ? ( …………………10 分 3 3 2 2 令 f ( x) ? ? x ? 3x , x ? (0,3) ,则由 f ?( x) ? ?3x ? 6x ? ?3x( x ? 2) ? 0 , 解得 x ? 2 . …………………12 分 列表如下:

R ,即 R ? 2 BE ? 2 . 2 故所得柱体的底面积 S ? S扇形OEF ? S?OEF
从而 BE ? MT ?

…………… 2 分 M N

x
f ?( x )

(0, 2)


2
0

(2,3)


f ( x) 增 极大值 减 所以当 x ? 2 时, f ( x) 取得最大值. 答:当 BE 的长为 2 分米时,折卷成的包装盒的容积最大. 3 3 2 18.解: (1)由 N ( 3, ), Q( 3, 0) ,得直线 NQ 的方程为 y ? x ? 3 . 2 2 3 令 x ? 0 ,得点 B 的坐标为 (0, ? 3) .
所以椭圆的方程为

…………………14 分 …………………2 分

x2 y 2 ? ? 1. a2 3

…………………4 分

3 ( )2 ( 3) 2 3 将点 N 的坐标 ( 3, ) 代入,得 2 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4 . a 3 2 2 2 x y ? ? 1. 所以椭圆 C 的标准方程为 …………………8 分 4 3 (2)方法一:设直线 BM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 BM 的方程为 y ? kx ? 3 .
在 y ? kx ? 3 中,令 y ? 0 ,得 xP ? 所以直线 BN 的斜率 k BN ? k BQ

3 3 ,而点 Q 是线段 OP 的中点,所以 xQ ? . k 2k 0 ? (? 3) ? ? 2k . ………………10 分 3 ?0 2k

高三数学试题第 8 页(共 4 页)

? y ? kx ? 3 8 3k ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3kx ? 0 ,解得 xM ? . 2 3 ? 4 k ? ? 1 ? 3 ?4

16 3k . 2 3 ? 16 k ???? ???? ? 又 DN ? 2 NM ,所以 xN ? 2( xM ? xN ) ,得 2 xM ? 3xN .
用 2 k 代 k ,得 xN ?

………………12 分 ………………14 分

8 3k 16 3k 6 ,又 k ? 0 ,解得 k ? . ? 3? 2 2 3 ? 4k 3 ? 16k 2 6 所以直线 BM 的方程为 y ? x? 3 . 2 方法二:设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) .
故 2? 由 B(0, ? 3) ,得直线 BN 的方程为 y ? 同理,得 xQ ?

………………16 分

3 x1 y1 ? 3 . x ? 3 ,令 y ? 0 ,得 xP ? y1 ? 3 x1

3 x2 . y2 ? 3

而点 Q 是线段 OP 的中点,所以 xP ? 2 xQ ,故

3 x1 2 3 x2 ? . y1 ? 3 y2 ? 3

…………………10 分

4 ???? ???? ? 1 2 3 ? 又 DN ? 2 NM ,所以 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ,得 x2 ? x1 ? 0 ,从而 , 3 y1 ? 3 y2 ? 3

4 3 . …………………12 分 y1 ? 3 3 2 ? x2 ? x1 ? x 2 (4 y1 ? 3) 2 3 ? 将? 代入到椭圆 C 的方程中,得 1 ? ? 1. 9 27 ?y ? 4 y ? 3 2 1 ? 3 3 ? y12 4(1 ? ) 2 2 y 2 3 ? (4 y1 ? 3) ? 1 ,即 3 y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 , 又 x1 ? 4(1 ? 1 ) ,所以 1 1 3 9 27 3 4 2 3 解得 y1 ? ? 3 (舍)或 y1 ? .又 x1 ? 0 ,所以点 M 的坐标为 M ( , ) .……………14 分 3 3 3 6 故直线 BM 的方程为 y ? …………………16 分 x? 3 . 2 19.解: (1)由题意,可得 an 2 ? (an ? d )(an ? d ) ? ?d 2 ,
解得 y2 ?
2 化简得 (? ?1)d ? 0 ,又 d ? 0 ,所以 ? ? 1 .

………………4 分 ……6 分

(2)将 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 代入条件,可得 4 ? 1? 4 ? ? ,解得 ? ? 0 , 欲存在 r ? [3, 7] ,使得 m ? 2
n ?1

所以 an2 ? an?1an?1 ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公比 q ? 2 的等比数列,所以 an ? 2n?1 .

… n ? r ,即 r… n ? m ? 2n?1 对任意 n ? N * 都成立,

高三数学试题第 9 页(共 4 页)

n?7 * 对任意 n ? N 都成立. 2 n ?1 n?7 n?6 n?7 8?n 令 bn ? n ?1 ,则 bn ?1 ? bn ? n ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 所以当 n ? 8 时, bn?1 ? bn ;当 n ? 8 时, b9 ? b8 ;当 n ? 8 时, bn?1 ? bn . 1 1 所以 bn 的最大值为 b9 ? b8 ? ,所以 m 的最小值为 . 128 128 2. (3)因为数列 ?an ? 不是常数列,所以 T …
则 7… n ? m? 2
n ?1

,所以 m…

………………8 分

………………10 分

①若 T ? 2 ,则 an? 2

所以 ? (a2 ? a1 )2 ? 0 ,又 ? ? 0 ,所以 a2 ? a1 ,可得 ?an ? 是常数列.矛盾. 所以 T ? 2 不合题意.

?a2 2 ? a12 ? ? (a2 ? a1 ) 2 ? , ? an 恒成立,从而 a3 ? a1 , a4 ? a2 ,所以 ? 2 2 2 ? ?a1 ? a2 ? ? (a2 ? a1 )
………………12 分 ………………14 分

? 1, n ? 3k ? 2 ? ②若 T ? 3 ,取 an ? ? 2, n ? 3k ? 1 (k ? N * ) (*) ,满足 an?3 ? an 恒成立. ??3, n ? 3k ? 2 由 a2 ? a1a3 ? ? (a2 ? a1 )2 ,得 ? ? 7 .
则条件式变为 an 2 ? an?1an?1 ? 7 . 由 22 ? 1? (?3) ? 7 ,知 a3k ?12 ? a3k ?2 a3k ? ? (a2 ? a1 )2 ; 由 (?3)2 ? 2 ?1 ? 7 ,知 a3k 2 ? a3k ?1a3k ?1 ? ? (a2 ? a1 )2 ; 由 1 ? (?3) ? 2 ? 7 ,知 a3k ?12 ? a3k a3k ?2 ? ? (a2 ? a1 )2 .
2

所以,数列(*)适合题意. 所以 T 的最小值为 3 . 20.解: (1)由 f ( x) ? ln x ,得 f (1) ? 0 ,又 f ?( x) ? 当 c ? 0 时, g ( x ) ? ax ?

………………16 分

1 ,所以 f ?(1) ? 1 ,. x
………………2 分

b b ,所以 g ?( x ) ? a ? 2 ,所以 g ?(1) ? a ? b . x x 因为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象在 x ? 1 处有相同的切线,

1 ? a? ? ?a ? b ? 1 ? f ?(1) ? g ?(1) ? 2 . 所以 ? ,即 ? ,解得 ? ………………4 分 1 ?a ? b ? 0 ? f (1) ? g (1) ?b ? ? ? ? 2 (2)当 x0 ? 1 时,则 f ( x0 ) ? 0 ,又 b ? 3 ? a ,设 t ? f ( x0 ) , 3? a ? c ? t (t ? 0) 在 (0, ??) 上有相异两实根 x1 , x2 . ………………6 分 则题意可转化为方程 ax ? x 2 即关于 x 的方程 ax ? (c ? t ) x ? (3 ? a) ? 0(t ? 0) 在 (0, ??) 上有相异两实根 x1 , x2 .

高三数学试题第 10 页(共 4 页)

0?a?3 ? ?? ? (c ? t ) 2 ? 4a(3 ? a) ? 0 ?0 ? a ? 3 ? ? ? 2 c?t 所以 ? ,得 ?(c ? t ) ? 4a(3 ? a) , x1 ? x2 ? ?0 a ?c ? t ? 0 ? ? ? 3? a x1 x2 ? ?0 ? a ?
所以 c ? 2 a(3 ? a) ? t 对 t ? (0, ??), a ? (0,3) 恒成立. 因为 0 ? a ? 3 ,所以 2 a(3 ? a)? 2 ? ( ………………8 分

3 a ? (3 ? a) 2 , ) ? 3 (当且仅当 a ? 时取等号) 2 2 3. 又 ?t ? 0 ,所以 2 a(3 ? a) ?t 的取值范围是 (??,3) ,所以 c… 故 c 的最小值为 3 . ………………10 分 (3)当 a ? 1 时,因为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象交于 A, B 两点, b ? ln x ? x ? ?c 1 1 ? x1 ln x2 ? ln x1 ? 所以 ? ,两式相减,得 b ? x1 x2 (1 ? ………………12 分 ). x2 ? x1 ?ln x ? x ? b ? c 2 2 ? x2 ? ln x2 ? ln x1 要证明 x1 x2 ? x2 ? b ? x1 x2 ? x1 ,即证 x1 x2 ? x2 ? x1 x2 (1 ? ) ? x1 x2 ? x1 , x2 ? x1 x x x 1 ln x2 ? ln x1 1 即证 ………………14 分 ? ? ,即证 1 ? 1 ? ln 2 ? 2 ? 1. x2 x2 ? x1 x1 x2 x1 x1 1 x 令 2 ? t ,则 t ? 1 ,此时即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 . t x1 1 1 1 t ?1 令 ? (t ) ? ln t ? ? 1 ,所以 ? ?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 ,所以当 t ? 1 时,函数 ? (t ) 单调递增. t t t t 1 1 又 ? (1) ? 0 ,所以 ? (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,即 1 ? ? ln t 成立; t t 1 1? t ? 0 ,所以当 t ? 1 时,函数 m(t ) 单调递减, 再令 m(t ) ? ln t ? t ? 1 ,所以 m?(t ) ? ? 1 ? t t 又 m(1) ? 0 ,所以 m(t ) ? ln t ? t ? 1 ? 0 ,即 ln t ? t ? 1 也成立. 综上所述, 实数 x1 , x2 满足 x1 x2 ? x2 ? b ? x1 x2 ? x1 . ………………16 分

附加题答案
21. (A)解:如图,连接 AE , OE , 因为直线 DE 与⊙ O 相切于点 E ,所以 DE ? OE , 又因为 AD 垂直 DE 于 D ,所以 AD / / OE ,所以 ?DAE ? ?OEA ,① 在⊙ O 中 OE ? OA ,所以 ?OEA ? ?OAE ,② ………………5 分 由①②得 ? DAE ? ?OAE ,即 ? DAE ? ?FAE , 又 ?ADE ? ?AFE , AE ? AE , 所以 ?ADE ? ?AFE ,所以 DE ? FE ,又 DE ? 4 ,所以 FE ? 4 , 即 E 到直径 AB 的距离为 4. ………………10 分
2 2 (B)解:设 P ? x0 , y0 ? 是圆 x ? y ? 1上任意一点,则 x0 ? y0 ? 1,
2 2

D A

E · FO 第 21(A)图

B

高三数学试题第 11 页(共 4 页)

设点 P ? x0 , y0 ? 在矩阵 M 对应的变换下所得的点为 Q ? x, y ? ,则 ? ? ? ?

?x ? ? y?

? 2 0 ? ? x0 ? ?? ?, ? 0 1 ? ? y0 ?
………………5 分

1 ? ? x ? 2 x0 ? x0 ? x 即? ,解得 ? 2 , ? y ? y0 ? ? y0 ? y
x2 ? y 2 ? 1,即为所求的曲线方程. 4 (C)解:以极点 O 为原点,极轴 Ox 为 x 轴建立平面直角坐标系, ? ? ? 由 ? cos(? ? ) ? 1,得 ? (cos ? cos ? sin ? sin ) ? 1 , 3 3 3 得直线的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 . 曲线 ? ? r ,即圆 x2 ? y 2 ? r 2 ,
2 2 代入 x0 ? y0 ? 1,得

………………10 分

………………5 分

所以圆心到直线的距离为 d ? 因为直线 ? cos(? ?

0? 3?0? 2 1? 3

?1.
……………10 分

?
3

) ? 1与曲线 ? ? r ( r ? 0 )相切,所以 r ? d ,即 r ? 1 .
2 2 2

(D)解:由柯西不等式,得 [ x ? ( 3 y) ][1 ? ( 即

3 2 3 ) ] ? ( x ?1 ? 3 y ? ) 2 , 3 3

4 2 ( x ? 3 y 2 ) ? ( x ? y)2 . 3
2

而 x2 ? 3 y 2 ? 1 ,所以 ( x ? y ) ?

4 2 2 3 ? x? y ? 3, ,所以 ? 3 3 3

………………5 分

?x 3y ? ? ? 1 ?x ? 3 ? ? 由? ,得 ? 3 ? ?y ? ?x ? y ? 2 3 ? ? 3 ?

3 2 ,所以当且仅当 x ? 3 , y ? 3 时, ( x ? y ) ? 2 3 . max 3 2 6 3 6
3 . 2
………………10 分

所以当 x ? y 取最大值时 x 的值为 x ?

22.解: (1)因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD .又 OP ? 底面 ABCD ,以 O 为原点,直线 OA, OB, OP 分 别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则 A(2, 0, 0) , B(0,1, 0) , P(0, 0, 4) , C (?2, 0, 0) , M (?1,0, 2) . 所以 AP ? (?2,0,4) , BM ? (?1, ?1, 2) , AP ? BM ? 10 ,

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

??? ? ???? ? | AP |? 2 5 , | BM |? 6 . ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AP ? BM 10 30 ? ???? ? ? 则 cos ? AP, BM ?? ??? . ? 6 | AP || BM | 2 5 ? 6
故直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为

z P M D x O A B 第 22 题图 y C

??? ? ???? ? (2) AB ? (?2,1,0) , BM ? (?1, ?1, 2) . ? 设平面 ABM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

30 . ………5 分 6

高三数学试题第 12 页(共 4 页)

? ??? ? ? ??2 x ? y ? 0 ?n ? AB ? 0 则 ? ? ???? ,得 ? ,令 x ? 2 ,得 y ? 4 , z ? 3 . ? ? x ? y ? 2 z ? 0 n ? BM ? 0 ? ? ? ? 得平面 ABM 的一个法向量为 n ? (2, 4,3) . ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 又平面 PAC 的一个法向量为 OB ? (0,1,0) ,所以 n ?OB ? 4 , | n |? 29 , | OB |? 1 . ? ??? ? ? ??? ? n ? OB 4 4 ? ? ? 29 . 则 cos ? n, OB ?? ? ??? | n || OB | 29 29 4 29 . 故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为 ………………10 分 29 0 1 1 2 r ?1 r n?1 n 23.解: (1)由条件, nf ? n? ? Cn Cn ? 2Cn Cn ????? rCn Cn ????? nCn Cn ①, 1 在①中令 n ? 1 ,得 f ?1? ? C10C1 ………………1 分 ? 1.
0 1 1 2 在①中令 n ? 2 ,得 2 f ? 2? ? C2 C2 ? 2C2 C2 ? 6 ,得 f ? 2? ? 3 . 0 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3

………………2 分 ………………3 分 ………………5 分

在①中令 n ? 3 ,得 3 f ?3? ? C C ? 2C C ? 3C C ? 30 ,得 f ? 3? ? 10 .
n n ?1 (2)猜想 f ? n ? = C2 . n ?1 (或 f ? n ? = C2 n ?1 )

n 0 1 1 2 r ?1 r n?1 n 欲证猜想成立,只要证等式 nC2 成立. n?1 ? Cn Cn ? 2CnCn ????? rCn Cn ????? nCn Cn

方法一:当 n ? 1 时,等式显然成立,

r? (n !) n! (n ? 1)! r ?1 = ? n? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )! r ?1 r r r ?1 r ?1 r ?1 故 rCn . Cn ? (rCn )Cn ? nCn ?1Cn n 0 0 1 1 r ?1 r ?1 n?1 n?1 故只需证明 nC2n?1 ? nCn?1Cn ? nCn?1Cn . ????? nCn ?1Cn ????? nCn?1 Cn n 0 0 1 1 r ?1 r ?1 n?1 n?1 即证 C2 . n?1 ? Cn?1Cn ? Cn?1Cn ????? Cn?1Cn ????? Cn?1 Cn r ?1 n ?r ?1 n 0 n 1 n?1 r ?1 n?r ?1 n?1 1 而 Cn ? Cn ,故即证 C2n?1 ? Cn?1Cn ? Cn?1Cn ????? Cn ②. ????? Cn ?1Cn ?1 Cn
当 n… 2 时,因为 rCn =
r
n 由等式 (1 ? x)2n?1 ? (1 ? x)n?1 (1 ? x)n 可得,左边 x 的系数为 C2 . n ?1

n

而右边 (1 ? x)
n

n ?1

1 2 2 n ?1 n ?1 (1 ? x)n ? ? Cn0?1 ? Cn ??Cn0 ? Cn1 x ? Cn2 x 2 ? ? ? Cnn x n ? , ?1 x ? Cn ?1 x ? ? ? Cn ?1 x

0 n 1 n?1 r ?1 n?r ?1 n?1 1 所以 x 的系数为 Cn . ????? Cn ????? Cn ?1Cn ? Cn?1Cn ?1Cn ?1 Cn

由 (1 ? x)2n?1 ? (1 ? x)n?1 (1 ? x)n 恒成立可得②成立.
n 综上, f ? n? ? C2 成立. n?1

………………10 分

方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有 2n ? 1 个小球,其中 n 个是编号为 1,2,…,n 的白球,其余 n -1 个是编号为 1,2,…,n-1 的黑球,现从袋中任意摸出 n 个小球,一方面,由分步计数原理其中 r n?r 含有 r 个黑球( n ? r 个白球)的 n 个小球的组合的个数为 Cn , 0 ? r ? n ? 1 ,由分类计数原理有 ?1Cn
0 n 1 n?1 n?1 1 从袋中任意摸出 n 个小球的组合的总数为 Cn . ??? Cn ?1Cn ? Cn?1Cn ?1 Cn
n 另一方面,从袋中 2n ? 1 个小球中任意摸出 n 个小球的组合的个数为 C2 . n ?1

n 0 n 1 n?1 n?1 1 故 C2 ,即②成立. 余下同方法一. ??Cn n?1 ? Cn?1Cn ? Cn?1Cn ?1 Cn

………………10 分

方法三:由二项式定理,得 (1 ? x) ? C ? C x ? C x ? ?? C x
n 1 两边求导,得 n(1 ? x)n?1 ? Cn ? 2C x ??? rC x 0 n 2 1 n 1 n 2 2 n r r ?1 n

n n n

③. ④. ⑤.

n n?1 ??? nCn x

③× ④,
0 1 2 2 n n 1 2 1 r r ?1 n n?1 得 n(1 ? x)2n?1 ? (Cn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x )(Cn ? 2Cn x ? ?? rCn x ? ?? nCn x )
n 左边 x 的系数为 nC2 . n?1

n n

1 n 2 n?1 r n?r ?1 n 1 右边 x 的系数为 Cn Cn ? 2Cn Cn ????? rCn Cn ????? nCn Cn
1 0 2 1 r r ?1 n n?1 0 1 1 2 r ?1 r n?1 n ? Cn Cn ? 2Cn Cn ????? rCn Cn ????? nCn Cn ? Cn Cn ? 2Cn Cn ????? rCn Cn ????? nCn Cn .

高三数学试题第 13 页(共 4 页)

n 0 1 1 2 r ?1 r n?1 n 由⑤恒成立,可得 nC2 . n?1 ? Cn Cn ? 2CnCn ????? rCn Cn ????? nCn Cn
n 故 f ? n? ? C2 成立. n?1

………………10 分

高三数学试题第 14 页(共 4 页)


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