3.1任意角与任意角的三角函数

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三角函数
3.1 任意角与任意角的三角函数
【知识网络】1.任意角的概念与弧度制; 2.任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; 3.同角三角函数的关系( sin x ? cos x ? 1 ,
2 2

sin x ? tan x ) ; cos x

4.诱导公式. 【典型例题】 [例 1](1)设 ? ? ( A

? ?

, ) ,且 17? 的终边与 ? 角的终边相同,则 tan ? 等于 6 3
B

( )

2 ?1

2

C

2 ?1

D

1

(1)D 提示: 与 ? 角终边相同的角的集合是 (2)如果 ? 是第一象限角,那么恒有 A sin

?? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ?
( ) D sin

?
2

?0

B

tan

?
2

?1

C sin

?
2

? cos

?
2
(

?
2

? cos

?
2

(2)B 提示:利用三角函数线

4 sin ? ? 2 cos ? 的值等于 5 cos ? ? 3 sin ? 5 5 1 (A) (B) (C) ? 7 9 7 sin ? (3)A 提示:用公式 tan ? ? cos ?
(3) .若 tg? ? 3 ,则

)

(D)

7 5

(4)已知扇形的半径为 10 ㎝, 圆心角为 120°, 则扇形的弧长为

; 面积为



20 100 ?㎝ , ? ㎝2 3 3
(4)提示:利用弧长公式 l ? r ? 及扇形面积公式 S ? 度 (5)已知 sin(540 ? ? ) ? ?
0

1 lr ,注意圆心角的单位化为弧 2


4 , 则 cos(? ? 2700 ) ? 5

(5) ?

4 5

提示:利用诱导公式

[例 2]若 tan ? ? 2 ,求(1)

sin ? ? cos ? 的值; cos ? ? sin ?

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(2) 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? 的值.
2 2

解(1)

cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ? ? ? ?3 ? 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2
2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan 2 ? ? tan ? ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

(2)原式 ?

?

4 ? 2 ?1 5 ? 2 ? 3 3 1 ?? ? ? ,? ? ? , ? , 求 cos ? ? sin ? 的值. 8 ?4 2?
2

[例 3]若 sin ? cos ? ?
2

解: (cos? ? sin ? ) ? cos

? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos? ? 1 ? ?
s ?i n

1 4

3 4

?? ? ? ? ?? , ? ? , co ?s? 4 2 ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? 3 2

sin( ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? 3? ) 2 [例 4]已知 f (? ) ? . ? tan(? ? ? )sin( ? ? ) 2
(1) 化简 f (? ) ; (2) 若 ? 是第三象限的角,且 cos(? ? (3) 若 ? ? ?1860 ,求 f (? ) 的值.
0

?

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5

解: (1) f (? ) ?

cos ? cos ? (? tan ? ) ? ? cos ? tan ? cos ? 3? c o s? (? ? ) ? s? in (2) 2 1 ?s i n ? ?? 又 , ? 是第三象限的角 5

?cos? =- 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ?
0 0

1 2 2 ?? 6,? f (? ) ? 6 25 5 5
0

(3) ? ? ?1860 ? ?6 ? 360 ? 300

? f (? ) ? f (?18600 ) ? ? cos(?18600 )

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? ? cos(?6 ? 3600 ? 3000 ) ? ? cos 600 ? ?

1 2

【课内练习】 1. 若 sin ? ? ? , cos ? ? A.第一象限

3 5

4 , 则角2?的终边在 5
C.第三象限



) D.第四象限

B.第二象限

24 ? 0, 1.D 提示;由 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 25 7 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 0 ,可得 25
2.已知 sin ? ? k ? 1, cos ? ? 4 ? 3k ,且 ? 是第二象限角,则 k 应满足的条件是( ) A. k ? 2.C 3.已知

4 3

B. k ? 1

C. k ?

8 5

D. k ? 1

提示:由 sin ? ? 0,cos? ? 0及sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 可得. ( )

1 ? sin x 1 cos x ? ? , 那么 的值是 cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B. ? C.2 2 2

D.-2

3.A 提示:

1 ? sin x sin x ? 1 sin 2 x ? 1 ? ? ? ?1 cos x cos x cos 2 x

4.设 ? 是第三象限角,且 cos A.第一象限

?

? ? cos , 则 是( 2 2 2
C.第三象限

?

?

) D.第四象限

B.第二象限

? ? 4.B 提示:由设 ? 是第三象限角知 是第二、四象限角,再由 cos ? 0 可得 2 2 1 4? )? 5.函数 f ( x ) 满足 f (cos x) ? x(0 ? x ? ? ), 则f (sin . 2 3 5 4? ? 5? 5? ? sin( ? ) ? cos 5. ? 提示: sin 12 3 2 6 6 ? 6. 若角 ? 和 ? 的终边关于直线 x ? y ? 0 对称, 且? ? ? , 则 ? 角的集合是 3
. 6. ? ?



? ?

? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z ? 提示:由对称性知, ? 角的终边与 ? 的终边相同
6 ?
6

7.已知 tan ? ? ? , 则

1 3

1 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ?



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7.

10 3

提示:将分子1写成

1 ? sin 2 ? ? cos2 ?

然后用弦化切可得

8.已知角 ? 的终边经过点 P (? 3, m)(m ? 0), 且 sin ? ? 并求 cos ? 和 tan ? 的值. 解:由题意,得 r ? 3 ? m2 ,?

2 m ,试判断角 ? 所在的象限, 4

m 3? m
2

?

2 , m ? 0,? m ? ? 5 4

故角 ? 是第二或第三象限角. 当 m ? 5时,r ? 2 2 ,点 P 的坐标为 (? 3, 5) ,

? cos ? ?

x ? 3 6 y 5 15 ? ?? , tan ? ? ? ?? r 2 2 4 x ? 3 3

当 m ? ? 5时,r ? 2 2 ,点 P 的坐标为 (? 3, ? 5) ,

? cos ? ?

x ? 3 6 y ? 5 15 ? ?? , tan ? ? ? ? r 2 2 4 x ? 3 3
1 , 求 tan ? 的值. 5

9.已知: ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? 解;由 ? 1 ?sin ? ? cos ? ? 5 ?

4 ? sin ? ? ? ? 5 解得 ? ?cos ? ? ? 3 ? 5 ? 4 ? sin ? ? ? ? 5 ? ?cos ? ? ? 3 ? 5 ?

3 ? sin ? ? ? ? ? 5 或? ?cos ? ? 4 ? 5 ?

? ? (0, ? ),?sin ? ? 0 所以

所以

tan ? ?

sin ? 4 ?? cos ? 3

10.已知关于 x 的方程 4x2-2(m+1)x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余 弦,求实数 m 的值. 解:设直角三角形的两个锐角分别为α 、β ,则可得α +β =

? , ?

∴cosα =sinβ ∵方程 4x2-2(m+1)x+m=0 中,Δ =4(m+1)2-4?4m=4(m-1)2≥0 ∴当 m∈R,方程恒有两实根. 又∵cosα +cosβ =sinβ +cosβ =

m ?1 m ,cosα ?cosβ =sinβ cosβ = 2 4

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∴由以上两式及 sin2β +cos2β =1,得 1+2? 解得 m=± 3 当 m= 3 时,cosα +cosβ =

m m ?1 2 =( ) 4 2

3 ?1 3 >0,cosα ?cosβ = >0,满足题意, 2 4 1? 3 <0,这与α 、β 是锐角矛盾,应舍去. 2

当 m=- 3 时,cosα +cosβ = 综上,m= 3

作业本 A组 1.若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( )

1.D 提示: cos? ? 0, 且 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 0 可得 2.y =

| sin x | cos x | tan x | ? ? 的值域是 sin x | cos x | tan x
B. {-1,1,3} C. {-1,3} D.{1,3} 提示:讨论角x在四个象限的情况





A.{1,-1} 2.C

3.若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin15°)的值等于 A.

( C.-



1 2

B.-
0

1 2
0

3 2

D.

3 2

3.C 提示: sin15 ? cos 75 4.计算

7 23 11 13 sin ? cos(? ? ) ? tan(? ? ) cos ? ? 3 6 4 3



5.已知角 ? 的终边上一点P与点A (?3, 2) 关于y轴对称,角 ? 的终边上一点Q与点A关 于原点对称,那么 sin ? ? sin ? 的值等于 .

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5. 0

sin ? 提示: 由题设条件求出点P、 点Q的坐标, 从而依正弦函数的定义求 sin ? 、
cos( ? ? ? ) cos( ? ? 2? ) 1 ,求 的 ? cos ? [cos( ? ? ? ) ? 1] cos( ? ? 2? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ?? ) 4

6.已知 sin(3π +θ )= 值.

解: sin(3π +θ )=-sinθ , ∴sinθ =- 原式=

1 4

? cos ? cos ? 1 1 ? = ? cos ? (? cos ? ? 1) cos ? (? cos ? ) ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
2 2 ? =32 2 1 ? cos ? sin 2 ?



7.如果角α 的终边经过点 M(1, 3 ) ,试写出角α 的集合 A,并求集合 A 中最大的负角 和绝对值最小的角. .解:在 0°到 360°范围内,由几何方法可求得α =60°. ∴A={α |α =60°+k?360°,k∈Z} 其中最大的负角为-300°(当 k=-1 时) 绝对值最小的角为 60°(当 k=0 时) 8.已知 tan ? 是方程 x ?
2

2 ? x ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值. cos ?
2 1 3 ? tan ? ? 1 ? 0 ,解得 sin ? ? ? ,故 cos ? ? ? cos ? 2 2

解:由题意知: tan ? ?
2

10 当 cos ? ?

3 3 2 时,原方程为 3x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解之得 x1 ? ? 3, x2 ? ? 2 3
2? ,k ?Z 3

故 tan ? ? ? 3 ,所以 ? ? k? ?

20 当 cos ? ? ?

3 3 2 时,原方程为 3x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解之得 x1 ? 3, x2 ? 2 3

故 tan ? ?

? 3 ,所以 ? ? k? ? , k ? Z 6 3
B组

1.已知点 P?sin ? ? cos? , tan? ? 在第一象限,则在 ?0,2? ? 内 ? 的取值范围是( (A) ?



? ? 3? ? ? 5? ? , ? ? ?? , ? ?2 4 ? ? 4 ?

(B) ?

? ? ? ? ? 5? ? , ? ? ?? , ? ?4 2? ? 4 ?

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(C) ?

? ? 3? ? ? 5? 3? ? , ??? , ? ?2 4 ? ? 4 2 ?
1.D

(D) ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?

提示:由 sin ? ? cos? ? 0且 tan ? ? 0, 及三角函数线可得 。

k ?3 ? sin ? ? ? ? k ?5 2.如果满足条件 ? ?cos ? ? 4 ? 2k ? k ?5 ?
A.第二象限的角 C.第四象限的角
2

,则 ? 是





B.第二或第四象限的角 D.第一或第三象限的角
2

2.A 提示: sin ? ? cos ? ? 1 可得. 3. 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于 A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2 ( )

3.D提示: 1 ? 2sin(? ? 2)cos(? ? 2) ? sin 2 2 ? cos2 2 ? 2sin 2cos 2

? (sin 2 ? cos 2)2 及 sin 2 ? cos 2 ? 0 可得
4.已知: cos(75 ? ? ) ?
0

1 , 且 ? 1800 ? ? ? ?900 , 则 cos(150 ? ? ) ? 3



4. ?

2 2 0 0 0 0 0 提示;由 ?105 ? 75 ? ? ? ?15 ,cos(75 ? ? ) ? 0可知75 ? ? 是第四象限 3
角,所以

cos(150 ? ? ) ? sin(750 ? ? ) ? ? 1 ? cos 2 (750 ? ? ) ? ?

2 2 3

5.在直角坐标系中,O 为坐标原点,角 ? 和 ? 的终边为 OA 和 OB,OA 过点 M ( ? sin ? , cos ? ), ? ? (0, . 5. ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z

?
2

) ,OA 与 OB 关于直线 y ? x 对称,则角 ? 的的集合是



?

?

提示;OB 过点 (cos ? , ? sin ? ) , ?? 的终边为 OB
2

6.已知 ? ? (0, 2? ),sin ? 和cos ? 是方程 x ? kx ? k ? 1 ? 0 的两个根,求 k 和 ? 的值. 解:

sin ? 和 cos ? 是方程的两个根

?sin ? ? cos ? ? ?k ?? ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 解得 k ? ?1或k ? 3 ?sin ? cos ? ? k ? 1
sin ? ? cos ? ? 2,? k ? ?1, ? ?

?
2

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7.若 k∈Z,求证:

sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) =-1. sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]
证明: 【法一】 若 k 为偶数,则 左端=

sin(?? ) cos ? ? sin ? cos ? ? =-1, sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) (? sin ? )( ? cos ? )

若 k 为奇数,则 左端=

sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) sin ? (? cos? ) =-1 ? sin ? cos(?? ) sin ? cos?

8.已知一扇形的周长为 c(c>0),当扇形的弧长为何值时,它有最大面积?并求出面积的最 大值. 解:设扇形的半径为 R,弧长为 l,面积为 S ∵c=2R+l,∴R=

c?l (l<c) 2

1 1 c?l 1 1 2 1 c 2 c2 2 则 S= Rl= ? ?l= (cl-l )=- (l -cl)=- (l- ) + 2 2 4 4 4 2 2 16
∴当 l=

c c2 时,Smax= 2 16 c c2 时,扇形有最大面积,扇形面积的最大值是 . 2 16

答:当扇形的弧长为

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