mg9946.vip:高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课件2新人教A版选修1-1_图文

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1.3 简单的逻辑联结词

【自主预习】 1.用逻辑联结词构成新命题

构成新命题 用联结词“且”把命题p和 命题q联结起来,就得到一个 新命题

记作 _p_∧__q_

读作 _p_且__q_

构成新命题 用联结词“或”把命题p和 命题q联结起来,就得到一个 新命题
对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题

记作
_p_∨__q_
___ ?p

读作
_p_或__q_
_________ _非__p_或_ p的 否定

2.含逻辑联结词的命题的真假判断

p

q

















p∧q
_真__
_假__ ___ 假 ___ 假

p∨q

?p

_真__

_假__

_真__

_假__

___

___





___

___





【即时小测】

1.已知命题p:若α = ? ,则sinα = 1 ;命题q:若sinα = 1 ,

则α = .下面四个结6论中正确的是2 ( )

2

?

A.p∧q6是真命题

B.p∨q是真命题

C.?p是真命题

D.?q是假命题

【解析】选B.由题意可知,命题p为真命题,命题q为假 命题,所以p∨q是真命题.

2.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数

都是负数,则下列命题中为真命题的是 ( )

A.(?p)∨q

B.p∧q

C.(?p)∧(?q)

D.(?p)∨(?q)

【解析】选D.不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,

从而?p为假命题,?q为真命题,所以A,B,C均为假命题.

3.用“充分、必要、充要”填空: (1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件. (2)?p为假命题是p∨q为真命题的________条件.

【解析】因为或命题为真,则一真即真,且命题为真,必 须都为真,因此第一个命题中,条件是结论成立的必要 条件,而第二个命题中,非p为假,说明p为真,则或命题 为真,则一真即真,因此第二个命题中,条件是结论成立 的充分条件. 答案:(1)必要 (2)充分

【知识探究】 探究点 逻辑联结词的含义 1.x∈A∪B的含义是什么? 提示:x∈A或x∈B,有三种情况:x∈A但x?B;x∈B但 x?A;x∈A并且x∈B.

2.?p是命题p的否命题吗? 提示:不是,设命题p为:若m则n,那么命题p的否命题是 若?m则?n,而?p是若m则?n.

【归纳总结】 对逻辑联结词的理解 (1)“且”表示同时的意思,“或”表示至少一个,“非” 表示对原命题否定.

(2)从集合与串、并联电路理解逻辑联结词; ①从交集、串联电路看“且”命题 (i)对于逻辑联结词“且”的理解,可联系集合中“交 集”的概念,即A∩B={x︱x∈A且x∈B},二者含义是一 致的,都表示“既……,又……”的意思.

(ii)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断,可 以联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通 或断的对应加以理解(如图所示).

②从并集、并联电路看“或”命题 (i)对于逻辑联结词“或”的理解,可联系集合中“并 集”的概念,即A∪B={x︱x∈A或x∈B},二者含义是一 致的,如果p:集合A;q:集合B;则p∨q:集合A∪B.

(ii)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断,可 以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通 或断的对应加以理解(如图所示).

③从补集及电路看“非”命题 (i)“非”:从集合的角度看,若设P={x|x满足命题p}, 则“?p”对应于集合P在全集U中的补集={x|x∈U,且 x?P},p与“?p”的真假关系:真假对立.

(ii)“?p”:从电学来讲,“?p”相当于一个电路断开 时的情形,p与“?p”的真假关系:真假相反,即p为真 时,“?p”为假;p为假时,“?p”为真(如图所示).

特别提醒:有的命题表面上不含逻辑联结词,但有与联 结词等效的词语,注意辨识.

类型一 含有逻辑联结词的命题构成 【典例】1.命题“菱形的对角线垂直并且互相平分” 中使用的逻辑联结词是________,所以此命题是 ________形式的命题.

2.写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及 “非p”形式的命题. (1)p: 5 是有理数,q: 5 是整数. (2)p:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1), q:不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).

【解题探究】1.典例1中有逻辑联结词吗? 提示:有,为“且”. 2.改写“p或q”“p且q”以及“非p”命题的关键是什 么? 提示:准确理解“或”“且”“非“的含义.

【解析】1.命题使用了“且”,是“p且q”形式的命题. 答案:且 p且q

2.(1)p或q: 5 是有理数或 5 是整数; p且q: 5 是有理数且 5 是整数; 非p: 5 不是有理数.

(2)p或q:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)或不等式 x2-2x-3>0的解集是(3,+∞); p且q:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)且不等式x22x-3>0的解集是(3,+∞); 非p:不等式x2-2x-3>0的解集不是(-∞,-1).

【方法技巧】用逻辑联结词构造新命题的两个步骤 第一步:确定两个简单命题p,q; 第二步:分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起 来,就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”,用“非”将 命题p全盘否定,得到命题“?p”.

【拓展延伸】简单命题与复合命题 不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命 题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题, 因此就有“p∧q”“p∨q”“?p”形式的复合命题,其 中p,q是简单命题,由简单命题构成复合命题的关键是 对逻辑联结词“且”“或”“非”的理解.

【变式训练】 1.分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)3是质数或合数. (2)他是运动员兼教练员. (3)相似三角形不一定是全等三角形.

【解析】(1)这个命题是“p或q”形式,其中p:3是质 数,q:3是合数. (2)这个命题是“p且q”形式,其中p:他是运动员,q:他 是教练员. (3)这个命题是“非p”形式,其中p:相似三角形一定是 全等三角形.

2.写出下列命题p的非(否定). (1)p:100既能被4整除又能被5整除. (2)p:三条直线两两相交. (3)p:一元二次方程至多有两个解. (4)p:2<x≤3.

【解析】(1)?p:100不能被4整除,或不能被5整除. (2)?p:三条直线不都两两相交. (3)?p:一元二次方程至少有三个解. (4)?p:x≤2或x>3.

类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断

【典例】1.给出命题p:3≥3;q:函数f(x)= ?1, x ? 0, 在 R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:“p∧???q1”,x<0

“p∨q”“非p”中,真命题的个数为 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.指出下列命题的形式及命题的真假: (1)48是16与12的公倍数. (2)方程x2+x+3=0没有实数根. (3)相似三角形的周长相等或对应角相等.

【解题探究】1.典例1中命题p是什么形式的命题? 提示:或形式的命题. 2.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是什么? 提示:判断联结词联结的两个命题的真假.

【解析】1.选B.p为真命题.对于q,因为f(x)对应的函 数值只有两个,即1或-1,所以f(x)的值域为{1,-1},所 以q为假命题,所以p∧q假,p∨q真,非p假. 2.(1)这个命题是“p∧q”的形式,其中p:48是16的倍 数,是真命题;q:48是12的倍数,是真命题,所以“48是 16与12的公倍数”是真命题.

(2)这个命题是“?p”的形式,其中p:方程x2+x+3=0有 实数根,是假命题,所以命题“方程x2+x+3=0没有实数 根”是真命题. (3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p:相似三角形的 周长相等,是假命题;q:相似三角形的对应角相等,是真 命题,所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是 真命题.

【方法技巧】判断含逻辑联结词的命题真假的三个步骤 (1)明确命题的结构,即命题是“p∧q”“p∨q”,还是 “?p”. (2)对命题p和q的真假作出判断. (3)由“p∧q”“p∨q”“?p”的真假判断方法给出结 论.

【变式训练】已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函 数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数. 在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2和q4:p1∧(?p2) 中,真命题是 ( )

A.q1,q3 C.q1,q4

B.q2,q3 D.q2,q4

【解析】选C.因为y=2x在R上为增函数, y=2-x=( 1 )x在R上为减函数,
2 所以y=-2-x=-( 1 )x在R上为增函数,
2 所以y=2x-2-x在R上为增函数,故p1是真命题.
y=2x+2-x在R上为减函数是错误的,故p2是假命题.
所以q1:p1∨p2是真命题,因此排除B和D.

q2:p1∧p2是假命题,q3:?p1是假命题, (?p1)∨p2是假命题,故q3是假命题,排除A.

【补偿训练】已知命题p:?x0∈R,使tanx0=1,命题q:x23x+2<0的解集是{x|1<x<2}.下列结论:①命题“p∧q” 是真命题;②命题“p∧(?q)”是假命题;③命题 “(?p)∨q”是真命题;④命题“(?p)∨(?q)”是假命 题,其中正确的是______.(填所有正确结论的序号)

【解析】命题p:?x0∈R,使tanx0=1,正确,命题q:x23x+2<0的解集是{x|1<x<2},也正确.所以①命题“p∧q” 是真命题;②命题“p∧(?q)”是假命题;③命题 “(?p)∨q”是真命题;④命题“(?p)∨(?q)”是假命 题. 答案:①②③④

类型三 逻辑联结词的应用 【典例】已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q: 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若p或q为真,p且q为假, 求m的取值范围

【解题探究】由p或q为真,p且q为假可以判断出p,q的 真假吗? 提示:不能判断p,q的真假,但两个命题中一定是一真一 假.

【解析】因为p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根, 所因以为q???:m?方>? 程m0,24?x42>+40(,m所-2以)xm+>12=.0无实数根,所以Δ<0,即 16(m-2)2-16<0,所以16(m2-4m+3)<0,所以1<m<3. 因为p∨q为真,p∧q为假, 所以p为真,q为假或者p为假,q为真.

即 ?m>2, 或 ??m ?1或m ? 3

?m ? 2, ??1<m<3,

解得m≥3或1<m≤2. 所以m的取值范围为{m|m≥3或1<m≤2}.

【延伸探究】1.典例中条件改为“若p∧(?q)”为真, 求m的取值范围. 【解析】由p∧(?q)为真可得p为真q为假,所以m的取 值范围是m≥3.

2.典例中若将“p且q为假”改为p且q为真,求实数m的

取值范围.

【解析】因为p或q为真命题,p且q为真命题,所以p为真,

且q为真.

p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根

?

?? ? m2 ? 4>0 ???m<0

?m>2.

q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根 ?Δ=16(m-2)2-16<0?1<m<3. 所以实数m的取值范围是2<m<3.

【方法技巧】应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题p,q为真时对应的参数集合A,B. (2)讨论p,q的真假. (3)由p,q的真假转化为相应的集合的运算. (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.

特别提醒:当p,q中有假命题时,求参数范围应从求真命 题的补集入手,可简化运算,减少出错.

【补偿训练】已知a>0,a≠1.设p:函数y=loga(x+1)在 (0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于 不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围. 【解析】当0<a<1时,函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单 调递减. 当a>1时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数, 故p为真时0<a<1.

q真等价于(2a-3)2-4>0,即a< 1 或a> 5 .

又a>0,所以0<a< 1 或a> 5 . 2

2

因为p或q为真,p且2 q为假2,

所以p,q中必定是一个为真一个为假.

(1)若p真,q假,



??0<a<1,

? ??

1 2

?

a<1或1<a

?

5 2

?

1 2

?

a

?

1,

即a∈ [ 1,1). 2

(2)若p假,q真,

则综上?????a0可<>1知a,<,12a或的a取>值52 ?范a围? 为52,[ 1即,1a) ∈(

( 5,+?). 2 5,+?).

22

自我纠错 由含逻辑联结词的命题真假求参数的取值 范围 【典例】已知命题p:任意x∈[2,3],使得x2-a≥0都成 立,命题q:指数函数y=(log2a)x是R上的减函数,若命题 “p∧(?q)”是真命题,则实数a的取值范围是____.

【失误案例】

分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是由q为假命题求a的范围时理解 成函数y=(log2a)x是R上的增函数,还应该包含 y=(log2a)x不是指数函数的情况,正确做法应该是取 “指数函数y=(log2a)x是R上的减函数”的补集. 正确解答过程如下:

【解析】命题p是真命题时需满足a≤x2恒成立,所以 a≤4,命题q为真需满足0<log2a<1,所以1<a<2,所以q为 假时0<a≤1或a≥2.由已知p真q假,所以0<a≤1或 2≤a≤4. 答案:0<a≤1或2≤a≤4


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