2019人教版高中数学必修四课件:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) 情境互动课型_图文

3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式(一) 相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了 生存,把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态,以 吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台,用绝妙 的技巧使它成为一门独特的艺术. 在三角函数中也有这样的表演者 . 两角差的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 由公式 C(α-β) 出发,你能推出两角和与差的三 角函数的其他公式吗? 1.能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正 弦、余弦公式.(难点) 2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值、 化简和证明.(重点、难点) 探究点1 两角和的余弦公式的推导 cos(? ? ?) ? ? 提示: ? ? ? ? ? ? ( ?? ) cos(? ? ?) ? cos[? ? (??)] ? cos ? cos(??) ? sin ? sin(??) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?. 两角和的余弦公式 co s( ? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? sin ? sin ? 简记: C (???) 公式的结构特征: 左边是复角 ? ? ? 的余弦,右边是单角 ?, ? 的余弦积与正弦积的差. 【即时练习】 求下列式子的值: sin 34 sin 26 ? cos34 cos 26 . 1 解析:原式 ? ? cos(34 ? 26 ) ? ? cos 60 ? ? . 2 探究点2 两角和与差的正弦公式 1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化? 提示: ? sin ? ? cos( ? ?) 2 ?? ? sin(? ? ?) ? cos ? ? (? ? ?) ? ?2 ? 2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角 和与差的正弦公式? 提示: sin(? ? ?) ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? cos ?( ? ?) ? ? ? ? 2 ? ? ? ? cos( ? ?) cos ? ? sin( ? ?) sin ? 2 2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?. 两角和的正弦公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? S( ? ?? ) 简记: 公式的结构特征: 左边是复角 ? ? ? 的正弦,右边是单角 ? , ? 的 正、余弦积与余、正弦积的和. 3.由和角正弦公式,你能得到差角的正弦公式吗? 提示: ? ?? ? ? ? (? ?) sin (? ??) ? sin[? ? (??)] ? sin ? cos(??) ? cos ? sin(??) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?. 两角差的正弦公式 sin ( ? ??) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 简记: S ( ??? ) 异名积,符号同. 【即时练习】 求下列式子的值: sin72 cos18 ? cos 72 sin18 . 解:原式 ? sin(72o ? 18o ) ? sin90o ? 1. 3 ? 例 1 已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,求 sin( ? ? ), 5 4 ? cos( ? ? )的值 . 4 3 解:由sin? =- , ?是第四象限角,得 5 4 2 2 3 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ? ) ? , 5 5 ? ? ? 于是有sin( ? ?) ? sin cos ? ? cos sin ? 4 4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10 ? ? ? cos( ? ?) ? cos cos ? ? sin sin ? 4 4 4 2 4 2 3 = ? ? ? (? ) 2 5 2 5 7 2 = . 10 【变式练习】 2 ? 3 已知 sin ? ? ,? ? ( , ?) , cos ? ? ? , 3 2 4 3? ? ? ( ?, ), 求 cos(? ? ?) , sin(? ? ?) . 2 2 ? 解:因为 sin ? ? , ? ? ( , ?) 3 2 2 2 2 5 所以cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( )?? ; 3 3 3 3? 又 cos ? ? ? ,? ? (?, ) , 4 2 2 3 2 7 所以sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? . 4 4 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 5 3 2 7 3 5?2 7 ? (? ) ? (? ) ? ? (? )? . 3 4 3 4 12 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 3 5 7 ? (6 ? 35) ? ? (? ) ? (? ) ? (? )? . 3 4 3 4 12 例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin 72°cos 42° ? cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° ? sin 20°sin 70° . 解:(1)由公式S( ???) 得, sin 72o cos 42o ? cos 72o sin 42o 1 o o o ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ? . 2 (2)由公式C (? ? ? ) 得, cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ? cos(20 ? 70 ) ? cos 90 ? 0. 逆用公式时注意观察是否只有两个角 【变式练习】 求下列式子的值: cos 74 sin14 ? sin 74 c

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